Kalkulator faktoryzacji wielomianu

Twierdzenie o czynnikach dotyczy całego silnika, a jego dowód jest jedną linią, jeśli masz twierdzenie o reszcie. Działowy P(x) przez (X − R) pozostawia stałą resztę równą P(r). Reszta zerowa oznacza dokładny podział, czyli dokładnie to, co oznacza „jest czynnikiem”. Więc (X − R) is a factor exactly when P(r) = 0. Każda strategia faktoringu, od obliczeń ręcznych po algebrę komputerową, jest zorganizowana wokół tej równoważności.

Każdy sześcienny ma co najmniej jeden rzeczywisty współczynnik liniowy, a powód jest topologiczny. Ma to tendencję do wielomianu stopnia nieparzystego −∞ on one side and +∞ z drugiej strony, więc zgodnie z twierdzeniem o wartości pośredniej jego wykres musi gdzieś przecinać oś x. To skrzyżowanie jest prawdziwym pierwiastkiem, a zatem prawdziwym czynnikiem liniowym. Pozostały kwadrat może, ale nie musi, uwzględniać dalsze liczby rzeczywiste: x³ − 2x² + x − 2 = (x − 2)(x² + 1) zatrzymuje się tam, ponieważ x² + 1 nie ma zer rzeczywistych.

Standardowy rurociąg ręczny składa się z trzech etapów. Najpierw wypisz racjonalnych kandydatów za pomocą twierdzenie o pierwiastku racjonalnym. Po drugie, przetestuj każdego kandydata za pomocą podział syntetyczny, co podwaja się jako dzielenie, które zmniejsza wartość wielomianu. Po trzecie, rozwiąż pozostałą część kwadratową za pomocą wzoru kwadratowego. Ten potok jest kompletny: zostanie znaleziony dowolny racjonalny współczynnik sześcienny o współczynnikach całkowitych, ponieważ lista kandydatów jest wyczerpująca na mocy twierdzenia.

Kiedy pozostała część kwadratowa nie chce zostać rozłożona na czynniki, funkcja dyskryminujący wyjaśnia dlaczego. Ujemny dyskryminator oznacza jeden pierwiastek rzeczywisty plus złożoną parę koniugatów, więc element kwadratowy jest rzeczywiście nieredukowalny przez liczby rzeczywiste. Przykład: x³ + x = x(x² + 1) ma pojedynczy pierwiastek rzeczywisty 0 i parę zespoloną ±tj. Recognizing this case saves you from hunting rational roots that do not exist, and the skomplikowany kalkulator pierwiastków kończy pracę.

„Nieredukowalne” zawsze wymaga kwalifikatora: nieredukowalne, przez które liczby? x² + 1 jest nieredukowalny Q i koniec R, ale dzieli się jako (X − ja)(x + ja) over C. Lemat Gaussa gwarantuje, że faktoryzacja zostanie zakończona Q dopasowuje faktoryzację do końca Z, dlatego metody wykorzystujące współczynniki całkowite, takie jak test racjonalnego pierwiastka, są teoretycznie kompletne. Unikalna faktoryzacja obiecuje, że istnieje tylko jedna poprawna odpowiedź, niezależnie od tego, jak ją znajdziesz.