Cubic Equation Solver WORKSPACE
Open menu
Специализиран кубичен решаващ инструмент

Решаване на кубични уравнения

Решавайте само кубични уравнения. Намерете реални и комплексни корени, следвайте стъпките, базирани на Cardano, и изследвайте кубичната графика.

Въведете кубични коефициенти

Въведете стойности за ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

Визуализация на работния процес

Въвеждане отляво, резултат отдясно, графика под двете

Това поддържа основния работен процес за решаване лесен за сканиране: въведете коефициенти, прегледайте решения куб, след което потвърдете всичко с графиката отдолу.

Въведете a, b, c и d в левия панел.
Решете, за да попълните обобщението на резултатите вдясно.
Използвайте графиката с пълна ширина по-долу, за да потвърдите кубичното поведение.

Кубична графика

Преглед на графика на живо

Графиката и обобщената информация за състоянието са една до друга, така че кубичната форма остава съчетана с нейните измервания на живо.

Графиката остава отляво, така че кривата остава основната визуална котва, докато състоянията отдясно остават лесни за сканиране.

Състояния на графиката

Резюме на живо

Реални x-отсечки

Няма реални x-отсечки

Y-отсечка

(0, 0)

Инфлексна точка

(0, 0)

Повратни точки

Няма локален макс./мин

Кубични примери

Кубичен Solver ЧЗВ

Какво е кубично уравнение?

Кубичното уравнение е полином от трета степен, записан в стандартна кубична форма, където водещият коефициент не може да бъде нула.

Може ли тази програма за решаване да показва сложни корени?

да Ако уравнението има един реален корен и двойка комплексно спрегнати, разделът с резултатите ги показва ясно и ги обозначава като комплексни.

Защо коефициентът а има толкова голямо значение?

Ако a = 0, уравнението вече не е кубично. Потребителският интерфейс потвърждава това незабавно и обяснява защо програмата за решаване не може да продължи.

Какво показва разделът стъпка по стъпка?

Той обобщава нормализираното уравнение, депресираната кубична трансформация, дискриминанта и окончателната интерпретация, така че решаващият се чувства по-прозрачен.
Общ кубичен метод

Как работи кубичното решаване

Този раздел държи програмата за решаване фокусирана върху кубични уравнения: нормализиране на уравнението, редуциране до депресираната кубика, класифициране на дискриминанта и прилагане на съответстващия кубичен метод.

Стъпка 1

Нормализирайте уравнението

Започнете с общото кубично уравнение, потвърдете, че водещият коефициент е различен от нула, и разделете всеки член на a.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Стъпка 2

Премахнете квадратичния член

Използвайте замяната

x = t - b/(3a)
. Това преобразува оригиналния куб в депресиран куб
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
Стъпка 3

Изчислете дискриминанта

Дискриминантът ни казва кой тип корени има кубичният елемент и кой клон на метода да използваме.

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
Стъпка 4

Изберете съответния регистър

Веднъж

Delta
е известно, използваме реалния клон на Cardano, прекия път с повторен корен или тригонометричната форма.

Делта > 0: 1 реално + 2 комплексно Делта = 0: повтарящи се реални корени Делта < 0: 3 различни реални корена

Всеки възможен случай

Дискриминантът контролира кой клон на кубичния метод се прилага.

Един истински корен и два комплексно спрегнати корена

Случай 1: Делта > 0

Изчислете u и v от изразите за кубичен корен на Cardano, изградете трите депресирани кубични корена от тези стойности и след това преобразувайте обратно с обичайното отместване.

Троен истински корен

Случай 2A: Делта = 0 и p = 0, q = 0

Натиснатият кубик се свива до една повтаряща се стойност, така че и трите реални корена съвпадат след изместване назад.

Един прост реален корен и един двоен реален корен

Случай 2B: Делта = 0, но p и q не са нула

Единична стойност на кубичен корен генерира един прост реален корен и един повторен реален корен след обратното изместване.

Три различни реални корена

Случай 3: Делта < 0

Използвайте тригонометричната форма, за да изразите трите реални корена чрез косинусови ъгли, след което ги преобразувайте обратно в x с обратното изместване.

Компактна обща формула

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

Това е алгебричната затворена форма. Кога

Delta < 0
, тригонометричната версия обикновено е по-лесна за използване на практика.

Резюме на класификацията

Ако Delta > 0, кубичната има 1 реален корен и 2 комплексно спрегнати корена.
Ако Delta = 0 и p = q = 0, кубичната има 3 равни реални корена.
Ако Delta = 0, но p и q не са нула, кубичната има 1 прост реален корен и 1 двоен реален корен.
Ако Delta < 0, кубичната има 3 различни реални корена.

Общ шаблон

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Запазете калкулатора общ, като започнете от символни коефициенти, след което извлечете p, q и Delta от a, b, c и d.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

След като изчислите Delta, изберете Cardano, прекия път с повторен корен или тригонометричния клон в зависимост от знака на Delta.

