Cubic Equation Solver WORKSPACE
Open menu
Özel Kübik Çözücü

Kübik Denklem Çözücü

Yalnızca kübik denklemleri çözün. Gerçek ve karmaşık kökleri bulun, Cardano tabanlı adımları izleyin ve kübik grafiği keşfedin.

Kübik katsayıları girin

Şunun için değerleri girin: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

İş Akışı Önizlemesi

Giriş solda, sonuç sağda, grafik her ikisinin altında

Bu, birincil çözme iş akışının taranmasını kolaylaştırır: katsayıları girin, çözülen kübik değeri gözden geçirin ve ardından her şeyi alttaki grafikle onaylayın.

Sol panele a, b, c ve d'yi girin.
Sağdaki sonuç özetini doldurmak için çözün.
Kübik davranışı doğrulamak için aşağıdaki tam genişlikli grafiği kullanın.

Kübik Grafik

Canlı grafik önizlemesi

Grafik ve durum özeti yan yana yer aldığından kübik şekil, canlı ölçümleriyle eşleştirilmiş kalır.

Grafik solda kalır, böylece eğri birincil görsel dayanak olarak kalırken sağdaki durumların taranması kolay kalır.

Grafik durumları

Canlı özet

Gerçek x-kesme noktaları

Gerçek x-kesme noktası yok

Y kesişme noktası

(0, 0)

Bükülme noktası

(0, 0)

Dönüm noktaları

Yerel maks/min yok

Kübik Örnekler

Kübik Çözücü SSS

Kübik denklem nedir?

Kübik denklem, baş katsayının sıfır olamayacağı, standart kübik biçimde yazılmış üçüncü dereceden bir polinomdur.

Bu çözücü karmaşık kökleri gösterebilir mi?

Evet. Denklemin bir gerçek kökü ve bir karmaşık-eşlenik çifti varsa, sonuçlar bölümü bunları açıkça gösterir ve bunları karmaşık olarak etiketler.

A katsayısı neden bu kadar önemli?

Eğer a = 0 ise denklem artık kübik değildir. Kullanıcı arayüzü bunu hemen doğrular ve çözümleyicinin neden devam edemediğini açıklar.

Adım adım bölüm neyi gösteriyor?

Çözücünün daha şeffaf hissetmesi için normalleştirilmiş denklemi, bastırılmış kübik dönüşümü, diskriminantı ve son yorumu özetler.
Genel Kübik Yöntem

Kübik Çözme Nasıl Çalışır?

Bu bölüm, çözücünün kübik denklemlere odaklanmasını sağlar: denklemi normalleştirin, onu sıkıştırılmış kübe indirgeyin, diskriminantı sınıflandırın ve eşleştirme kübik yöntemini uygulayın.

1. Adım

Denklemi normalleştir

Genel kübik denklemle başlayın, baş katsayının sıfırdan farklı olduğunu doğrulayın ve her terimi a'ya bölün.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
2. Adım

İkinci dereceden terimi kaldır

Değiştirmeyi kullanın

x = t - b/(3a)
. Bu, orijinal kübik olanı depresif kübik haline dönüştürür
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
3. Adım

Diskriminant'ı hesaplayın

Diskriminant bize kübik sayının hangi tür köklere sahip olduğunu ve yöntemin hangi dalının kullanılacağını söyler.

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
4. Adım

Eşleşen durumu seçin

Bir kez

Delta
Bilindiği gibi, Cardano'nun gerçek dalını, tekrarlanan kök kısayolunu veya trigonometrik formu kullanırız.

Delta > 0: 1 gerçek + 2 karmaşık Delta = 0: tekrarlanan gerçek kökler Delta < 0: 3 farklı gerçek kök

Olası Her Durum

Diskriminant, kübik yöntemin hangi dalının uygulanacağını kontrol eder.

Bir gerçek kök ve iki karmaşık eşlenik kök

Durum 1: Delta > 0

Cardano'nun küp kök ifadelerinden u ve v'yi hesaplayın, bu değerlerden üç basık kübik kökü oluşturun ve ardından olağan kaydırmayla geri dönüştürün.

