Selesaikan persamaan padu sahaja. Cari punca sebenar dan kompleks, ikuti langkah berasaskan Cardano, dan terokai graf padu.
Masukkan Pekali Polinomial
Selesaikan punca, rumus, dan ukuran terbitan
Rajah Kubik
Persamaan padu ialah polinomial darjah ketiga dalam bentuk ax³ + bx² + cx + d = 0 dengan pekali bukan sifar a. Kubik muncul dalam geometri, pengoptimuman, sistem kawalan, grafik, dan banyak model kejuruteraan.
Halaman ini mengikut laluan yang jelas serupa dengan ruang kerja penyelesai praktikal: definisi, formula, proses penyelesaian, alatan kalkulator dan semakan pengesahan.
Hari ini, persamaan kubik muncul di mana-mana: dalam pengoptimuman kejuruteraan, simulasi fizik, grafik komputer (lengkung Bézier), pemodelan ekonomi, dan penyelidikan saintifik. Sama ada anda seorang pelajar yang mempelajari teori polinomial atau seorang jurutera yang menyelesaikan kekangan reka bentuk, memahami kubik adalah penting. Halaman ini menyediakan kalkulator, teori, dan contoh yang telah diselesaikan yang anda perlukan untuk menguasainya.
Anatomi Lengkung Kubik
Dalam tatatanda piawai, a, b, c, dan d mengawal bentuk, titik pusingan, dan kelakuan memintas lengkung.
Pemiang utama a adalah yang paling penting kerana ia mengawal sama ada lengkung naik ke kanan (a positif) atau turun ke kanan (a negatif). Ia juga mempengaruhi kecuraman lengkung. Koefisien b menggeser titik infleksi secara mendatar, c mempengaruhi kecuraman berhampiran asal, dan d menetapkan persilangan-y — titik tepat di mana lengkung melintasi paksi menegak.
Pekali utama mestilah bukan sifar. Mengawal tingkah laku akhir dan arah lengkung.
Pekali kuadratik menganjak kelengkungan dan menggerakkan titik infleksi secara mendatar.
Pekali linear mempengaruhi cerun pada asal dan kecuraman keseluruhan lengkung.
Istilah malar (pintasan-y) di mana lengkung melintasi paksi menegak.
Sebelum menyelesaikan sebarang kubik, kenal pasti pekali yang diketahui, kemudian pilih laluan simbolik yang betul.
Penggantian
x = t - b/(3a)
Borang Tertekan
t^3 + pt + q = 0
Diskriminasi
Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
pintasan-Y
f(0) = d
Infleksi X
x = -b/(3a)
Titik pusingan
Selesaikan f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c = 0
Setiap persamaan kubik boleh diselesaikan dengan mengikuti proses lima langkah yang sistematik. Kaedah ini berfungsi untuk semua persamaan kubik tanpa mengira koefisiennya, sama ada akar-akarnya nyata atau kompleks, dan sama ada ia berulang atau berbeza. Diskriminan pada langkah ketiga menentukan cabang matematik mana yang perlu digunakan untuk pengiraan akhir.
Tulis persamaan dalam bentuk piawai dan sahkan a != 0.
Normalkan dan kurangkan kepada bentuk kubik tertekan.
Nilaikan diskriminasi untuk memilih cawangan berangka.
Kira punca dan ubah kembali kepada ruang-x.
Sahkan punca dengan pemeriksaan penggantian dan graf.
Pokok Keputusan Diskriminasi
Penyelesai distrukturkan untuk menunjukkan formula, logik penggantian, punca yang dikira, dan nota tafsiran supaya setiap output boleh diaudit dengan cepat.
Formula: hubungan tepat yang digunakan untuk cawangan semasa.
Penggantian: nilai yang dimasukkan ke dalam persamaan simbolik.
Jawapan: set akar dengan label jenis sebenar/kompleks.
