Cubic Equation Solver WORKSPACE
Open menu
Pemecah Kubik Khusus

Pemecah Persamaan Kubik

Selesaikan persamaan kubik saja. Temukan akar nyata dan kompleks, ikuti langkah-langkah berbasis Cardano, dan jelajahi grafik kubik.

Masukkan koefisien kubik

Masukkan nilai untuk ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

Pratinjau Alur Kerja

Masukan di sebelah kiri, hasil di sebelah kanan, grafik di bawah keduanya

Hal ini membuat alur kerja penyelesaian utama mudah untuk dipindai: masukkan koefisien, tinjau kubik yang diselesaikan, lalu konfirmasikan semuanya dengan grafik di bawahnya.

Masukkan a, b, c, dan d di panel kiri.
Selesaikan untuk mengisi ringkasan hasil di sebelah kanan.
Gunakan grafik lebar penuh di bawah untuk mengonfirmasi perilaku kubik.

Grafik Kubik

Pratinjau grafik langsung

Grafik dan ringkasan keadaan berada berdampingan sehingga bentuk kubik tetap berpasangan dengan pengukuran langsungnya.

Grafik tetap berada di sebelah kiri sehingga kurva tetap menjadi jangkar visual utama sementara keadaan di sebelah kanan tetap mudah untuk dipindai.

Status grafik

Ringkasan langsung

Perpotongan x nyata

Tidak ada perpotongan x nyata

intersep Y

(0, 0)

Titik belok

(0, 0)

Titik balik

Tidak ada maks/mnt lokal

Contoh Kubik

FAQ Pemecah Kubik

Apa itu persamaan kubik?

Persamaan kubik adalah polinomial derajat ketiga yang ditulis dalam bentuk kubik standar, yang koefisien utamanya tidak boleh nol.

Bisakah pemecah ini menunjukkan akar yang kompleks?

Ya. Jika persamaan mempunyai satu akar real dan pasangan konjugasi kompleks, bagian hasil menunjukkannya dengan jelas dan memberi label sebagai kompleks.

Mengapa koefisien sangat penting?

Jika a = 0, persamaannya tidak lagi kubik. UI segera memvalidasi hal ini dan menjelaskan mengapa pemecah tidak dapat melanjutkan.

Apa yang ditunjukkan pada bagian langkah demi langkah?

Ini merangkum persamaan yang dinormalisasi, transformasi kubik tertekan, diskriminan, dan interpretasi akhir sehingga pemecahnya terasa lebih transparan.
Metode Kubik Umum

Cara Kerja Pemecahan Kubik

Bagian ini membuat pemecah tetap fokus pada persamaan kubik: menormalkan persamaan, menguranginya menjadi kubik tertekan, mengklasifikasikan diskriminan, dan menerapkan metode pencocokan kubik.

Langkah 1

Normalisasikan persamaannya

Mulailah dengan persamaan kubik umum, pastikan koefisien utamanya bukan nol, dan bagi setiap suku dengan a.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Langkah 2

Hapus istilah kuadrat

Gunakan substitusi

x = t - b/(3a)
. Ini mengubah kubik asli menjadi kubik tertekan
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
Langkah 3

Hitung diskriminannya

Diskriminan memberi tahu kita jenis akar apa yang dimiliki kubik dan cabang metode mana yang akan digunakan.

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
Langkah 4

Pilih kasus yang cocok

Sekali

Delta
diketahui, kita menggunakan cabang nyata Cardano, pintasan akar berulang, atau bentuk trigonometri.

Delta > 0: 1 nyata + 2 kompleks Delta = 0: akar real berulang Delta <0: 3 akar nyata yang berbeda

Setiap Kemungkinan Kasus

Diskriminan mengontrol cabang mana dari metode kubik yang berlaku.

