Cubic Equation Solver WORKSPACE
Open menu
Dedykowany sześcienny Solver

Rozwiązanie równań sześciennych

Rozwiązuj tylko równania sześcienne. Znajdź rzeczywiste i złożone pierwiastki, postępuj zgodnie z krokami opartymi na Cardano i eksploruj wykres sześcienny.

Wprowadź współczynniki sześcienne

Wprowadź wartości dla ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

Podgląd przepływu pracy

Dane wejściowe po lewej stronie, wynik po prawej, wykres poniżej obu

Dzięki temu podstawowy proces rozwiązywania jest łatwy do przeskanowania: wprowadź współczynniki, przejrzyj rozwiązany układ sześcienny, a następnie potwierdź wszystko za pomocą wykresu poniżej.

Wpisz a, b, c i d w lewym panelu.
Rozwiąż, aby wypełnić podsumowanie wyników po prawej stronie.
Użyj poniższego wykresu o pełnej szerokości, aby potwierdzić zachowanie sześcienne.

Wykres sześcienny

Podgląd wykresu na żywo

Wykres i podsumowanie stanu znajdują się obok siebie, więc sześcienny kształt pozostaje powiązany z jego bieżącymi pomiarami.

Wykres pozostaje po lewej stronie, więc krzywa pozostaje główną wizualną kotwicą, podczas gdy stany po prawej stronie są łatwe do przeskanowania.

Stany wykresu

Podsumowanie na żywo

Rzeczywiste punkty przecięcia x

Żadnych prawdziwych punktów przecięcia x

Przecięcie Y

(0, 0)

Punkt przegięcia

(0, 0)

Punkty zwrotne

Brak lokalnego maks./min

Przykłady sześcienne

Często zadawane pytania dotyczące rozwiązywania problemów sześciennych

Co to jest równanie sześcienne?

Równanie sześcienne to wielomian trzeciego stopnia zapisany w standardowej postaci sześciennej, w którym współczynnik wiodący nie może wynosić zero.

Czy ten solwer może pokazywać złożone pierwiastki?

Tak. Jeśli równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty i parę koniugatów zespolonych, sekcja wyników pokazuje je wyraźnie i oznacza jako złożone.

Dlaczego współczynnik ma tak duże znaczenie?

Jeśli a = 0, równanie nie jest już sześcienne. Interfejs użytkownika natychmiast to sprawdza i wyjaśnia, dlaczego moduł rozwiązywania nie może kontynuować.

Co pokazuje sekcja krok po kroku?

Podsumowuje znormalizowane równanie, obniżoną transformację sześcienną, dyskryminator i ostateczną interpretację, dzięki czemu rozwiązanie wydaje się bardziej przejrzyste.
Ogólna metoda sześcienna

Jak działa układanie sześcienne

W tej sekcji moduł rozwiązywania koncentruje się na równaniach sześciennych: znormalizuj równanie, sprowadź je do obniżonej wartości sześciennej, sklasyfikowaj dyskryminator i zastosuj dopasowującą metodę sześcienną.

Krok 1

Normalizuj równanie

Zacznij od ogólnego równania sześciennego, upewnij się, że wiodący współczynnik jest różny od zera i podziel każdy wyraz przez a.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Krok 2

Usuń człon kwadratowy

Użyj podstawienia

x = t - b/(3a)
. To przekształca oryginalną liczbę sześcienną w obniżoną liczbę sześcienną
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
Krok 3

Oblicz dyskryminator

Wyróżnik mówi nam, jaki rodzaj pierwiastków ma sześcienny i którą gałąź metody zastosować.

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
Krok 4

Wybierz pasującą obudowę

Raz

Delta
jest znana, używamy prawdziwej gałęzi Cardano, skrótu z powtarzanym pierwiastkiem lub postaci trygonometrycznej.

Delta > 0: 1 rzeczywisty + 2 złożone Delta = 0: powtarzające się pierwiastki rzeczywiste Delta <0: 3 różne pierwiastki rzeczywiste

Każdy możliwy przypadek

Dyskryminator kontroluje, która gałąź metody sześciennej ma zastosowanie.

Jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa złożone pierwiastki sprzężone

Przypadek 1: Delta > 0

Oblicz u i v z wyrażeń pierwiastkowych Cardano, zbuduj trzy obniżone pierwiastki sześcienne z tych wartości, a następnie przekonwertuj z powrotem ze zwykłym przesunięciem.

Potrójny prawdziwy pierwiastek

Przypadek 2A: Delta = 0 i p = 0, q = 0

Obniżony sześcian zapada się do pojedynczej powtarzanej wartości, więc wszystkie trzy rzeczywiste pierwiastki pokrywają się po cofnięciu.

Jeden prosty pierwiastek rzeczywisty i jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty

Przypadek 2B: Delta = 0, ale oba p i q nie są zerami

Pojedyncza wartość pierwiastka sześciennego generuje jeden prosty pierwiastek rzeczywisty i jeden powtarzający się pierwiastek rzeczywisty po odwrotnym przesunięciu.

Trzy różne prawdziwe korzenie

Przypadek 3: Delta < 0

Użyj formy trygonometrycznej, aby wyrazić trzy pierwiastki rzeczywiste za pomocą kątów cosinus, a następnie zamień je z powrotem na x z odwrotnym przesunięciem.

Kompaktowa formuła ogólna

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

Jest to algebraiczna forma zamknięta. Kiedy

Delta < 0
, wersja trygonometryczna jest zwykle łatwiejsza w użyciu w praktyce.

Podsumowanie klasyfikacji

Jeśli Delta > 0, sześcienny ma 1 pierwiastek rzeczywisty i 2 złożone pierwiastki sprzężone.
Jeśli Delta = 0 i p = q = 0, sześcian ma 3 równe pierwiastki rzeczywiste.
Jeśli Delta = 0, ale p i q nie są równe zero, sześcienna ma 1 prosty pierwiastek rzeczywisty i 1 podwójny pierwiastek rzeczywisty.
Jeżeli Delta < 0, sześcian ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.

Szablon ogólny

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Zachowaj ogólny charakter kalkulatora, zaczynając od współczynników symbolicznych, a następnie wyprowadź p, q i Delta z a, b, c i d.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

Po obliczeniu delty wybierz Cardano, skrót z powtarzanym pierwiastkiem lub gałąź trygonometryczną w zależności od znaku delty.

Jeśli Delta > 0: jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa pierwiastki zespolone Jeśli Delta = 0: powtarzające się pierwiastki rzeczywiste Jeśli Delta < 0: trzy różne pierwiastki rzeczywiste

Ogólny przepływ pracy: normalizuj, zastępuj x = t - b/(3a), obliczaj p, q i Delta, wybierz właściwą gałąź, a następnie przekonwertuj z powrotem z t na x.

Podsumowanie gotowe do użycia w witrynie

Przedstaw rozwiązanie sześcienne w następującej kolejności: znormalizuj równanie, zamień

x = t - b/(3a)
, zbuduj przygnębiony sześcienny
t^3 + pt + q = 0
, obliczyć p, q i
Delta
, wybierz właściwy przypadek, zastosuj pasujący wzór na pierwiastek, zamień t z powrotem na x, a następnie pokaż końcowe pierwiastki wraz z ich typem pierwiastka.

Przewodnik edukacyjny

Jak rozwiązać Równanie sześcienne

Kompletne wyjaśnienie krok po kroku procesu rozwiązywania sześciennego, w tym wszystkich możliwych przypadków pierwiastkowych i przekształceń matematycznych.

Metodologia wieloetapowa

Solver najpierw normalizuje równanie, przekształca je do obniżonej postaci sześciennej, oblicza p, q i dyskryminator, a następnie wybiera właściwą metodę w zależności od przypadku pierwiastkowego.

Normalizuj równanie
Usuń wyraz kwadratowy
Oblicz dyskryminator
Klasyfikuj metodę

Parametry logiczne

Znormalizowana forma
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Przygnębiona forma
t^3 + pt + q = 0
Przesunięcie (x = t - przesunięcie)

b/3a

Parametry p, q

p, q

Dyskryminacyjny (Delta)

(q/2)^2 + (p/3)^3

Rozbicie matematyczne krok po kroku

01

Normalizuj równanie

Podziel całe równanie sześcienne przez wiodący współczynnik a, aby otrzymać równanie moniczne.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

Usuń człon kwadratowy

Zastępca

x = t - b/(3a)
aby wyeliminować składnik kwadratowy i przesunąć punkt przegięcia na oś y.

