Cubic Equation Solver WORKSPACE
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Risolutore cubico dedicato

Risolutore di equazioni cubiche

Risolvi solo equazioni cubiche. Trova radici reali e complesse, segui i passaggi basati su Cardano ed esplora il grafico cubico.

Inserisci i coefficienti cubici

Inserisci i valori per ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

Anteprima del flusso di lavoro

Ingresso a sinistra, risultato a destra, grafico sotto entrambi

Ciò semplifica la scansione del flusso di lavoro della risoluzione primaria: inserisci i coefficienti, rivedi la cubica risolta, quindi conferma tutto con il grafico sottostante.

Immettere a, b, c e d nel pannello di sinistra.
Risolvi per popolare il riepilogo dei risultati sulla destra.
Utilizza il grafico a larghezza intera qui sotto per confermare il comportamento cubico.

Grafico cubico

Anteprima del grafico in tempo reale

Il grafico e il riepilogo dello stato sono affiancati in modo che la forma cubica rimanga abbinata alle misurazioni in tempo reale.

Il grafico rimane a sinistra, quindi la curva rimane l'ancoraggio visivo principale mentre gli stati a destra rimangono facili da scansionare.

Stati del grafico

Riepilogo in diretta

Intercette x reali

Nessuna vera intercetta x

Intercetta Y

(0, 0)

Punto di flesso

(0, 0)

Punti di svolta

Nessun massimo/minimo locale

Esempi cubici

Domande frequenti sul risolutore cubico

Cos'è un'equazione cubica?

Un'equazione cubica è un polinomio di terzo grado scritto in forma cubica standard, dove il coefficiente principale non può essere zero.

Questo risolutore può mostrare radici complesse?

Sì. Se l'equazione ha una radice reale e una coppia complesso-coniugato, la sezione dei risultati le mostra chiaramente e le etichetta come complesse.

Perché il coefficiente è così importante?

Se a = 0, l'equazione non è più cubica. L'interfaccia utente lo convalida immediatamente e spiega perché il risolutore non può procedere.

Cosa mostra la sezione passo passo?

Riassume l'equazione normalizzata, la trasformazione cubica depressa, il discriminante e l'interpretazione finale in modo che il risolutore sembri più trasparente.
Metodo cubico generale

Come funziona la soluzione cubica

Questa sezione mantiene il risolutore concentrato sulle equazioni cubiche: normalizza l'equazione, riducila alla cubica depressa, classifica il discriminante e applica il metodo cubico di corrispondenza.

Passaggio 1

Normalizza l'equazione

Inizia con l'equazione cubica generale, conferma che il coefficiente principale è diverso da zero e dividi ogni termine per a.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Passaggio 2

Rimuovi il termine quadratico

Usa la sostituzione

x = t - b/(3a)
. Questo converte il cubico originale nel cubico depresso
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
Passaggio 3

Calcola il discriminante

Il discriminante ci dice che tipo di radici ha la cubica e quale ramo del metodo utilizzare.

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
Passaggio 4

Scegli la custodia abbinata

Una volta

Delta
è noto, usiamo il ramo reale di Cardano, la scorciatoia della radice ripetuta, o la forma trigonometrica.

Delta > 0: 1 reale + 2 complessi Delta = 0: radici reali ripetute Delta < 0: 3 radici reali distinte

Ogni caso possibile

Il discriminante controlla quale ramo del metodo cubico si applica.

Una radice reale e due radici complesse coniugate

Caso 1: Delta > 0

Calcola u e v dalle espressioni della radice cubica di Cardano, costruisci le tre radici cubiche depresse da quei valori e poi riconvertiti con il solito spostamento.

Tripla radice reale

Caso 2A: Delta = 0 e p = 0, q = 0

La cubica depressa collassa in un unico valore ripetuto, quindi tutte e tre le radici reali coincidono dopo lo spostamento indietro.

Una radice reale semplice e una radice reale doppia

Caso 2B: Delta = 0 ma p e q non sono entrambi zero

Un singolo valore di radice cubica genera una radice reale semplice e una radice reale ripetuta dopo lo spostamento inverso.

Tre radici reali distinte

Caso 3: Delta < 0

Usa la forma trigonometrica per esprimere le tre radici reali attraverso gli angoli coseno, quindi riconvertile in x con lo spostamento inverso.

Formula generale compatta

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

Questa è la forma algebrica chiusa. Quando

Delta < 0
, la versione trigonometrica è solitamente più facile da usare nella pratica.

Riepilogo della classificazione

Se Delta > 0, la cubica ha 1 radice reale e 2 radici complesse coniugate.
Se Delta = 0 e p = q = 0, la cubica ha 3 radici reali uguali.
Se Delta = 0 ma p e q non sono entrambi zero, la cubica ha 1 radice reale semplice e 1 radice reale doppia.
Se Delta < 0, la cubica ha 3 radici reali distinte.

Modello generico

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Mantieni la calcolatrice generica partendo da coefficienti simbolici, quindi deriva p, q e Delta da a, b, c e d.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

Dopo aver calcolato Delta, scegli Cardano, la scorciatoia della radice ripetuta o il ramo trigonometrico a seconda del segno di Delta.

