Cardano Yöntemi Hesap Makinesi

Formülün dramatik bir başlangıç ​​hikayesi var. 1515 yılı civarında Bologna'lı Scipione del Ferro çökük kübik denklemi çözdü ama neredeyse hiç kimseye söylemedi. Ölüm döşeğinde bunu öğrencisi Fior'a anlattı. 1535 yılında Fior, baskı altında çözümü yeniden üreten parlak Niccolò Tartaglia'ya meydan okudu ve kazandı. Gerolamo Cardano daha sonra yemin ederek Tartaglia'nın sırrını ikna etti, del Ferro'nun önceliğe sahip olduğunu öğrendi ve her şeyi kendi kitabında yayınladı. Ars Magna 1545'in her iki adama da kredisi var. Tartaglia onu asla affetmedi. Matematik ilk büyük öncelikli anlaşmazlığını kazandı ve cebir en önemli mücevherini kazandı.

Türetme, yakın çalışmanın karşılığını verir. Şununla başla: t³ + pt + q = 0 ve yerine t = u + v. Genişleyen verir u³ + v³ + q + (3uv + p)(u + v) = 0. Dehanın vuruşu zorludur 3uv + p = 0son terimi öldüren ve simetrik sistemi terk eden u³ + v³ = −q, u³v³ = −(p/3)³. Toplamı ve çarpımı bilinen iki sayı ikinci dereceden bir sayının kökleridir, yani sen³ Ve v³ kökleri z² + qz - (p/3)³ = 0. Take cube roots, add, and the formula appears. Every step is reversible, so nothing is lost.

En tuhaf bölüm ise Casus indirgenemez. Dikkate almak t³ - 15t - 4 = 0, bariz bir kökü olan t = 4 o zamandan beri 64 − 60 − 4 = 0. Cardano'nun formülü şunu verir t = ∛(2 + √(−121)) + ∛(2 − √(−121)), açıkça 4 olan bir cevap için negatif sayıların karekökleri. Rafael Bombelli 1572 civarında şunu fark etti: (2 + i)³ = 2 + 11i, yani iki karmaşık küp kökü 2 + i Ve 2 - ben, toplam 4. Karmaşık aritmetiğin içinde saklanan gerçek cevaplar: Bu tek hesaplama, karmaşık sayıların kabulü konusunda herhangi bir felsefi argümandan daha fazlasını yaptı.

Karekök altındaki miktar, D = (q/2)² + (p/3)³, esasen ayrımcı kılık değiştirerek: Δ = −108D = −(4p³ + 27q²). İşareti tam sınıflandırıcıdır. Ne zaman D > 0, gerçek radikallerden bir gerçek kök ve bir karmaşık çift ortaya çıkar. Ne zaman D = 0tekrarlanan bir kök görünür ve formül basitleşir. Ne zaman D < 0, karmaşık ara maddeler gerektiren üç gerçek kökün olduğu indirgenemez durumdasınız. Hesaplamadan önce bu işareti kontrol etmek sizi çıktıyı yanlış okumaktan kurtarır.

Bilgisayarlar kökleri milisaniyeler içinde tahmin edebiliyorken neden 500 yıllık bir formülü saklayasınız ki? Çünkü kesinlik önemlidir. Bilgisayar cebir sistemleri, Cardano'nun yöntemini sembolik olarak taşır, böylece aşağı yönlü cebir kesin kalır: ifadeleri basitleştirmek, kimlikleri kanıtlamak ve kapalı formları parametrelerle hesaplamak. Formül aynı zamanda matematikte de bir sınırı işaret ediyor: kübikler ve kuartikler radikallere yol açıyor, ancak Abel-Ruffini teoremi beşinci derece için böyle bir genel formülün mevcut olmadığını kanıtlıyor. Dolayısıyla Cardano'nun yöntemi hem pratik bir araç hem de radikallerin yapabileceklerinin sınırında bir anıt.