Cubic Equation Solver WORKSPACE
Open menu
Специальный кубический решатель

Решатель кубических уравнений

Решайте только кубические уравнения. Найдите действительные и комплексные корни, следуйте инструкциям на основе Кардано и исследуйте кубический граф.

Введите кубические коэффициенты

Введите значения для ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

Предварительный просмотр рабочего процесса

Ввод слева, результат справа, график под обоими

Это упрощает сканирование основного рабочего процесса решения: введите коэффициенты, просмотрите решенную кубическую фигуру, а затем подтвердите все с помощью графика ниже.

Введите a, b, c и d на левой панели.
Решите задачу, чтобы заполнить сводку результатов справа.
Используйте график полной ширины ниже, чтобы подтвердить кубическое поведение.

Кубический граф

Предварительный просмотр графика в реальном времени

График и сводка состояния располагаются рядом, поэтому кубическая форма остается в паре с измерениями в реальном времени.

График остается слева, поэтому кривая остается основным визуальным ориентиром, а состояния справа остаются легко читаемыми.

Граф состояний

Живое резюме

Реальные x-перехваты

Никаких реальных x-перехватов

Y-перехват

(0, 0)

Точка перегиба

(0, 0)

Поворотные моменты

Нет локального макс/мин

Кубические примеры

Кубический решатель: часто задаваемые вопросы

Что такое кубическое уравнение?

Кубическое уравнение — это полином третьей степени, записанный в стандартной кубической форме, где старший коэффициент не может быть равен нулю.

Может ли этот решатель показывать сложные корни?

Да. Если уравнение имеет один вещественный корень и комплексно-сопряженную пару, в разделе результатов они четко отображаются и помечаются как комплексные.

Почему коэффициент имеет такое большое значение?

Если a = 0, уравнение больше не является кубическим. Пользовательский интерфейс немедленно проверяет это и объясняет, почему решатель не может продолжить работу.

Что показывает пошаговый раздел?

Он суммирует нормализованное уравнение, подавленное кубическое преобразование, дискриминант и окончательную интерпретацию, поэтому решатель выглядит более прозрачным.
Общий кубический метод

Как работает кубическое решение

В этом разделе решатель сосредоточится на кубических уравнениях: нормализуйте уравнение, сведите его к депрессивной кубической форме, классифицируйте дискриминант и примените метод сопоставления кубических уравнений.

Шаг 1

Нормализовать уравнение

Начните с общего кубического уравнения, убедитесь, что старший коэффициент не равен нулю, и разделите каждый член на a.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Шаг 2

Удалить квадратичный член

Используйте замену

x = t - b/(3a)
. Это преобразует исходный куб в депрессивный куб.
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
Шаг 3

Вычислить дискриминант

Дискриминант сообщает нам, какой тип корней имеет кубическая величина и какую ветвь метода использовать.

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
Шаг 4

Выберите подходящий случай

Однажды

Delta
как известно, мы используем действительную ветвь Кардано, сокращение с повторяющимся корнем или тригонометрическую форму.

Дельта > 0: 1 действительная + 2 комплексная Дельта = 0: повторяющиеся действительные корни Дельта <0: 3 различных действительных корня

Каждый возможный случай

Дискриминант определяет, какая ветвь кубического метода применяется.

Один вещественный корень и два комплексно-сопряженных корня.

Случай 1: Дельта > 0

Вычислите u и v на основе выражений кубического корня Кардано, постройте три кубических корня с понижением из этих значений, а затем преобразуйте обратно с помощью обычного сдвига.

Тройной действительный корень

Случай 2А: Дельта = 0 и p = 0, q = 0

Подавленный куб сжимается до одного повторяющегося значения, поэтому все три действительных корня совпадают после смещения назад.

Один простой вещественный корень и один двойной вещественный корень.

Случай 2B: Дельта = 0, но p и q не равны нулю.

Одно значение кубического корня генерирует один простой действительный корень и один повторяющийся действительный корень после обратного сдвига.

Три различных вещественных корня

Случай 3: Дельта < 0

Используйте тригонометрическую форму, чтобы выразить три действительных корня через косинусные углы, а затем преобразуйте их обратно в x с помощью обратного сдвига.

Компактная общая формула

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

Это алгебраическая замкнутая форма. Когда

Delta < 0
, тригонометрическую версию обычно проще использовать на практике.

Сводная информация о классификации

Если Дельта > 0, кубика имеет 1 вещественный корень и 2 комплексно-сопряженных корня.
Если Delta = 0 и p = q = 0, кубика имеет 3 равных действительных корня.
Если Delta = 0, но p и q не равны нулю, кубика имеет 1 простой действительный корень и 1 двойной вещественный корень.
Если Дельта < 0, кубика имеет 3 различных действительных корня.

Общий шаблон

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Сохраняйте общий вид калькулятора: начните с символьных коэффициентов, а затем выведите p, q и дельту из a, b, c и d.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

После вычисления дельты выберите Кардано, сокращение с повторяющимся корнем или тригонометрическую ветвь в зависимости от знака дельты.

