Cubic Equation Solver
Gerçek ve karmaşık köklere sahip özel kübik denklem çözücü, Cardano yöntemi adımları, kübik grafik oluşturma ve çalışılmış örnekler.
±p/q teoremini kullanarak tüm olası rasyonel kök adaylarını oluşturmak için tamsayı katsayılarını girin.
Hesaplama: Rasyonel Kök Teoremi Hesap Makinesi
Rasyonel Kök Teoremi Hesap Makinesi
Polinom katsayılarınızı yukarıya girin ve sonuçları görmek için "Rasyonel Kök Adaylarını Bulun" öğesine tıklayın.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
Kanıt bölünebilirlik argümanıdır. Sanmak p/q en düşük şartlarda tatmin eder aₙ(p/q)ⁿ + ... + a₀ = 0. Paydaların temizlenmesi şunu verir aₙpⁿ + aₙ₋₁pⁿ⁻¹q + ... + a₀qⁿ = 0. hariç her dönem a₀qⁿ bir faktör içerir P, Bu yüzden P böler a₀qⁿ; o zamandan beri ebd(p, q) = 1, p | a₀. Diğer taraftaki ayna argümanı şunu verir: q | aₙ. İki satıra bölünebilirlik ve sonsuz arama, sonlu bir listeye çöker.
Monik durum ilgi odağı olmayı hak ediyor: baş katsayı 1 olduğunda her payda Q 1'i bölmek gerekir, yani q = ±1 ve tüm rasyonel kökler sabit terimi bölen tam sayılardır. Ders kitabı problemlerinin kolay gelmesinin nedeni budur: neredeyse her zaman tektirler. Şu an şöyle bir sorun var 6x³ − 5x² − 2x + 1 göründüğünde, kesirli adaylar geri döner ve tam teorem geçimini sağlar.
Büyük katsayılar, bazen yüzlerce aday içeren göz korkutucu listeler üretebilir. Akıllıca test edin: Sorunlar genellikle onlarla oluşturulduğundan, önce küçük tam sayıları deneyin. Tüm gerçek köklerin içinde bulunduğu sınırı kullanın 1 + maksimum|aᵢ/aₙ| saçma değerleri atlamak için. Ve unutmayın, derece kadar kök bulduğunuz anda durabilirsiniz, doğrulanan her kök, sorunu söndürür. sentetik bölüm. Yararlı bir alışkanlık test etmektir ±1 Birincisi: bunlar en ucuz değerlendirmelerdir ve şaşırtıcı bir şekilde sıklıkla yapılandırılmış problemlerde karşımıza çıkarlar.
Gauss'un lemması şunu söylüyor: ilkel bir tamsayı polinom çarpanları Q tam olarak hesaba katıldığında Z. Rasyonel kök teoremi birinci dereceden bu lemmadır: üzerinde doğrusal bir faktör Q doğrusal bir faktöre kadar temizlenebilir Z, kimin kökü p/q teoremi açıklamaktadır. Tamsayı katsayılı yöntemlerin rasyonel sorular için teorik olarak eksiksiz olmasının nedeni budur; bilgisayar cebir sistemlerinin sürekli olarak güvendiği bir gerçektir.
Teorem kapsamadığı her şey hakkında sessizdir: irrasyonel kökler ∛2 and complex roots never appear on the candidate list. x³ − 2 = 0 adayları var ±1, ±2, tüm başarısızlıklar, ancak gerçek kök ∛2 ≈ 1.26 var. Tam liste başarısız olduğunda araçları değiştirin: ayrımcı Kök türlerini sınıflandırır, Cardano'nun yöntemi kapalı formlar verir ve kök hesaplayıcı değerler verir.
The Applications
Ağır makinelere ulaşmadan önce aday listesine iki dakika ayırın. Yarışma, sınav ve ders kitabı kübiklerinin büyük bir kısmı rasyonel köklerle oluşturulmuştur ve bunları elle bulmak herhangi bir formülden daha hızlıdır.
Denetçiler monik kübikleri tam olarak tamsayı-aday kısayolunun geçerli olması nedeniyle severler. Teoremi bilmek, "küpü çözmeyi" hızlı bir bölünebilirlik alıştırmasına ve ardından rutin testlere dönüştürür.
Bilgisayar cebirindeki kök bulma algoritmaları rasyonel kök testiyle açılır: Tam rasyonel kökler herhangi bir sayısal yinelemeden daha ucuzdur, bu nedenle aday listesi her zaman Newton veya ikiye bölme başlamadan önce tükenir. Burada bulunan tam bir kök, sayısal çözücü için bir eksik boyuttur.
Sembolik sistemler, polinomun sönümlenmesi için öncelikle rasyonel kökleri izole eder ve aşağıdaki gibi pahalı kesin çözücüleri uygulamadan önce sorunu küçültür. Cardano'nun yöntemi.
Mühendislikte, güzel kökleri saniyeler içinde elemek, size temiz bir kapalı form beklemeniz mi yoksa sayısal yöntemlere hemen ulaşmanız mı gerektiğini söyler, böylece kaçınılmaz kesin denemelerin çabasından tasarruf edersiniz.
The Cautions
Negatif adayları unutmak: Her p ve q faktörü bir ± işaretiyle birlikte gelir. -3/2 kökü, yalnızca pozitif adayları test eden herkes tarafından gözden kaçırılır.
Kesirleri azaltmamak: Adayların en düşük şartlarda olması gerekir. 1/2'yi test ettikten sonra 2/4'ü test etmek, sıfır yeni bilgi için yapılan işi iki katına çıkarır.
Hangisinin hangisini böldüğünü karıştırmak: Paylar p sabit terimi böler; paydalar q baş katsayıyı böler. Bunları değiştirmek, teoremin asla vaat etmediği bir liste oluşturur.
Assuming every candidate is a root: Listede hükümlüler değil şüpheliler yer alıyor. Her adayın kök statüsünü kazanmadan önce genellikle ikame veya sentetik bölünme yoluyla test edilmesi gerekir.
Baş katsayının göz ardı edilmesi: ≠ 1 olduğunda ±3/2 gibi kesirli adaylar ortaya çıkar. Monik olmayan bir problemde yalnızca tam sayıları test etmek her kökü gözden kaçırabilir.
The Reference
The Collection
The Questions
Hayır. Kübik x³ - 2'de hiç yoktur; gerçek kökü ∛2 irrasyoneldir. Teorem adayları listeler, kazananları garanti etmez.
Bir kökün en düşük terimlerdeki paydası, payın sabit terimi bölmesi gerektiği gibi, baş katsayıyı bölmelidir. Her iki kısıtlama da aynı kanıttan gelir.
En fazla (sabit terimin bölenleri) × (baş katsayının bölenleri), sayma ± bir kez, eksi indirgenmemiş kesirlerden kopyalar.
Hayır. Derece kadar kök bulduğunuzda durun. Her bulgu aynı zamanda polinomun havasını da söndürür. sentetik bölüm, sonraki testleri daraltır ve ikinci dereceden formül geriye kalanları tamamlar.
Kökler irrasyonel veya karmaşıktır. Kullanın kübik kök hesaplayıcı değerler için ve ayrımcı türleri için. Boş bir aday sonucunun kendisi bilgidir: kolay durumları dışlar.
Önce ondalık sayıları tam sayılara dönüştürmek için çarpın, ardından teoremi ölçekli polinoma uygulayın.
Because then every rational root is an integer dividing the constant term, which keeps candidate lists short and hand-testing pleasant.
Yes. Any p/q in lowest terms counts as rational, including negatives and fractions. The theorem was built exactly for cases like this.