Zastępca: x = t - b/(3a)
03

Zdobądź Depressed Cubic

Podstawienie daje w rezultacie „obniżoną” formę bez członu t^2.

t^3 + pt + q = 0
04

Oblicz parametry p, q i Delta

Oblicz obniżone parametry i dyskryminator określający naturę pierwiastka.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

Wybierz właściwy przypadek

Zidentyfikuj naturę pierwiastka na podstawie Delta: Delta > 0 (1 rzeczywista, 2 złożone), Delta = 0 (rzeczywista powtarzana) lub Delta < 0 (3 różne rzeczywiste).

Zaawansowana obserwacjaDelta > 0: Jeden pierwiastek rzeczywisty, dwa koniugaty zespolone. Delta = 0: Wiele pierwiastków rzeczywistych. Delta <0: Trzy różne rzeczywiste pierwiastki.

06

Zastosuj wzór na pierwiastek pasujący

Użyj wzoru Cardano dla Przypadku 1, powtarzanych skrótów głównych dla Przypadku 2 lub metody trygonometrycznej dla Przypadku 3.

Zaawansowana obserwacjaWybieramy algorytm zapewniający największą precyzję dla określonej wartości wyróżnika.

07

Zamień t z powrotem na x

Po znalezieniu t odwróć przesunięcie podstawienia, aby znaleźć końcowe pierwiastki x.

x = t - b/(3a)
08

Pokaż końcowe korzenie i typ

Sprawdź obliczone pierwiastki i potwierdź to

f(x) \\approx 0
dla każdego korzenia.

f(x) \approx 0

Podsumowanie klasyfikacji

D+
Przypadek 1: Delta > 0
1 Rzeczywisty, 2 Złożone

Jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa złożone pierwiastki sprzężone. Rozwiązanie za pomocą pierwiastków sześciennych Cardano.

D0
Przypadek 2A: Delta = 0, p = q = 0
3 Równe Rzeczywiste

Najrzadszy przypadek, w którym wszystkie trzy pierwiastki zapadają się w jeden punkt (punkt przegięcia).

R2
Przypadek 2B: Delta = 0 (p, q != 0)
1 prosty, 1 podwójny

Jeden odrębny pierwiastek rzeczywisty i jeden powtarzający się pierwiastek rzeczywisty. Wykres jest styczny do osi x.

D-
Przypadek 3: Delta < 0
3 Odrębne Rzeczywiste

Trzy różne prawdziwe korzenie. Metoda trygonometryczna zapewnia najbardziej stabilne rozwiązanie.

Stosowane algorytmy

Wzór Cardano

Używane dla Delta > 0. Używa kombinacji pierwiastków sześciennych liczb rzeczywistych.

Forma trygonometryczna

Używane dla Delta < 0. Unika się „Casus Irreducibilis”, używając funkcji cosinus.

Powtarzana ścieżka korzenia

Używany dla Delta = 0. Upraszcza obliczenia, ponieważ u = v w wyprowadzeniu Cardano.

Metoda wybierana automatycznie na podstawie dyskryminatora.

Kontekst algebraiczny

Opanowanie wyprowadzenia Cardano-Tartaglia

Podstawową zasadą jest stosowanie podstawienia

x = u + v
zamienić liczbę sześcienną na kwadratową w kategoriach
u^3
 i
v^3
. Po ich znalezieniu wartości t i ostatecznie x zostają odblokowane.

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
Ogólny szablon równania

Ogólna struktura sześcienna

Zacznij od symbolicznych współczynników a, b, c i d, a następnie wyprowadź formę zredukowaną i pasującą gałąź główną.

Problem docelowy
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Wartość przesunięcia
x = t - b/(3a)
Parametr str
(3ac - b^2) / (3a^2)
Parametr q
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
Dyskryminacyjna Delta
(q/2)^2 + (p/3)^3
Omówienie wzorca głównego

Ostateczny wzór pierwiastka zależy od delty: dodatni daje jeden prawdziwy pierwiastek, zero daje powtarzające się rzeczywiste pierwiastki, a ujemny daje trzy różne rzeczywiste pierwiastki.

xx1
xx2
xx3