Penjelasan: tafsiran pendek bentuk diskriminasi dan lengkung.
Persediaan bilik darjah dan peperiksaan dengan laluan penyelesaian yang telus.
Prototaip kejuruteraan di mana akar polinomial mentakrifkan kekangan.
Pemasangan keluk data dan pusat pemeriksaan simulasi.
Tugas kawalan dan pengoptimuman yang memerlukan klasifikasi akar yang boleh dipercayai.
Sahkan a bukan sifar dan input adalah angka.
Elakkan pembundaran awal dalam langkah perantaraan.
Semak baki nilai f(x) untuk setiap punca yang dikira.
Gunakan keadaan graf untuk mengesahkan tingkah laku memintas dan membelok.
Semak silang dengan contoh apabila ketepatan adalah kritikal.
Sediakan keempat-empat pekali dan pastikan format angka bersih.
Penyelesai menggunakan pengurangan padu dan percabangan diskriminasi dalam masa nyata.
Gunakan label graf, keadaan dan semakan baki untuk mengesahkan penyelesaian.
Bandingkan keluarga padu biasa dan hasil akar biasa.
Persamaan
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
Tandatangan Akar
1.000, 2.000, 3.000
Persamaan
x³ - 3x² + 3x - 1 = 0
Tandatangan Akar
1.000 (tiga kali ganda)
Persamaan
x³ + x + 1 = 0
Tandatangan Akar
-0.682 + pasangan kompleks
Persamaan
x³ - 4x = 0
Tandatangan Akar
-2.000, 0.000, 2.000
Setiap persamaan padu mengalir melalui saluran paip lima peringkat yang sama, daripada pekali mentah kepada punca yang disahkan.
Dibina khusus untuk polinomial padu, alat ini menawarkan ketepatan, ketelusan dan kelajuan yang tidak dapat dipadankan oleh kalkulator tujuan umum.
Tiada gangguan daripada darjah polinomial lain. Setiap ciri ditala untuk persamaan darjah ketiga.
Lihat terbitan penuh daripada normalisasi kepada pengekstrakan akar — bukan hanya jawapan akhir.
Kemas kini graf SVG interaktif semasa anda menaip, menunjukkan punca, titik pusingan dan infleksi dalam masa nyata.
Tersedia dalam 19 bahasa supaya pelajar dan profesional di seluruh dunia boleh belajar dalam bahasa ibunda mereka.
Enjin JavaScript pihak pelanggan bermaksud sifar pelayan pergi-balik. Keputusan muncul apabila anda menekan Selesaikan.
Pemeriksaan baki mengesahkan setiap punca memenuhi persamaan dalam toleransi 1e-10.
Walaupun setiap persamaan kubik berkongsi sifat asas sebagai polinomial darjah tiga, ia boleh dikategorikan kepada jenis yang berbeza berdasarkan pemalar dan sifat akar mereka. Memahami jenis-jenis ini membantu anda memilih kaedah penyelesaian yang paling cepat.
Bentuk umum di mana 'a' tidak sifar. Semua jenis lain adalah kes khas bagi bentuk piawai ini.
Sebuah kubik di mana pekali utama a=1. Jika a≠1, anda boleh membuat kubik monik dengan membahagikan keseluruhan persamaan dengan 'a'.
Kubik tanpa terma x² (b=0). Bentuk ini penting kerana formula Cardano memerlukan persamaan berada dalam bentuk tertekan terlebih dahulu.
Satu kubik yang boleh difaktorkan dengan mudah menggunakan pengelompokan atau pembahagian sintetik. Setelah difaktorkan, kuadratik yang tinggal boleh diselesaikan dengan serta-merta.
Kami merancang penyelesai ini untuk mudah difahami. Ikuti langkah-langkah ini untuk mendapatkan akar yang tepat dan pecahan langkah demi langkah bagi mana-mana persamaan kubik.
