Cubic Equation Solver WORKSPACE
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전용 큐빅 솔버

3차 방정식 해결사

삼차방정식만 푼다. 실수근과 복소수근을 찾고, Cardano 기반 단계를 따르고, 삼차 그래프를 탐색해 보세요.

3차 계수를 입력하세요.

다음에 대한 값을 입력하세요. ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

워크플로 미리보기

왼쪽이 입력, 오른쪽이 결과, 아래는 둘 다 그래프

이렇게 하면 기본 해결 워크플로를 쉽게 스캔할 수 있습니다. 계수를 입력하고 해결된 삼차를 검토한 다음 아래 그래프로 모든 것을 확인합니다.

왼쪽 패널에 a, b, c, d를 입력합니다.
해결하여 오른쪽의 결과 요약을 채웁니다.
아래의 전체 너비 그래프를 사용하여 3차 동작을 확인하세요.

큐빅 그래프

실시간 그래프 미리보기

그래프와 상태 요약이 나란히 배치되므로 입방체 모양이 실시간 측정값과 짝을 이룹니다.

그래프는 왼쪽에 유지되므로 곡선은 기본 시각적 기준으로 유지되고 오른쪽의 상태는 쉽게 스캔할 수 있습니다.

그래프 상태

실시간 요약

실수 x절편

실제 x절편 없음

Y절편

(0, 0)

변곡점

(0, 0)

전환점

로컬 최대/최소 없음

3차 예

3차 솔버 FAQ

삼차 방정식이란 무엇입니까?

3차 방정식은 표준 3차 형식으로 작성된 3차 다항식으로, 최고차 계수는 0이 될 수 없습니다.

이 솔버가 복소수 근을 표시할 수 있습니까?

그렇습니다. 방정식에 하나의 실수근과 복소수-공액 쌍이 있는 경우 결과 섹션에 이를 명확하게 표시하고 복소수로 레이블을 지정합니다.

계수가 왜 그렇게 중요한가요?

a = 0이면 방정식은 더 이상 3차 방정식이 아닙니다. UI는 이를 즉시 검증하고 솔버를 진행할 수 없는 이유를 설명합니다.

단계별 섹션에서는 무엇을 보여줍니까?

정규화된 방정식, 눌려진 3차 변환, 판별 및 최종 해석을 요약하므로 솔버가 더욱 투명하게 느껴집니다.
일반 3차법

3차 해결의 작동 방식

이 섹션에서는 솔버가 3차 방정식에 초점을 맞추도록 합니다. 즉, 방정식을 정규화하고, 방정식을 눌려진 3차로 줄이고, 판별식을 분류하고, 일치 3차 방법을 적용합니다.

1단계

방정식 정규화

일반 삼차 방정식으로 시작하여 최고차 계수가 0이 아닌지 확인하고 모든 항을 a로 나눕니다.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
2단계

2차 항을 제거하세요.

대체품을 사용하세요

x = t - b/(3a)
. 이는 원래의 삼차를 눌려진 삼차로 변환합니다.
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
3단계

판별식 계산

판별식은 3차 방정식의 근 유형과 사용할 방법의 분기를 알려줍니다.

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
4단계

어울리는 케이스를 선택하세요

한 번

Delta
알려진 경우에는 Cardano의 실제 분기, 반복 루트 단축 또는 삼각법 형식을 사용합니다.

델타 > 0: 실수 1개 + 복소수 2개 Delta = 0: 반복되는 실수근 Delta < 0: 3개의 서로 다른 실수근

가능한 모든 경우

판별식은 3차 방법의 어느 부분이 적용되는지 제어합니다.

하나의 실수 근과 두 개의 복소수 켤레 근

사례 1: 델타 > 0

Cardano의 세제곱근 표현식에서 u와 v를 계산하고, 해당 값에서 3개의 우울삼차근을 만든 다음, 일반적인 시프트를 사용하여 다시 변환합니다.

트리플 실수 루트

사례 2A: 델타 = 0 및 p = 0, q = 0

눌려진 삼차는 단일 반복 값으로 붕괴되므로 뒤로 이동한 후 세 개의 실수 근이 모두 일치합니다.

하나의 단순 실수근과 하나의 이중 실수근

사례 2B: 델타 = 0이지만 p와 q가 모두 0은 아닙니다.

단일 세제곱근 값은 역이동 후 하나의 단순 실수근과 하나의 반복 실수근을 생성합니다.

세 가지 별개의 실제 뿌리

사례 3: 델타 < 0

삼각법 형식을 사용하여 코사인 각도를 통해 세 개의 실수근을 표현한 다음 역이동을 통해 이를 다시 x로 변환합니다.

컴팩트 일반 공식

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

이것은 대수적 닫힌 형식입니다. 언제

Delta < 0
, 삼각함수 버전은 일반적으로 실제로 사용하기가 더 쉽습니다.

분류 요약

Delta > 0이면 3차에는 실수근 1개와 복소수 켤레근 2개가 있습니다.
Delta = 0이고 p = q = 0이면 3차는 3개의 동일한 실수 근을 갖습니다.
Delta = 0이지만 p와 q가 모두 0이 아닌 경우, 3차는 1개의 단순 실수근과 1개의 이중 실수근을 갖습니다.
Delta < 0이면 3차에는 3개의 서로 다른 실수근이 있습니다.

일반 템플릿

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

기호 계수에서 시작하여 계산기를 일반화한 다음 a, b, c 및 d에서 p, q 및 Delta를 파생시킵니다.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

Delta를 계산한 후 Delta의 부호에 따라 Cardano, 반복 루트 단축키 또는 삼각 분기를 선택합니다.

