Kalkulator metody Cardano

Formuła ma dramatyczną historię pochodzenia. Około 1515 roku Scipione del Ferro z Bolonii rozwiązał zagadkę sześcienną, ale prawie nikomu o tym nie powiedział. Na łożu śmierci zwierzył się z tego swojemu uczniowi Fiorowi. W 1535 roku Fior rzucił wyzwanie genialnemu Niccolò Tartaglia, który pod presją ponownie wymyślił rozwiązanie i wygrał. Następnie Gerolamo Cardano wyciągnął tajemnicę z Tartaglii pod przysięgą, dowiedział się, że del Ferro ma pierwszeństwo i opublikował wszystko w swoim Ars Magna z 1545 r., z zasługą obu mężczyzn. Tartaglia nigdy mu nie wybaczył. Matematyka zyskała swój pierwszy spór o wielkim priorytecie, a algebra zyskała swój klejnot koronny.

Wyprowadzenie opłaca się z dokładnych badań. Zacznij od t³ + pt + q = 0 i zastąpić t = u + v. Rozszerzanie daje u³ + v³ + q + (3uv + p)(u + v) = 0. Przebłysk geniuszu jest wymagający 3uv + p = 0, co zabija ostatni wyraz i opuszcza układ symetryczny u³ + v³ = −q, u³v³ = −(p/3)³. Dwie liczby o znanej sumie i iloczynie są pierwiastkami kwadratu, tzw u³ I v³ są korzenie z² + qz − (p/3)³ = 0. Weź pierwiastki sześcienne, dodaj i pojawi się formuła. Każdy krok jest odwracalny, więc nic nie jest stracone.

Najdziwniejszy rozdział to casus nieredukowalny. Rozważać t³ − 15t − 4 = 0, który ma oczywisty pierwiastek t = 4 since 64 − 60 − 4 = 0. Wzór Cardano daje t = ∛(2 + √(−121)) + ∛(2 − √(−121)), pierwiastek kwadratowy liczb ujemnych dla odpowiedzi, która wynosi wyraźnie 4. Rafael Bombelli zauważył to około 1572 roku (2 + i)³ = 2 + 11i, więc dwa złożone pierwiastki sześcienne to 2 + ja I 2 - ja, sumując się do 4. Prawdziwe odpowiedzi ukryte w złożonej arytmetyce: to pojedyncze obliczenie zrobiło więcej dla akceptacji liczb zespolonych niż jakikolwiek argument filozoficzny.

Ilość pod pierwiastkiem kwadratowym, D = (q/2)² + (p/3)³, to zasadniczo dyskryminujący w przebraniu: Δ = −108D = −(4p³ + 27q²). Jego znak jest klasyfikatorem zupełnym. Gdy D > 0, z rzeczywistych rodników wyłania się jeden prawdziwy pierwiastek i złożona para. Gdy D = 0, pojawia się powtarzający się pierwiastek i wzór ulega uproszczeniu. Gdy D < 0, jesteś w przypadku nieredukowalnym z trzema prawdziwymi pierwiastkami wymagającymi złożonych półproduktów. Sprawdzenie tego znaku przed obliczeniem pozwala uniknąć błędnego odczytania wyniku.

Po co trzymać 500-letni wzór, skoro komputery mogą przybliżać pierwiastki w milisekundach? Ponieważ dokładność ma znaczenie. Systemy algebry komputerowej symbolicznie niosą metodę Cardano, dzięki czemu algebra dalsza pozostaje dokładna: upraszczanie wyrażeń, udowadnianie tożsamości i obliczanie zamkniętych form z parametrami. Wzór wyznacza również granicę w matematyce: sześciany i kwarty ustępują rodnikom, ale twierdzenie Abela-Ruffiniego dowodzi, że taki ogólny wzór nie istnieje dla stopnia piątego. Metoda Cardano jest zatem zarówno praktycznym narzędziem, jak i pomnikiem na skraju możliwości radykałów.