Se Delta > 0: una radice reale e due complesse Se Delta = 0: radici reali ripetute Se Delta < 0: tre radici reali distinte

Flusso di lavoro generico: normalizza, sostituisci x = t - b/(3a), calcola p, q e Delta, scegli il ramo corretto, quindi riconverti da t a x.

Riepilogo pronto per il sito

Presenta la soluzione cubica in questo ordine: normalizza l'equazione, sostituisci

x = t - b/(3a)
, costruire il cubico depresso
t^3 + pt + q = 0
, calcolare p, q e
Delta
, scegli il caso corretto, applica la formula della radice corrispondente, riconverti da t a x, quindi mostra le radici finali con il loro tipo di radice.

Guida educativa

Come risolvere a Equazione cubica

Una spiegazione completa passo dopo passo del processo di risoluzione cubica, inclusi tutti i possibili casi radice e trasformazioni matematiche.

La metodologia multistadio

Il risolutore prima normalizza l'equazione, la trasforma in forma cubica depressa, calcola p, q e il discriminante, quindi seleziona il metodo corretto a seconda del caso radice.

Normalizza l'equazione
Rimuovi termine quadratico
Calcola discriminante
Metodo di classificazione

Parametri logici

Forma normalizzata
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Forma depressa
t^3 + pt + q = 0
Spostamento (x = t - spostamento)

b/3a

Parametri p, q

p, q

Discriminante (Delta)

(q/2)^2 + (p/3)^3

Scomposizione matematica passo dopo passo

01

Normalizza l'equazione

Dividi l'intera equazione cubica per il coefficiente principale a per ottenere un'equazione monica.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

Rimuovere il termine quadratico

Sostituto

x = t - b/(3a)
per eliminare il termine quadratico e spostare il punto di flesso sull'asse y.

Sostituto: x = t - b/(3a)
03

Ottieni il Cubo Depresso

La sostituzione risulta in una forma 'depressa' senza il termine t^2.

t^3 + pt + q = 0
04

Calcolare i parametri p, q e Delta

Calcolare i parametri depressi e il discriminante che determina la natura della radice.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

Scegli il caso corretto

Identificare la natura della radice in base a Delta: Delta > 0 (1 reale, 2 complessi), Delta = 0 (reale ripetuto) o Delta < 0 (3 reali distinti).

Osservazione avanzataDelta > 0: una radice reale, due complessi coniugati. Delta = 0: radici reali multiple. Delta < 0: tre radici reali distinte.

06

Applicare la formula della radice corrispondente

Utilizza la formula di Cardano per il caso 1, le scorciatoie di radice ripetute per il caso 2 o il metodo trigonometrico per il caso 3.

Osservazione avanzataSelezioniamo l'algoritmo che fornisce la massima precisione per il valore discriminante specifico.

07

Converti da t di nuovo a x

Una volta trovato t, invertiamo lo spostamento di sostituzione per trovare le radici finali x.

x = t - b/(3a)
08

Mostra radici finali e tipo

Verifica le radici calcolate e confermalo

f(x) \\approx 0
per ogni radice.

f(x) \approx 0

Riepilogo della classificazione

D+
Caso 1: Delta > 0
1 Reale, 2 Complesso

Una radice reale e due radici complesse coniugate. Risolto tramite le radici cubiche di Cardano.

D0
Caso 2A: Delta = 0, p = q = 0
3 Uguale reale

Il caso più raro in cui tutte e tre le radici collassano in un unico punto (il punto di flesso).

R2
Caso 2B: Delta = 0 (p, q != 0)
1 Semplice, 1 Doppia

Una radice reale distinta e una radice reale ripetuta. Il grafico è tangente all'asse x.

D-
Caso 3: Delta < 0
3 Reali distinti

Tre radici reali distinte. Il metodo trigonometrico fornisce la soluzione più stabile.

Algoritmi utilizzati

Formula di Cardano

Utilizzato per Delta > 0. Utilizza combinazioni di radici cubiche di numeri reali.

Forma trigonometrica

Utilizzato per Delta < 0. Evita "Casus Irreducibilis" utilizzando le funzioni coseno.

Percorso radice ripetuto

Utilizzato per Delta = 0. Semplifica il calcolo come u = v nella derivazione Cardano.

Metodo selezionato automaticamente in base al discriminante.

Contesto algebrico

Padroneggiare la derivazione Cardano-Tartaglia

Il principio fondamentale è utilizzare la sostituzione

x = u + v
per convertire il cubico in quadratico in termini di
u^3
 e
v^3
. Una volta trovati, i valori di t e infine di x vengono sbloccati.

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
Modello di equazione generico

Struttura cubica generale

Inizia dai coefficienti simbolici a, b, c e d, quindi deriva la forma ridotta e il ramo radice corrispondente.

Problema del bersaglio
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Valore di spostamento
x = t - b/(3a)
Parametro pag
(3ac - b^2) / (3a^2)
Parametro q
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
Delta discriminante
(q/2)^2 + (p/3)^3
Panoramica del modello di radice

Lo schema di radice finale dipende da Delta: positivo dà una radice reale, zero dà radici reali ripetute e negativo dà tre radici reali distinte.

xx1
xx2
xx3