Ако Delta > 0: един реален и два комплексни корена Ако Delta = 0: повтарящи се реални корени Ако Delta < 0: три различни реални корена

Общ работен процес: нормализирайте, заместете x = t - b/(3a), изчислете p, q и Delta, изберете правилния клон, след което преобразувайте обратно от t в x.

Готово за сайта резюме

Представете кубично решаване в този ред: нормализиране на уравнението, заместване

x = t - b/(3a)
, изградете депресирания куб
t^3 + pt + q = 0
, изчислете p, q и
Delta
, изберете правилния случай, приложете съответстващата формула за корен, конвертирайте от t обратно в x и след това покажете крайните корени с техния тип корен.

Образователно ръководство

Как да решим a Кубично уравнение

Пълно обяснение стъпка по стъпка на процеса на кубично решаване, включително всички възможни случаи на корен и математически трансформации.

Многоетапната методология

Решавателят първо нормализира уравнението, трансформира го в депресирана кубична форма, изчислява p, q и дискриминанта, след което избира правилния метод в зависимост от случая на корена.

Нормализиране на уравнението
Премахнете квадратичния член
Изчисляване на дискриминанта
Метод на класифициране

Логически параметри

Нормализирана форма
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Депресивна форма
t^3 + pt + q = 0
Shift (x = t - изместване)

b/3a

Параметри p, q

p, q

Дискриминант (делта)

(q/2)^2 + (p/3)^3

Математическа разбивка стъпка по стъпка

01

Нормализиране на уравнението

Разделете цялото кубично уравнение на водещия коефициент a, за да получите монично уравнение.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

Премахнете квадратичния член

Заместител

x = t - b/(3a)
за елиминиране на квадратичния член и преместване на инфлексната точка към оста y.

Заместител: x = t - b/(3a)
03

Вземете депресирания кубик

Заместването води до „депресирана“ форма без термина t^2.

t^3 + pt + q = 0
04

Изчислете параметрите p, q и Delta

Изчислете намалените параметри и дискриминанта, който определя природата на корена.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

Изберете правилния случай

Идентифицирайте природата на корена въз основа на Delta: Delta > 0 (1 реално, 2 комплексно), Delta = 0 (повтарящо се реално) или Delta < 0 (3 отделни реални).

Разширено наблюдениеДелта > 0: Един реален корен, два комплексно спрегнати. Делта = 0: Множество реални корени. Делта < 0: Три различни реални корена.

06

Приложете формулата за съответстващ корен

Използвайте формулата на Cardano за Случай 1, повтарящи се клавишни комбинации за корен за Случай 2 или тригонометричния метод за Случай 3.

Разширено наблюдениеИзбираме алгоритъма, който осигурява най-висока точност за конкретната дискриминантна стойност.

07

Преобразуване от t обратно в x

След като t бъде намерено, обърнете заместващото изместване, за да намерите крайните корени x.

x = t - b/(3a)
08

Показване на окончателни корени и тип

Проверете изчислените корени и потвърдете това

f(x) \\approx 0
за всеки корен.

f(x) \approx 0

Резюме на класификацията

D+
Случай 1: Делта > 0
1 реални, 2 комплексни

Един истински корен и два комплексно спрегнати корена. Решено чрез кубични корени на Cardano.

D0
Случай 2A: Делта = 0, p = q = 0
3 Равни реални

Най-редкият случай, при който и трите корена се свиват в една точка (инфлексната точка).

R2
Случай 2B: Делта = 0 (p, q != 0)
1 обикновен, 1 двоен

Един различен реален корен и един повтарящ се реален корен. Графиката е допирателна към оста x.

D-
Случай 3: Делта < 0
3 Различни реални

Три различни реални корена. Тригонометричният метод осигурява най-стабилното решение.

Използвани алгоритми

Формула на Кардано

Използва се за Delta > 0. Използва комбинации от кубични корени на реални числа.

Тригонометрична форма

Използва се за Delta < 0. Избягва „Casus Irreducibilis“ чрез използване на косинусови функции.

Повтарящ се коренен път

Използва се за Delta = 0. Опростява изчислението като u = v в деривацията на Cardano.

Методът се избира автоматично въз основа на дискриминанта.

Алгебричен контекст

Овладяване на деривацията Cardano-Tartaglia

Основният принцип е използването на заместването

x = u + v
за преобразуване на кубично в квадратно по отношение на
u^3
 и
v^3
. След като те бъдат намерени, стойностите за t и накрая x се отключват.

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
Шаблон за общо уравнение

Обща кубична структура

Започнете от символните коефициенти a, b, c и d, след това извлечете намалената форма и съвпадащия коренен клон.

Целеви проблем
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Стойност на преместване
x = t - b/(3a)
Параметър p
(3ac - b^2) / (3a^2)
Параметър q
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
Дискриминантна делта
(q/2)^2 + (p/3)^3
Общ преглед на модела на корена

Крайният коренен модел зависи от Delta: положителен дава един реален корен, нула дава повтарящи се реални корени, а отрицателният дава три различни реални корена.

xx1
xx2
xx3