Üçlü gerçek kök

Durum 2A: Delta = 0 ve p = 0, q = 0

Bastırılmış kübik tek bir tekrarlanan değere çöker, böylece geri kaymanın ardından üç gerçek kökün tümü çakışır.

Bir basit gerçek kök ve bir çift gerçek kök

Durum 2B: Delta = 0 ancak p ve q'nun ikisi de sıfır değil

Tek bir küp kök değeri, ters kaydırmadan sonra bir basit gerçek kök ve bir tekrarlanan gerçek kök üretir.

Üç farklı gerçek kök

Durum 3: Delta < 0

Üç gerçek kökü kosinüs açılarıyla ifade etmek için trigonometrik formu kullanın, ardından bunları ters kaydırmayla tekrar x'e dönüştürün.

Kompakt Genel Formül

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

Bu cebirsel kapalı formdur. Ne zaman

Delta < 0
, Trigonometrik versiyonun pratikte kullanımı genellikle daha kolaydır.

Sınıflandırma Özeti

Delta > 0 ise kübik sayının 1 gerçek kökü ve 2 karmaşık eşlenik kökü vardır.
Delta = 0 ve p = q = 0 ise kübik sayının 3 eşit reel kökü vardır.
Delta = 0 ancak p ve q'nun her ikisi de sıfır değilse, kübik sayının 1 basit gerçek kökü ve 1 çift gerçek kökü vardır.
Delta < 0 ise kübik sayının 3 farklı gerçek kökü vardır.

Genel Şablon

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Hesap makinesini sembolik katsayılardan başlayarak genel tutun, ardından a, b, c ve d'den p, q ve Delta'yı türetin.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

Delta'yı hesapladıktan sonra, Cardano'yu, tekrarlanan kök kısayolunu veya Delta'nın işaretine bağlı olarak trigonometrik dalı seçin.

Delta > 0 ise: bir gerçek ve iki karmaşık kök Delta = 0 ise: tekrarlanan gerçek kökler Delta < 0 ise: üç farklı gerçek kök

Genel iş akışı: normalleştirin, x = t - b/(3a) yerine koyun, p, q ve Delta'yı hesaplayın, doğru dalı seçin ve ardından t'den x'e geri dönüştürün.

Siteye Hazır Özet

Kübik çözümü şu sırayla sunun: denklemi normalleştirin, yerine koyun

x = t - b/(3a)
, depresif kübik inşa
t^3 + pt + q = 0
, p, q'yu hesaplayın ve
Delta
, doğru durumu seçin, eşleşen kök formülünü uygulayın, t'yi tekrar x'e dönüştürün ve ardından son kökleri kök türleriyle birlikte gösterin.

Eğitim Rehberi

Nasıl Çözülür? Kübik Denklem

Olası tüm kök durumları ve matematiksel dönüşümleri de içeren, kübik çözme sürecinin tam adım adım açıklaması.

Çok Aşamalı Metodoloji

Çözücü önce denklemi normalleştirir, onu sıkıştırılmış kübik forma dönüştürür, p, q ve diskriminantı hesaplar, ardından kök duruma bağlı olarak doğru yöntemi seçer.

Denklemi Normalleştir
İkinci Dereceden Terimi Kaldır
Hesaplama Ayırt Edici
Sınıflandırma Yöntemi

Mantık Parametreleri

Normalleştirilmiş Form
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Depresif Formu
t^3 + pt + q = 0
Kaydırma (x = t - kaydırma)

b/3a

Parametreler p, q

p, q

Ayırıcı (Delta)

(q/2)^2 + (p/3)^3

Adım Adım Matematiksel Döküm

01

Denklemi Normalleştir

Monik bir denklem elde etmek için kübik denklemin tamamını baş katsayı a'ya bölün.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

İkinci Dereceden Terimi Kaldır

Yedek

x = t - b/(3a)
ikinci dereceden terimi ortadan kaldırmak ve dönüm noktasını y eksenine kaydırmak için.