Delta > 0인 경우: 하나의 실수근과 두 개의 복소수근 Delta = 0인 경우: 실수 근을 반복함 Delta < 0인 경우: 세 개의 서로 다른 실수 근

일반 작업 흐름: 정규화, x = t - b/(3a) 대체, p, q 및 Delta 계산, 올바른 분기 선택, t에서 x로 다시 변환.

사이트 준비 요약

다음 순서로 3차 풀이를 제시합니다. 방정식을 정규화하고, 대체합니다.

x = t - b/(3a)
, 우울한 입방체를 만들어라
t^3 + pt + q = 0
, p, q를 계산하고
Delta
, 올바른 케이스를 선택하고 일치하는 근 공식을 적용하고 t에서 다시 x로 변환한 다음 근 유형과 함께 최종 근을 표시합니다.

교육 가이드

해결 방법 3차 방정식

가능한 모든 근본 사례와 수학적 변환을 포함하여 3차 해결 과정에 대한 완전한 단계별 설명입니다.

다단계 방법론

솔버는 먼저 방정식을 정규화하고 이를 눌려 3차 형식으로 변환한 다음 p, q 및 판별식을 계산한 다음 루트 케이스에 따라 올바른 방법을 선택합니다.

방정식 정규화
2차 항 제거
계산 판별기
분류 방법

논리 매개변수

정규화된 형식
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
우울한 형태
t^3 + pt + q = 0
시프트(x = t - 시프트)

b/3a

매개변수 p, q

p, q

판별자(델타)

(q/2)^2 + (p/3)^3

단계별 수학적 분석

01

방정식 정규화

전체 삼차 방정식을 선행 계수 a로 나누어 모닉 방정식을 얻습니다.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

2차 항 제거

대체

x = t - b/(3a)
2차 항을 제거하고 변곡점을 y축으로 이동합니다.

대체: x = t - b/(3a)
03

우울한 입방체 얻기

대체 결과는 t^2 항이 없는 '우울형' 형태가 됩니다.

t^3 + pt + q = 0
04

매개변수 p, q 및 Delta 계산

눌려진 매개변수와 근본 특성을 결정하는 판별식을 계산합니다.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

올바른 대소문자를 선택하세요

델타를 기준으로 근본 특성을 식별합니다. 델타 > 0(실수 1개, 복소수 2개), 델타 = 0(반복 실수) 또는 델타 < 0(고유 실수 3개).

고급 관찰델타 > 0: 하나의 실수근, 두 개의 복소공액. 델타 = 0: 다중 실수근. 델타 < 0: 세 개의 서로 다른 실수 근.

06

일치하는 근 공식 적용

사례 1에는 Cardano의 공식을 사용하고, 사례 2에는 반복 루트 단축키를 사용하고, 사례 3에는 삼각법 방법을 사용하세요.

고급 관찰특정 판별 값에 대해 가장 높은 정밀도를 제공하는 알고리즘을 선택합니다.

07

t에서 다시 x로 변환

t를 찾으면 대체 이동을 역전시켜 최종 근 x를 찾습니다.

x = t - b/(3a)
08

최종 근 및 유형 표시

계산된 근을 확인하고 다음을 확인합니다.

f(x) \\approx 0
각 루트마다.

f(x) \approx 0

분류 요약

D+
사례 1: 델타 > 0
1 리얼, 2 컴플렉스

하나의 실수 근과 두 개의 복소수 켤레 근. Cardano의 큐브 루트를 통해 해결되었습니다.

D0
사례 2A: 델타 = 0, p = q = 0
3은 실수이다

세 개의 뿌리가 모두 단일 지점(변곡점)으로 붕괴되는 가장 드문 경우입니다.

R2
사례 2B: 델타 = 0(p, q != 0)
심플 1개, 더블 1개

하나의 별개의 실수근과 하나의 반복되는 실수근. 그래프는 x축에 접합니다.

D-
사례 3: 델타 < 0
3개의 뚜렷한 실제

세 가지 별개의 실제 뿌리. 삼각법 방법은 가장 안정적인 솔루션을 제공합니다.

사용된 알고리즘

카르다노의 공식

Delta > 0에 사용됩니다. 실수의 세제곱근 조합을 사용합니다.

삼각법 형태

Delta < 0에 사용됩니다. 코사인 함수를 사용하여 'Casus Irreducibilis'를 방지합니다.

반복되는 루트 경로

Delta = 0에 사용됩니다. Cardano 파생에서 u = v로 계산을 단순화합니다.

판별식을 기반으로 자동으로 선택된 방법입니다.

대수적 맥락

Cardano-Tartaglia 파생 마스터하기

기본 원리는 대체를 사용하는 것입니다.

x = u + v
삼차를 이차로 변환하려면
u^3
 그리고
v^3
. 이를 찾으면 t 값과 마지막으로 x 값이 잠금 해제됩니다.

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
일반 방정식 템플릿

일반 입방체 구조

기호 계수 a, b, c, d에서 시작한 다음 축소된 형식과 일치하는 루트 분기를 파생합니다.

대상 문제
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
시프트 값
x = t - b/(3a)
매개변수 p
(3ac - b^2) / (3a^2)
매개변수 q
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
판별 델타
(q/2)^2 + (p/3)^3
루트 패턴 개요

최종 근 패턴은 델타에 따라 달라집니다. 양수는 하나의 실수근을 제공하고, 0은 반복되는 실수근을 제공하며, 음수는 세 개의 서로 다른 실수근을 제공합니다.

xx1
xx2
xx3