Tingkah laku persamaan kubik dikawal oleh beberapa teorem matematik yang elegan. Memahami prinsip-prinsip ini membantu menjelaskan mengapa persamaan kubik sentiasa mempunyai tiga punca dan mengapa punca kompleks sentiasa muncul dalam pasangan.
Teorema asas ini menyatakan bahawa setiap polinomial darjah 'n' mempunyai tepat 'n' akar dalam sistem nombor kompleks, dengan syarat anda mengira akar yang berulang. Oleh kerana kubik adalah darjah 3, ia sentiasa mempunyai tepat tiga akar.
Jika suatu polinomial mempunyai koefisien nyata (yang mana benar untuk semua persamaan yang dimasukkan dalam kalkulator ini), sebarang akar kompleks mesti muncul dalam pasangan konjugat. Jika (u + vi) adalah suatu akar, maka (u - vi) juga adalah suatu akar. Kerana kubik mempunyai tiga akar dan akar kompleks memerlukan sepasang, setiap kubik mesti mempunyai sekurang-kurangnya satu akar nyata.
Formula Vieta menerangkan hubungan langsung antara koefisien polinomial dan akarnya (r₁, r₂, r₃). Untuk persamaan ax³ + bx² + cx + d = 0:
Formula kuadratik menyelesaikan sebarang persamaan darjah-2. Formula Cardano adalah setara darjah-3nya. Diterbitkan oleh Girolamo Cardano pada tahun 1545 (berdasarkan kerja oleh Scipione del Ferro dan Niccolò Tartaglia), ia merupakan penyelesaian algebra umum pertama untuk persamaan kubik.
Formula Cardano tidak boleh digunakan secara langsung pada ax³ + bx² + cx + d = 0. Kita mesti terlebih dahulu menghapuskan terma x². Kita lakukan ini dengan menggantikan x = t - b/(3a). Ini menukar kubik umum kepada Kubik Tertekan: t³ + pt + q = 0.
Menggunakan 'p' dan 'q' dari kubik tertekan, kita mengira diskriminan: Δ = (q/2)² + (p/3)³. Tanda Δ menentukan selebihnya algoritma:
Cara terbaik untuk memahami persamaan kubik ialah dengan melihatnya diselesaikan. Berikut ialah senario biasa yang akan anda temui, merangkumi pelbagai jenis punca dan struktur pekali.
Langkah 1: Perhatikan bahawa x=1 menjadikan persamaan itu sifar (1 - 6 + 11 - 6 = 0).
Langkah 2: Faktorkan (x-1) untuk mendapatkan (x-1)(x² - 5x + 6) = 0.
Langkah 3: Faktorkan kuadratik itu menjadi (x-2)(x-3).
Akar: x = 1, x = 2, x = 3
Langkah 1: Ini adalah persamaan depresi (tiada x²). Di sini p = -3, q = 2.
Langkah 2: Pembeza Δ = (2/2)² + (-3/3)³ = 1 - 1 = 0.
Langkah 3: Diskriminan sifar bermaksud akar berulang.
Akar: x = 1 (akar berganda), x = -2
Langkah 1: Kubik tertekan dengan p = 1, q = 2.
Langkah 2: Δ = (2/2)² + (1/3)³ = 1 + 1/27 ≈ 1.037 > 0.
Langkah 3: Lengkung itu melintasi paksi-x tepat sekali.
Akar: x = -1 (nyata), x = 0.5 ± 1.323i (kompleks)
Langkah 1: Perhatikan ini sesuai dengan pengembangan (x-1)³ dengan sempurna.
Langkah 2: Oleh itu, persamaan itu ialah (x-1)³ = 0.
Langkah 3: Graf mempunyai titik infleksi mendatar di x=1.
Akar: x = 1 (akar tiga kali ganda)
Graf bagi persamaan kubik mendedahkan rahsianya dengan sekilas pandang. Kalkulator kami menjana lengkung ini secara automatik, tetapi mengetahui apa yang perlu diperhatikan adalah penting.
