Cubic Equation Solver
Spezieller kubischer Gleichungslöser mit reellen und komplexen Wurzeln, Schritten der Cardano-Methode, kubischer Grafik und ausgearbeiteten Beispielen.
Geben Sie ganzzahlige Koeffizienten ein, um alle möglichen rationalen Wurzelkandidaten mittels des ±p/q-Satzes zu generieren.
Berechnung: Satz über rationale Nullstellen Rechner
Satz über rationale Nullstellen Rechner
Geben Sie oben Ihre Polynomkoeffizienten ein und klicken Sie auf "Rationale Wurzelkandidaten finden", um die Ergebnisse zu sehen.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
Der Beweis ist ein Teilbarkeitsargument. Vermuten p/q im niedrigsten Sinne befriedigt aₙ(p/q)ⁿ + ... + a₀ = 0. Das Löschen von Nennern ergibt aₙpⁿ + aₙ₋₁pⁿ⁻¹q + ... + a₀qⁿ = 0. Jedes Semester außer a₀qⁿ enthält einen Faktor von P, Also P teilt a₀qⁿ; seit gcd(p, q) = 1, p | ein₀. Das Spiegelargument am anderen Ende gibt q | einₙ. Zwei Teilbarkeitslinien, und die unendliche Suche kollabiert auf eine endliche Liste.
Der monische Fall verdient Aufmerksamkeit: Wenn der führende Koeffizient 1 ist, ist jeder Nenner gleich Q muss 1 teilen, also q = ±1 und alle rationalen Wurzeln sind ganze Zahlen, die den konstanten Term teilen. Aus diesem Grund fühlen sich Lehrbuchprobleme einfach an: Sie sind fast immer monischer Natur. Der Moment ein Problem wie 6x³ − 5x² − 2x + 1 erscheint, die Bruchkandidaten kehren zurück und der vollständige Satz verdient seinen Unterhalt.
Große Koeffizienten können zu entmutigenden Listen mit manchmal Hunderten von Kandidaten führen. Testen Sie intelligent: Probieren Sie zuerst kleine ganze Zahlen aus, da mit ihnen häufig Probleme konstruiert werden. Verwenden Sie die Grenze, innerhalb der alle echten Wurzeln liegen 1 + max|aᵢ/aₙ| absurde Werte überspringen. Und denken Sie daran, dass Sie möglicherweise aufhören, sobald Sie so viele Wurzeln wie der Grad gefunden haben, wobei jede bestätigte Wurzel das Problem verringert synthetische Abteilung. Eine nützliche Angewohnheit ist das Testen ±1 Erstens: Es handelt sich um die billigsten Tests, die bei konstruierten Problemen überraschend häufig vorkommen.
Das Lemma von Gauß besagt, dass ein primitives ganzzahliges Polynom über multipliziert Q genau dann, wenn es darauf ankommt Z. Der rationale Wurzelsatz ist dieses Lemma im ersten Grad: ein linearer Faktor über Q kann auf einen linearen Faktor umgerechnet werden Z, dessen Wurzel die ist p/q der Satz beschreibt. Aus diesem Grund sind Methoden mit ganzzahligen Koeffizienten theoretisch vollständig für rationale Fragen, eine Tatsache, auf die sich Computeralgebrasysteme ständig stützen.
Der Satz schweigt über alles, was er nicht abdeckt: irrationale Wurzeln wie ∛2 und komplexe Wurzeln erscheinen nie auf der Kandidatenliste. x³ − 2 = 0 hat Kandidaten ±1, ±2, alles Misserfolge, doch die wahre Wurzel ∛2 ≈ 1.26 existiert. Wenn die vollständige Liste fehlschlägt, wechseln Sie die Tools: die diskriminierend klassifiziert die Wurzeltypen, Cardanos Methode gibt geschlossene Formen und die Wurzelrechner gibt Werte.
The Applications
Bevor Sie zu schweren Maschinen greifen, verbringen Sie zwei Minuten mit der Kandidatenliste. Ein großer Teil der Wettbewerbs-, Prüfungs- und Lehrbuchwürfel wurde mit rationalen Wurzeln konstruiert, und es ist schneller, eine solche von Hand zu finden als mit jeder anderen Formel.