Satu akar real dan dua akar konjugat kompleks

Kasus 1: Delta > 0

Hitung u dan v dari ekspresi akar pangkat tiga Cardano, bangun tiga akar kubik tertekan dari nilai tersebut, lalu konversikan kembali dengan pergeseran biasa.

Akar sejati rangkap tiga

Kasus 2A: Delta = 0 dan p = 0, q = 0

Kubik yang tertekan diciutkan menjadi satu nilai berulang, sehingga ketiga akar nyata berhimpitan setelah digeser kembali.

Satu akar real sederhana dan satu akar real ganda

Kasus 2B: Delta = 0 tetapi p dan q keduanya tidak nol

Nilai akar pangkat tiga tunggal menghasilkan satu akar real sederhana dan satu akar real berulang setelah pergeseran invers.

Tiga akar nyata yang berbeda

Kasus 3: Delta <0

Gunakan bentuk trigonometri untuk menyatakan ketiga akar real melalui kosinus sudut, lalu ubah kembali menjadi x dengan pergeseran terbalik.

Formula Umum Kompak

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

Ini adalah bentuk aljabar tertutup. Kapan

Delta < 0
, versi trigonometri biasanya lebih mudah digunakan dalam praktik.

Ringkasan Klasifikasi

Jika Delta > 0, maka kubik mempunyai 1 akar real dan 2 akar konjugat kompleks.
Jika Delta = 0 dan p = q = 0, maka kubik mempunyai 3 akar real yang sama.
Jika Delta = 0 tetapi p dan q keduanya bukan nol, maka pangkat tiga mempunyai 1 akar real sederhana dan 1 akar real ganda.
Jika Delta < 0, maka kubik mempunyai 3 akar real yang berbeda.

Templat Umum

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Jaga agar kalkulator tetap generik dengan memulai dari koefisien simbolik, lalu turunkan p, q, dan Delta dari a, b, c, dan d.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

Setelah menghitung Delta, pilih Cardano, pintasan akar berulang, atau cabang trigonometri bergantung pada tanda Delta.

Jika Delta > 0: satu akar real dan dua akar kompleks Jika Delta = 0: akar real berulang Jika Delta < 0: tiga akar real berbeda

Alur kerja umum: normalisasi, substitusikan x = t - b/(3a), hitung p, q, dan Delta, pilih cabang yang benar, lalu konversikan kembali dari t ke x.

Ringkasan Siap Situs

Sajikan penyelesaian kubik dalam urutan ini: normalkan persamaannya, substitusikan

x = t - b/(3a)
, membangun kubik yang tertekan
t^3 + pt + q = 0
, hitung p, q, dan
Delta
, pilih kasus yang benar, terapkan rumus akar yang cocok, konversikan dari t kembali ke x, lalu tampilkan akar terakhir dengan tipe akarnya.

Panduan Pendidikan

Cara Mengatasi a Persamaan Kubik

Penjelasan lengkap langkah demi langkah proses penyelesaian kubik, termasuk semua kemungkinan akar kasus dan transformasi matematika.

Metodologi Multi-Tahap

Solver pertama-tama menormalkan persamaan tersebut, mengubahnya menjadi bentuk kubik tertekan, menghitung p, q, dan diskriminan, kemudian memilih metode yang benar tergantung pada akar kasusnya.

Normalisasi Persamaan
Hapus Suku Kuadrat
Hitung Diskriminan
Metode Klasifikasi

Parameter Logika

Bentuk Normalisasi
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Bentuk Tertekan
t^3 + pt + q = 0
Pergeseran (x = t - pergeseran)

b/3a

Parameter hal, q

p, q

Diskriminan (Delta)

(q/2)^2 + (p/3)^3

Perincian Matematika Langkah demi Langkah

01

Normalisasikan Persamaannya

Bagilah seluruh persamaan kubik dengan koefisien utama a untuk mendapatkan persamaan monik.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

Hapus Suku Kuadrat

Pengganti

x = t - b/(3a)
untuk menghilangkan suku kuadrat dan menggeser titik belok ke sumbu y.

