Cubic Equation Solver WORKSPACE
Open menu
Penyelesai Kubik Khusus

Penyelesai Persamaan Kubik

Selesaikan persamaan padu sahaja. Cari punca sebenar dan kompleks, ikuti langkah berasaskan Cardano, dan terokai graf padu.

Masukkan pekali padu

Masukkan nilai untuk ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

Pratonton Aliran Kerja

Input di sebelah kiri, hasil di sebelah kanan, graf di bawah kedua-duanya

Ini memastikan aliran kerja penyelesaian utama mudah diimbas: masukkan pekali, semak padu yang diselesaikan, kemudian sahkan semuanya dengan graf di bawah.

Masukkan a, b, c dan d dalam panel kiri.
Selesaikan untuk mengisi ringkasan hasil di sebelah kanan.
Gunakan graf lebar penuh di bawah untuk mengesahkan kelakuan padu.

Graf Kubik

Pratonton graf langsung

Graf dan ringkasan keadaan duduk bersebelahan supaya bentuk padu kekal berpasangan dengan ukuran langsungnya.

Graf kekal di sebelah kiri supaya lengkung kekal sebagai penambat visual utama manakala keadaan di sebelah kanan kekal mudah untuk diimbas.

Keadaan graf

Ringkasan langsung

pintasan-x sebenar

Tiada pintasan x sebenar

pintasan-Y

(0, 0)

Titik infleksi

(0, 0)

Titik pusingan

Tiada maks/min tempatan

Contoh Kubik

Soalan Lazim Penyelesai Kubik

Apakah persamaan padu?

Persamaan padu ialah polinomial darjah ketiga yang ditulis dalam bentuk padu piawai, di mana pekali pendahuluan tidak boleh sifar.

Bolehkah penyelesai ini menunjukkan akar yang kompleks?

ya. Jika persamaan mempunyai satu punca sebenar dan pasangan konjugat kompleks, bahagian keputusan menunjukkannya dengan jelas dan melabelkannya sebagai kompleks.

Mengapakah pekali sangat penting?

Jika a = 0, persamaan tidak lagi kubik. UI mengesahkan ini serta-merta dan menerangkan sebab penyelesai tidak boleh meneruskan.

Apakah yang ditunjukkan oleh bahagian langkah demi langkah?

Ia meringkaskan persamaan ternormal, transformasi kubik tertekan, diskriminasi dan tafsiran akhir supaya penyelesai berasa lebih telus.
Kaedah Kubik Am

Cara Penyelesaian Kubik Berfungsi

Bahagian ini memastikan penyelesai fokus pada persamaan padu: normalkan persamaan, kurangkan kepada padu tertekan, klasifikasikan diskriminasi dan gunakan kaedah padu sepadan.

Langkah 1

Normalkan persamaan

Mulakan dengan persamaan padu am, sahkan pekali pendahulu ialah bukan sifar, dan bahagikan setiap sebutan dengan a.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Langkah 2

Buang istilah kuadratik

Gunakan penggantian

x = t - b/(3a)
. Ini menukarkan kubik asal kepada kubik tertekan
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
Langkah 3

Kirakan diskriminasi

Diskriminasi memberitahu kami jenis akar mana yang dimiliki oleh kubik dan cabang kaedah mana yang hendak digunakan.

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
Langkah 4

Pilih kes yang sepadan

sekali

Delta
diketahui, kami menggunakan cawangan sebenar Cardano, pintasan akar berulang, atau bentuk trigonometri.

Delta > 0: 1 nyata + 2 kompleks Delta = 0: punca sebenar berulang Delta < 0: 3 punca sebenar yang berbeza

Setiap Kemungkinan Kes

Diskriminasi mengawal cabang kaedah kubik yang digunakan.

Satu akar nyata dan dua akar konjugat kompleks

Kes 1: Delta > 0

Kira u dan v daripada ungkapan akar kubus Cardano, bina tiga punca tertekan-kubik daripada nilai tersebut, dan kemudian tukar semula dengan anjakan biasa.