Di mana lengkung itu melintasi paksi mendatar. Suatu kubik akan melintasi sama ada 1, 2, atau 3 kali.
Di mana lengkung melintasi paksi menegak. Ini sentiasa sama tepat dengan terma malar 'd'.
Maksimum tempatan (puncak) dan minimum tempatan (lembah). Sebuah kubik mempunyai sama ada tepat dua titik perubahan atau sifar.
Pusat tepat simetri putaran di mana lengkung berubah kelengkungan (dari busur ke mangkuk, atau sebaliknya).
Persamaan kubik bukan sekadar matematik abstrak — ia menggambarkan dunia fizikal. Mana-mana sistem yang melibatkan isipadu, ruang 3D, atau pecutan yang berubah sering menghasilkan polinomial darjah ketiga.
Digunakan untuk mengira lengkung tegangan-regangan dalam bahan, mengoptimumkan beban struktur, dan merekabentuk profil aerodinamik.
Penting untuk persamaan negeri van der Waals, yang memodelkan kelakuan gas sebenar yang tidak ideal.
Lengkung Bézier, asas kepada grafik vektor dan pemodelan 3D, bergantung sepenuhnya pada polinomial kubik untuk melukis garis yang lancar.
Digunakan untuk memodelkan fungsi kos, hasil, dan keuntungan di mana kadar marginal berubah-ubah dengan ketara dari masa ke masa.
Memodelkan gerakan peluru yang mengalami rintangan udara, beberapa persamaan gelombang, dan pemudahcaraan dinamik bendalir.
Model regresi polinomial sering menggunakan pengembangan darjah tiga untuk memetakan landskap pengoptimuman yang kompleks dan bukan linear.
Walaupun ahli matematik berpengalaman boleh membuat kesilapan apabila menyelesaikan polinomial darjah ketiga secara manual. Berikut adalah kesilapan yang paling kerap berlaku dan cara untuk mengelakkannya.
Jika pekali utama 'a' adalah sifar, terma x³ akan hilang dan ia menjadi persamaan kuadratik. Sentiasa pastikan a ≠ 0.
Lupa untuk memasukkan tanda tolak semasa menggantikan pemalar negatif ke dalam formula Cardano adalah punca utama kesilapan manual.
Untuk persamaan seperti x³ - 8 = 0, anda mesti secara jelas mengambil kira b = 0 dan c = 0. Gagal melakukannya akan mengganggu seluruh pengiraan.
Sebuah kubik sentiasa mempunyai tiga akar. Jika anda hanya menemui satu akar sebenar, anda belum selesai — dua lagi wujud sebagai pasangan konjugat kompleks.
Pembulatan nombor semasa mengira p, q, dan diskriminan menyebabkan ralat berantai besar dalam akar akhir. Simpan pecahan tepat sehingga ke penghujung.
Mengandaikan satu lengkung yang menyentuh paksi-x tanpa melintasinya tidak mempunyai akar di situ. Sebenarnya, ia mewakili akar berganda (berulang).
Jangan sesekali menganggap punca kuadrat anda betul tanpa membuktikannya. Berikut adalah empat cara yang mantap secara matematik untuk mengesahkan penyelesaian persamaan kubik anda.
Pasangkan setiap akar yang dikira kembali ke dalam persamaan asal f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Jika matematiknya betul, hasilnya seharusnya tepat sifar. Disebabkan oleh matematik titik apung, komputer mencari hasil yang sangat hampir dengan sifar (contohnya, 1e-10).
Tambah ketiga-tiga akar anda bersama-sama. Jumlahnya mesti sama dengan -b/a. Kemudian, darabkan ketiga-tiga akar itu bersama-sama. Hasilnya mesti sama dengan -d/a. Jika salah satu gagal, akar anda salah.