Pengganti: x = t - b/(3a)
03

Dapatkan Kubik Tertekan

Substitusi tersebut menghasilkan bentuk 'tertekan' tanpa suku t^2.

t^3 + pt + q = 0
04

Hitung Parameter p, q, dan Delta

Hitung parameter depresi dan diskriminan yang menentukan sifat akar.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

Pilih Kasus yang Benar

Identifikasi sifat akar berdasarkan Delta: Delta > 0 (1 nyata, 2 kompleks), Delta = 0 (nyata berulang), atau Delta < 0 (3 nyata berbeda).

Observasi Tingkat LanjutDelta > 0: Satu akar real, dua konjugasi kompleks. Delta = 0: Beberapa akar real. Delta <0: Tiga akar nyata yang berbeda.

06

Terapkan Rumus Akar Pencocokan

Gunakan rumus Cardano untuk Kasus 1, pintasan root berulang untuk Kasus 2, atau metode Trigonometri untuk Kasus 3.

Observasi Tingkat LanjutKami memilih algoritma yang memberikan presisi tertinggi untuk nilai diskriminan tertentu.

07

Konversi dari t kembali ke x

Setelah t ditemukan, balikkan pergeseran substitusi untuk mencari akar-akar akhir x.

x = t - b/(3a)
08

Tampilkan Akar dan Tipe Akhir

Verifikasi akar yang dihitung dan konfirmasikan itu

f(x) \\approx 0
untuk setiap akar.

f(x) \approx 0

Ringkasan Klasifikasi

D+
Kasus 1: Delta > 0
1 Nyata, 2 Kompleks

Satu akar real dan dua akar konjugasi kompleks. Dipecahkan melalui akar kubus Cardano.

D0
Kasus 2A: Delta = 0, p = q = 0
3 Sama Nyata

Kasus yang paling jarang terjadi ketika ketiga akar runtuh menjadi satu titik (titik belok).

R2
Kasus 2B: Delta = 0 (p, q != 0)
1 Sederhana, 1 Ganda

Satu akar real yang berbeda dan satu akar real yang berulang. Grafiknya bersinggungan dengan sumbu x.

D-
Kasus 3: Delta <0
3 Nyata Berbeda

Tiga akar nyata yang berbeda. Metode trigonometri memberikan solusi paling stabil.

Algoritma yang Digunakan

Rumus Cardano

Digunakan untuk Delta > 0. Menggunakan kombinasi akar pangkat tiga bilangan real.

Bentuk Trigonometri

Digunakan untuk Delta < 0. Hindari 'Casus Irreducibilis' dengan menggunakan fungsi kosinus.

Jalur Root Berulang

Digunakan untuk Delta = 0. Menyederhanakan perhitungan seperti u = v dalam derivasi Cardano.

Metode dipilih secara otomatis berdasarkan diskriminan.

Konteks Aljabar

Menguasai Derivasi Cardano-Tartaglia

Prinsip dasarnya adalah menggunakan substitusi

x = u + v
untuk mengubah kubik menjadi kuadrat dalam hal
u^3
 dan
v^3
. Setelah ini ditemukan, nilai untuk t dan akhirnya x akan terbuka.

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
Templat Persamaan Generik

Struktur Kubik Umum

Mulailah dari koefisien simbolis a, b, c, dan d, kemudian turunkan bentuk tereduksi dan cabang akar yang cocok.

Masalah Sasaran
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Pergeseran Nilai
x = t - b/(3a)
Parameter hal
(3ac - b^2) / (3a^2)
Parameter q
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
Delta yang Diskriminan
(q/2)^2 + (p/3)^3
Ikhtisar Pola Akar

Pola akar akhir bergantung pada Delta: positif menghasilkan satu akar nyata, nol menghasilkan akar nyata berulang, dan negatif menghasilkan tiga akar nyata berbeda.

xx1
xx2
xx3