Cubic Equation Solver
Pemecah persamaan kubik khusus dengan akar nyata dan kompleks, langkah-langkah metode Cardano, grafik kubik, dan contoh kerja.
Masukkan koefisien bilangan bulat untuk menghasilkan semua kemungkinan kandidat akar rasional menggunakan teorema ±p/q.
Perhitungan: Kalkulator Teorema Akar Rasional
Kalkulator Teorema Akar Rasional
Masukkan koefisien polinomial Anda di atas dan klik "Temukan Kandidat Akar yang Rasional" untuk melihat hasilnya.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
Buktinya adalah argumen keterbagian. Memperkirakan hal/q dalam persyaratan terendah memuaskan aₙ(p/q)ⁿ + ... + a₀ = 0. Menghapus penyebut memberi aₙpⁿ + aₙ₋₁pⁿ⁻¹q + ... + a₀qⁿ = 0. Every term except a₀qⁿ mengandung faktor P, Jadi P membagi a₀qⁿ; sejak gcd(hal, q) = 1, hal | sebuah₀. Argumen cermin di sisi lain memberi q | aₙ. Dua garis dapat dibagi, dan pencarian tak terbatas diciutkan menjadi daftar terbatas.
Kasus monik ini patut mendapat sorotan: ketika koefisien utamanya adalah 1, setiap penyebutnya Q must divide 1, so q = ±1 dan semua akar rasional adalah bilangan bulat yang membagi suku konstanta. Inilah sebabnya mengapa soal-soal dalam buku teks terasa mudah: hampir selalu bersifat monik. Saat masalah seperti 6x³ − 5x² − 2x+1 muncul, kandidat pecahan kembali, dan teorema lengkap tetap dipertahankan.
Koefisien yang besar dapat menghasilkan daftar yang menakutkan, terkadang mencapai ratusan kandidat. Uji dengan cerdas: coba bilangan bulat kecil terlebih dahulu, karena masalah sering kali muncul dari bilangan bulat tersebut. Gunakan batas di mana semua akar nyata berada 1 + maks|aᵢ/aₙ| untuk melewatkan nilai-nilai yang tidak masuk akal. Dan ingat, Anda dapat berhenti ketika Anda telah menemukan akar sebanyak derajatnya, masing-masing akar yang dikonfirmasi mengempiskan masalahnya divisi sintetis. Kebiasaan yang bermanfaat adalah pengujian ±1 pertama: ini adalah evaluasi termurah dan yang mengejutkan sering kali mengenai masalah yang dibangun.
Lemma Gauss menyatakan polinomial bilangan bulat primitif difaktorkan Q tepat ketika faktornya berakhir Z. Teorema akar rasional adalah lemma derajat satu: faktor linier berakhir Q dapat dibersihkan ke faktor linier Z, yang akarnya adalah hal/q teorema tersebut menjelaskan. Inilah sebabnya mengapa metode koefisien bilangan bulat secara teoritis lengkap untuk pertanyaan rasional, sebuah fakta yang selalu diandalkan oleh sistem aljabar komputer.
Teorema ini tidak membahas segala sesuatu yang tidak dicakupnya: akar irasional seperti ∛2 dan akar kompleks tidak pernah muncul dalam daftar kandidat. x³ − 2 = 0 memiliki kandidat ±1, ±2, semua kegagalan, namun akar sebenarnya ∛2 ≈ 1.26 ada. Ketika daftar lengkap gagal, ganti alat: the diskriminan mengklasifikasikan tipe root, metode Cardano memberikan bentuk tertutup, dan kalkulator akar memberi nilai.
The Applications
Sebelum meraih alat berat, luangkan waktu dua menit untuk melihat daftar kandidat. Sebagian besar kubus kontes, ujian, dan buku teks dibuat dengan akar rasional, dan menemukannya dengan tangan lebih cepat daripada rumus apa pun.
Penguji menyukai kubik monik justru karena berlaku pintasan kandidat bilangan bulat. Mengetahui teorema tersebut mengubah "pecahkan kubik" menjadi latihan pembagian cepat yang diikuti dengan pengujian rutin.
Algoritme pencarian akar dalam aljabar komputer dibuka dengan uji akar rasional: akar rasional eksak lebih murah dibandingkan iterasi numerik apa pun, sehingga daftar kandidat selalu habis sebelum Newton atau pembagian dua dimulai. Satu akar eksak yang ditemukan di sini berarti satu dimensi lebih sedikit untuk pemecah numerik.
Sistem simbolik mengisolasi akar-akar rasional terlebih dahulu untuk mengempiskan polinomial, sehingga memperkecil permasalahan sebelum menerapkan pemecah eksak yang mahal metode Cardano.
Dalam bidang teknik, mengesampingkan akar yang bagus dalam hitungan detik memberi tahu Anda apakah akan mengharapkan bentuk tertutup yang bersih atau segera menggunakan metode numerik, sehingga menghemat upaya upaya tepat yang gagal.
The Cautions
Melupakan kandidat negatif: Setiap faktor p dan q mempunyai tanda ±. Akar -3/2 terlewatkan oleh siapa pun yang hanya menguji kandidat positif.
Bukan mereduksi pecahan: Kandidat harus berada pada peringkat terendah. Pengujian 2/4 setelah pengujian 1/2 menggandakan pekerjaan untuk nol informasi baru.
Membingungkan mana yang membagi yang mana: Pembilang p membagi suku konstanta; penyebut q membagi koefisien utama. Menukarnya akan membuat daftar yang tidak pernah dijanjikan oleh teorema tersebut.
Dengan asumsi setiap kandidat adalah root: Daftar tersebut berisi tersangka, bukan hukuman. Setiap kandidat harus diuji, biasanya dengan substitusi atau pembagian sintetik, sebelum memperoleh status root.
Mengabaikan koefisien terdepan: Jika a ≠ 1, kandidat pecahan seperti ±3/2 muncul. Menguji hanya bilangan bulat dalam masalah non-monik dapat menghilangkan setiap akar.
The Reference
The Questions
Tidak. Kubik x³ - 2 tidak memilikinya sama sekali; akar aslinya ∛2 tidak rasional. Teorema mencantumkan kandidat, tidak menjamin pemenang.
Penyebut suatu akar suku terkecil harus membagi koefisien utamanya, sama seperti pembilangnya harus membagi suku konstannya. Kedua kendala tersebut berasal dari bukti yang sama.
Paling banyak (pembagi suku konstanta) × (pembagi koefisien terdepan), dihitung ± satu kali, dikurangi duplikat dari pecahan tak tereduksi.
Tidak. Hentikan segera setelah Anda menemukan akar sebanyak derajatnya. Setiap temuan juga mengempiskan polinomial melalui divisi sintetis, mengecilkan pengujian selanjutnya, dan rumus kuadrat menyelesaikan apa pun yang tersisa.
Akarnya tidak rasional atau rumit. Gunakan kalkulator akar kubik untuk nilai dan diskriminan untuk tipe mereka. Hasil kandidat yang kosong itu sendiri adalah informasi: hasil tersebut mengesampingkan kasus-kasus mudah.
Kalikan untuk menghapus desimal menjadi bilangan bulat terlebih dahulu, lalu terapkan teorema tersebut ke polinomial berskala.
Karena setiap akar rasional adalah bilangan bulat yang membagi suku konstan, yang membuat daftar kandidat tetap pendek dan mudah untuk diuji.
Ya. Setiap p/q dalam suku terendah dianggap rasional, termasuk negatif dan pecahan. Teorema ini dibangun tepat untuk kasus seperti ini.