Prüfer lieben monische Kubikzahlen gerade deshalb, weil die Abkürzung „Ganzzahl-Kandidat“ gilt. Wenn man den Satz kennt, wird das „Lösen der Kubik“ zu einer schnellen Teilbarkeitsübung, gefolgt von Routinetests.
Root-finding algorithms in computer algebra open with the rational root test: exact rational roots are cheaper than any numerical iteration, so the candidate list is always exhausted before Newton or bisection begins. One exact root found here is one fewer dimension for the numerical solver.
Symbolische Systeme isolieren zunächst rationale Wurzeln, um das Polynom zu deflationieren und das Problem zu verkleinern, bevor sie teure exakte Löser wie z. B. einsetzen Cardanos Methode.
Wenn Sie in der Technik schöne Wurzeln in Sekundenschnelle ausschließen, erfahren Sie, ob Sie eine saubere, geschlossene Form erwarten oder sofort zu numerischen Methoden greifen sollten, wodurch Sie sich den Aufwand für zum Scheitern verurteilte exakte Versuche ersparen.
The Cautions
Negative Kandidaten vergessen: Jeder Faktor p und q hat ein ±-Zeichen. Die Wurzel -3/2 wird von jedem übersehen, der nur positive Kandidaten testet.
Brüche nicht kürzen: Die Kandidaten müssen die niedrigsten Bedingungen erfüllen. Das Testen von 2/4 nach dem Testen von 1/2 verdoppelt die Arbeit, ohne dass neue Informationen vorliegen.
Verwirrend, was was trennt: Zähler p dividieren den konstanten Term; Nenner q dividieren den führenden Koeffizienten. Wenn man sie vertauscht, entsteht eine Liste, die der Satz nie versprochen hat.
Angenommen, jeder Kandidat ist eine Wurzel: Die Liste enthält Verdächtige, keine Verurteilungen. Jeder Kandidat muss getestet werden, normalerweise durch Substitution oder synthetische Division, bevor er den Root-Status erhält.
Ignorieren des führenden Koeffizienten: Wenn a ≠ 1, erscheinen Bruchkandidaten wie ±3/2. Beim Testen nur ganzer Zahlen in einem nicht-monischen Problem kann jede Nullstelle fehlen.
The Reference
The Collection
The Questions
Nein. Das kubische x³ - 2 hat überhaupt keines; seine wahre Wurzel ∛2 ist irrational. Das Theorem listet Kandidaten auf, es garantiert jedoch keine Gewinner.
Der Nenner einer Wurzel in niedrigsten Termen muss den führenden Koeffizienten teilen, genauso wie der Zähler den konstanten Term teilen muss. Beide Einschränkungen stammen aus demselben Beweis.
Höchstens (Teiler des konstanten Termes) × (Teiler des führenden Koeffizienten), Zählung ± einmal, minus Duplikate aus nicht reduzierten Brüchen.
Nein. Hören Sie auf, sobald Sie so viele Wurzeln wie der Abschluss gefunden haben. Jeder Fund entleert auch das Polynom via synthetische Abteilung, wodurch spätere Tests verkleinert werden, und die quadratische Formel vervollständigt alles, was übrig bleibt.
Die Wurzeln sind irrational oder komplex. Benutzen Sie die Kubikwurzelrechner für Werte und die diskriminierend für ihre Typen. Ein leeres Kandidatenergebnis ist selbst Information: Es schließt die einfachen Fälle aus.
Multiplizieren Sie zuerst durch, um Dezimalzahlen in ganze Zahlen umzuwandeln, und wenden Sie dann den Satz auf das skalierte Polynom an.
Denn dann ist jede rationale Wurzel eine ganze Zahl, die den konstanten Term teilt, was die Kandidatenlisten kurz und das manuelle Testen angenehm macht.
Ja. Jedes p/q in der niedrigsten Form gilt als rational, einschließlich Negativen und Brüchen. Der Satz wurde genau für solche Fälle entwickelt.