Tiga akar sebenar

Kes 2A: Delta = 0 dan p = 0, q = 0

Kubik tertekan runtuh kepada satu nilai berulang, jadi ketiga-tiga punca sebenar bertepatan selepas beralih ke belakang.

Satu punca sebenar mudah dan satu punca sebenar berganda

Kes 2B: Delta = 0 tetapi p dan q bukan kedua-duanya sifar

Nilai punca kubus tunggal menjana satu punca nyata ringkas dan satu punca nyata berulang selepas anjakan songsang.

Tiga akar sebenar yang berbeza

Kes 3: Delta < 0

Gunakan bentuk trigonometri untuk menyatakan tiga punca nyata melalui sudut kosinus, kemudian tukarkannya kembali kepada x dengan anjakan songsang.

Formula Am Padat

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

Ini ialah bentuk tertutup algebra. bila

Delta < 0
, versi trigonometri biasanya lebih mudah digunakan dalam amalan.

Ringkasan Klasifikasi

Jika Delta > 0, kubik mempunyai 1 akar nyata dan 2 akar konjugat kompleks.
Jika Delta = 0 dan p = q = 0, kubik mempunyai 3 punca nyata yang sama.
Jika Delta = 0 tetapi p dan q bukan kedua-duanya sifar, kubik mempunyai 1 punca nyata ringkas dan 1 punca nyata berganda.
Jika Delta < 0, kubik mempunyai 3 punca nyata yang berbeza.

Templat Generik

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Kekalkan kalkulator generik dengan bermula daripada pekali simbolik, kemudian terbitkan p, q, dan Delta daripada a, b, c, dan d.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

Selepas mengira Delta, pilih Cardano, pintasan akar berulang, atau cabang trigonometri bergantung pada tanda Delta.

Jika Delta > 0: satu punca nyata dan dua punca kompleks Jika Delta = 0: punca sebenar berulang Jika Delta < 0: tiga punca nyata yang berbeza

Aliran kerja generik: normalkan, gantikan x = t - b/(3a), hitung p, q dan Delta, pilih cawangan yang betul, kemudian tukar semula daripada t kepada x.

Ringkasan Sedia Tapak

Hadirkan penyelesaian kubik dalam susunan ini: normalkan persamaan, gantikan

x = t - b/(3a)
, membina kubik tertekan
t^3 + pt + q = 0
, hitung p, q, dan
Delta
, pilih kes yang betul, gunakan formula akar yang sepadan, tukar daripada t kembali kepada x, dan kemudian tunjukkan punca akhir dengan jenis akarnya.

Panduan Pendidikan

Cara Menyelesaikan a Persamaan Kubik

Penjelasan langkah demi langkah yang lengkap tentang proses penyelesaian padu, termasuk semua kemungkinan punca dan transformasi matematik.

Metodologi Pelbagai Peringkat

Penyelesai mula-mula menormalkan persamaan, mengubahnya menjadi bentuk kubik tertekan, mengira p, q, dan diskriminasi, kemudian memilih kaedah yang betul bergantung pada kes akar.

Normalisasikan Persamaan
Buang Jangka Kuadratik
Diskriminasi Kira
Kaedah Klasifikasi

Parameter Logik

Borang Ternormal
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Borang Tertekan
t^3 + pt + q = 0
Anjakan (x = t - anjakan)

b/3a

Parameter p, q

p, q

Diskriminasi (Delta)

(q/2)^2 + (p/3)^3

Pecahan Matematik Langkah demi Langkah

01

Normalkan Persamaan

Bahagikan keseluruhan persamaan padu dengan pekali pendahulu a untuk mendapatkan persamaan monik.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

Keluarkan Istilah Kuadratik

Pengganti

x = t - b/(3a)
untuk menghapuskan sebutan kuadratik dan mengalihkan titik infleksi ke paksi-y.