Если Дельта > 0: один действительный и два комплексных корня. Если Дельта = 0: повторяющиеся действительные корни Если Дельта <0: три различных действительных корня

Общий рабочий процесс: нормализовать, заменить x = t - b/(3a), вычислить p, q и дельту, выбрать правильную ветвь, затем снова преобразовать t в x.

Готовое резюме для сайта

Представим кубическое решение в таком порядке: нормализовать уравнение, подставить

x = t - b/(3a)
, построить депрессивный куб
t^3 + pt + q = 0
, вычислить p, q и
Delta
, выберите правильный регистр, примените соответствующую формулу корня, преобразуйте t обратно в x, а затем покажите окончательные корни с их типом корня.

Образовательный путеводитель

Как решить Кубическое уравнение

Полное пошаговое объяснение процесса решения кубических задач, включая все возможные корневые случаи и математические преобразования.

Многоэтапная методология

Решатель сначала нормализует уравнение, преобразует его в депрессивную кубическую форму, вычисляет p, q и дискриминант, затем выбирает правильный метод в зависимости от корневого случая.

Нормализовать уравнение
Удалить квадратичный член
Вычислить дискриминант
Классифицировать метод

Логические параметры

Нормализованная форма
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Депрессивная форма
t^3 + pt + q = 0
Сдвиг (x = t - сдвиг)

b/3a

Параметры p, q

p, q

Дискриминант (Дельта)

(q/2)^2 + (p/3)^3

Пошаговая математическая разбивка

01

Нормализовать уравнение

Разделите все кубическое уравнение на старший коэффициент a, чтобы получить сводное уравнение.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

Удалить квадратичный член

Заменить

x = t - b/(3a)
чтобы исключить квадратичный член и сдвинуть точку перегиба к оси Y.

Заменить: x = t - b/(3a)
03

Получите депрессивный кубик

Замена приводит к «депрессивной» форме без члена t^2.

t^3 + pt + q = 0
04

Вычисление параметров p, q и Delta

Вычислите депрессивные параметры и дискриминант, определяющий природу корня.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

Выберите правильный случай

Определите природу корня на основе Дельты: Дельта > 0 (1 вещественное число, 2 комплексных), Дельта = 0 (повторяющееся вещественное число) или Дельта < 0 (3 различных вещественных числа).

Расширенное наблюдениеДельта > 0: один действительный корень, два комплексно-сопряженных. Дельта = 0: несколько действительных корней. Дельта <0: три различных вещественных корня.

06

Примените формулу соответствующего корня

Используйте формулу Кардано для случая 1, повторяющиеся корневые сокращения для случая 2 или тригонометрический метод для случая 3.

Расширенное наблюдениеМы выбираем алгоритм, обеспечивающий наибольшую точность для конкретного значения дискриминанта.

07

Преобразовать из t обратно в x

Как только t будет найден, измените сдвиг замены, чтобы найти конечные корни x.

x = t - b/(3a)
08

Показать конечные корни и тип

Проверьте вычисленные корни и подтвердите, что

f(x) \\approx 0
для каждого корня.

f(x) \approx 0

Сводная информация о классификации

D+
Случай 1: Дельта > 0
1 Реал, 2 Комплекс

Один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня. Решено с помощью кубических корней Кардано.

D0
Случай 2А: Дельта = 0, p = q = 0
3 равных реальных

Самый редкий случай, когда все три корня схлопываются в одну точку (точку перегиба).

R2
Случай 2Б: Дельта = 0 (p, q != 0)
1 простой, 1 двухместный

Один отдельный вещественный корень и один повторяющийся вещественный корень. График касается оси X.

D-
Случай 3: Дельта < 0
3 различных реальных

Три различных действительных корня. Тригонометрический метод дает наиболее устойчивое решение.

Используемые алгоритмы

Формула Кардано

Используется для Delta > 0. Использует комбинации кубических корней действительных чисел.

Тригонометрическая форма

Используется для Delta < 0. Позволяет избежать «Casus Irreducibilis» за счет использования косинусных функций.

Повторяющийся корневой путь

Используется для Delta = 0. Упрощает расчет, поскольку u = v в выводе Кардано.

Метод выбирается автоматически на основе дискриминанта.

Алгебраический контекст

Освоение вывода Кардано-Тартальи

Основной принцип заключается в использовании замены

x = u + v
преобразовать кубическую форму в квадратичную по
u^3
 и
v^3
. Как только они будут найдены, значения t и, наконец, x разблокируются.

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
Шаблон общего уравнения

Общая кубическая структура

Начните с символических коэффициентов a, b, c и d, затем выведите приведенную форму и соответствующую корневую ветвь.

Целевая проблема
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Значение сдвига
x = t - b/(3a)
Параметр р
(3ac - b^2) / (3a^2)
Параметр q
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
Дискриминант Дельта
(q/2)^2 + (p/3)^3
Обзор корневого шаблона

Окончательный шаблон корней зависит от дельты: положительный результат дает один действительный корень, ноль дает повторяющиеся действительные корни, а отрицательный дает три различных действительных корня.

xx1
xx2
xx3