Lukis lengkung kubik. Akar nyata yang anda kira secara matematik mesti selari dengan tepat dengan persilangan-x pada graf.
Jika anda percaya anda mempunyai akar berganda pada x=r, maka menggantikan 'r' ke dalam terbitan f'(x) = 3ax² + 2bx + c juga mesti sama dengan sifar.
Seragamkan aliran kerja anda dengan kalkulator polinomial padu khusus kami.
Kenal pasti sifat akar dengan serta-merta. Ketahui sama ada kubik anda mempunyai penyelesaian sebenar, kompleks atau berulang.
Kalkulator langkah demi langkah menggunakan formula sejarah Cardano dengan menghapuskan istilah kuasa dua.
Ubah persamaan padu piawai kepada bentuk tertekan yang lebih mudah secara automatik.
Pengekstrakan sepantas kilat bagi pintasan-x, menyelesaikan kedua-dua pasangan punca sebenar dan kompleks dengan tepat.
Alat memplot lengkung interaktif untuk menggambarkan akar, titik belok dan gelagat cerun.
Tentukan pusat simetri putaran yang tepat di mana lengkung padu anda mengubah lekuk.
Tentukan puncak tepat (Maksima Tempatan) dan lembah (Minima Tempatan) polinomial anda.
Pecahkan persamaan padu secara elegan kepada faktor binomial bersih dengan sempurna tanpa perpuluhan.
Alat pembahagian trengkas pantas untuk memeriksa faktor dan mengecilkan kubik kepada kuadratik boleh larut.
Alat pembahagian klasik yang teguh menyokong pembahagi kuadratik dengan ketelusan penuh.
Hasilkan senarai ketat semua kemungkinan punca pecahan bersih dan integer untuk persamaan anda.
Nilai akar dengan cepat memintas bahagian penuh, memeriksa faktor semata-mata melalui penggantian pantas.
Analisis hasil tambah dan hasil darab akar padu anda terus daripada pekali polinomial.
Utiliti khusus untuk mengekstrak secara ketat pasangan konjugat khayalan dari lengkung darjah ketiga.
Aplikasi pemplotan SVG terperinci tinggi yang sangat tertumpu pada grafik padu dalam.
Ukur jarak, sebaran dan perbezaan mutlak antara punca polinomial yang ditemui.
Sebuah persamaan adalah kubik apabila eksponen (pangkat) tertinggi bagi pembolehubah adalah 3. Contohnya, dalam 4x³ - 2x + 1 = 0, terma x³ adalah yang menentukan ia sebagai polinomial kubik.
Tidak. Kerana akar kompleks sentiasa datang berpasangan (konjugat), dan suatu kubik mesti mempunyai tepat 3 akar jumlahnya, akan sentiasa ada sekurang-kurangnya satu akar nyata. Dari segi geometri, lengkung itu meluas dari negatif ke positif infiniti, menjamin ia melintasi paksi x sekurang-kurangnya sekali.
Pembeza bertindak seperti imbasan diagnostik. Jika ia positif, anda mempunyai 1 akar nyata dan 2 akar kompleks. Jika ia tepat sifar, anda mempunyai akar nyata yang berulang. Jika ia negatif, anda mempunyai 3 akar nyata yang berbeza.
Apabila sesebuah persamaan kubik mempunyai tiga akar sebenar (pembeza negatif), formula algebra Cardano tersekat ketika cuba mengira punca kubik bagi nombor kompleks. Untuk mengelakkan "casus irreducibilis" ini, ahli matematik menggunakan identiti trigonometri (melibatkan kosinus dan arkkosinus) untuk mengira akar sebenar dengan tepat.
Ya! Enjin kalkulator mengendalikan nombor bulat, nombor negatif, dan perpuluhan dengan lancar. Ia mengekalkan ketepatan titik terapung yang sangat tinggi sepanjang semua langkah pertengahan untuk memastikan output akhir adalah tepat.