Pengganti: x = t - b/(3a)
03

Dapatkan Depressed Cubic

Penggantian menghasilkan bentuk 'tertekan' tanpa sebutan t^2.

t^3 + pt + q = 0
04

Kira Parameter p, q dan Delta

Kira parameter tertekan dan diskriminasi yang menentukan sifat akar.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

Pilih Kes yang Betul

Kenal pasti sifat akar berdasarkan Delta: Delta > 0 (1 nyata, 2 kompleks), Delta = 0 (nyata berulang), atau Delta < 0 (3 nyata berbeza).

Pemerhatian LanjutanDelta > 0: Satu punca sebenar, dua konjugat kompleks. Delta = 0: Berbilang punca sebenar. Delta < 0: Tiga punca sebenar yang berbeza.

06

Gunakan Formula Akar Padanan

Gunakan formula Cardano untuk Kes 1, pintasan akar berulang untuk Kes 2, atau kaedah Trigonometri untuk Kes 3.

Pemerhatian LanjutanKami memilih algoritma yang memberikan ketepatan tertinggi untuk nilai diskriminasi tertentu.

07

Tukar daripada t kembali kepada x

Setelah t ditemui, terbalikkan anjakan penggantian untuk mencari punca akhir x.

x = t - b/(3a)
08

Tunjukkan Akar Akhir dan Jenis

Sahkan akar yang dikira dan sahkan itu

f(x) \\approx 0
bagi setiap akar.

f(x) \approx 0

Ringkasan Klasifikasi

D+
Kes 1: Delta > 0
1 Nyata, 2 Kompleks

Satu akar nyata dan dua akar konjugat kompleks. Diselesaikan melalui akar kubus Cardano.

D0
Kes 2A: Delta = 0, p = q = 0
3 Sama Nyata

Kes paling jarang di mana ketiga-tiga akar runtuh menjadi satu titik (titik infleksi).

R2
Kes 2B: Delta = 0 (p, q != 0)
1 Mudah, 1 Ganda

Satu punca sebenar berbeza dan satu punca sebenar berulang. Graf adalah tangen kepada paksi-x.

D-
Kes 3: Delta < 0
3 Berbeza Nyata

Tiga akar sebenar yang berbeza. Kaedah trigonometri menyediakan penyelesaian yang paling stabil.

Algoritma Digunakan

Formula Cardano

Digunakan untuk Delta > 0. Menggunakan gabungan punca kubus nombor nyata.

Bentuk Trigonometri

Digunakan untuk Delta < 0. Elakkan 'Casus Irreducibilis' dengan menggunakan fungsi kosinus.

Laluan Akar Berulang

Digunakan untuk Delta = 0. Memudahkan pengiraan sebagai u = v dalam terbitan Cardano.

Kaedah dipilih secara automatik berdasarkan diskriminasi.

Konteks Algebra

Menguasai Derivasi Cardano-Tartaglia

Prinsip asasnya ialah menggunakan penggantian

x = u + v
untuk menukar padu kepada kuadratik dari segi
u^3
 dan
v^3
. Setelah ini ditemui, nilai untuk t dan akhirnya x dibuka kuncinya.

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
Templat Persamaan Generik

Struktur Kubik Am

Mulakan daripada pekali simbolik a, b, c, dan d, kemudian terbitkan bentuk terkecil dan cabang akar yang sepadan.

Masalah Sasaran
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Nilai Anjakan
x = t - b/(3a)
Parameter p
(3ac - b^2) / (3a^2)
Parameter q
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
Delta Diskriminasi
(q/2)^2 + (p/3)^3
Gambaran Keseluruhan Corak Akar

Corak punca akhir bergantung kepada Delta: positif memberikan satu punca sebenar, sifar memberikan punca sebenar berulang, dan negatif memberikan tiga punca nyata berbeza.

xx1
xx2
xx3