Yedek: x = t - b/(3a)
03

Depresif Kübik'i Alın

Yer değiştirme, t^2 terimi olmayan 'depresif' bir formla sonuçlanır.

t^3 + pt + q = 0
04

Hesaplama Parametreleri p, q ve Delta

Bastırılmış parametreleri ve kök doğasını belirleyen diskriminantı hesaplayın.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

Doğru Vakayı Seçin

Delta'ya göre kök doğasını tanımlayın: Delta > 0 (1 gerçek, 2 karmaşık), Delta = 0 (tekrarlanan gerçek) veya Delta < 0 (3 farklı gerçek).

Gelişmiş GözlemDelta > 0: Bir gerçek kök, iki karmaşık eşlenik. Delta = 0: Çoklu gerçek kökler. Delta < 0: Üç farklı gerçek kök.

06

Eşleşen Kök Formülünü Uygulayın

Durum 1 için Cardano'nun formülünü, Durum 2 için tekrarlanan kök kısayollarını veya Durum 3 için Trigonometrik yöntemi kullanın.

Gelişmiş GözlemSpesifik diskriminant değeri için en yüksek hassasiyeti sağlayan algoritmayı seçiyoruz.

07

T'yi tekrar x'e dönüştür

T bulunduğunda, son x köklerini bulmak için değiştirme kaydırmasını ters çevirin.

x = t - b/(3a)
08

Nihai Kökleri ve Türü Göster

Hesaplanan kökleri doğrulayın ve şunu onaylayın:

f(x) \\approx 0
her kök için.

f(x) \approx 0

Sınıflandırma Özeti

D+
Durum 1: Delta > 0
1 Gerçek, 2 Karmaşık

Bir gerçek kök ve iki karmaşık eşlenik kök. Cardano'nun küp kökleriyle çözüldü.

D0
Durum 2A: Delta = 0, p = q = 0
3 Eşit Gerçek

Üç kökün de tek bir noktaya (bükülme noktası) çöktüğü en nadir durum.

R2
Durum 2B: Delta = 0 (p, q != 0)
1 Basit, 1 Çift

Bir farklı gerçek kök ve bir tekrarlanan gerçek kök. Grafik x eksenine teğettir.

D-
Durum 3: Delta < 0
3 Farklı Gerçek

Üç farklı gerçek kök. Trigonometrik yöntem en kararlı çözümü sağlar.

Kullanılan Algoritmalar

Cardano'nun Formülü

Delta > 0 için kullanılır. Gerçek sayıların küp köklerinin kombinasyonlarını kullanır.

Trigonometrik Formu

Delta < 0 için kullanılır. Kosinüs fonksiyonlarını kullanarak 'Casus Irreducibilis'i önler.

Tekrarlanan Kök Yolu

Delta = 0 için kullanılır. Cardano türetmesinde u = v olarak hesaplamayı basitleştirir.

Yöntem, diskriminant temel alınarak otomatik olarak seçilir.

Cebirsel Bağlam

Cardano-Tartaglia Türetmesinde Uzmanlaşmak

Temel prensip ikameyi kullanmaktır

x = u + v
kübik olanı ikinci dereceden bir ifadeye dönüştürmek için
u^3
 ve
v^3
. Bunlar bulunduğunda t ve son olarak x değerlerinin kilidi açılır.

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
Genel Denklem Şablonu

Genel Kübik Yapı

a, b, c ve d sembolik katsayılarından başlayın, ardından indirgenmiş formu ve eşleşen kök dalını türetin.

Hedef Sorunu
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Değer Kaydırma
x = t - b/(3a)
Parametre p
(3ac - b^2) / (3a^2)
Parametre q
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
Diskriminant Deltası
(q/2)^2 + (p/3)^3
Kök Desenine Genel Bakış

Nihai kök modeli Delta'ya bağlıdır: pozitif bir gerçek kök verir, sıfır tekrarlanan gerçek kökler verir ve negatif üç farklı gerçek kök verir.

xx1
xx2
xx3