Cubic Equation Solver WORKSPACE
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専用のキュービックソルバー

3次方程式ソルバー

三次方程式のみを解きます。実数の複素根を見つけ、Cardano ベースの手順に従い、三次グラフを探索します。

3次係数を入力してください

の値を入力してください ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

ワークフローのプレビュー

左側に入力、右側に結果、両方の下にグラフ

これにより、主要な解決ワークフローが簡単に実行できるようになります。係数を入力し、解決された 3 次を確認し、その下のグラフですべてを確認します。

左側のパネルに a、b、c、および d を入力します。
解決すると、右側に結果の概要が表示されます。
三次挙動を確認するには、以下の全幅グラフを使用してください。

3次グラフ

ライブグラフプレビュー

グラフと状態の概要は並べて表示されるため、立方体形状は実際の測定値と関連付けられたままになります。

グラフは左側に留まるため、曲線は主要な視覚的アンカーのままであり、右側の状態は簡単に確認できます。

グラフの状態

ライブ概要

実数の x 切片

実際の x 切片はありません

Y切片

(0, 0)

変曲点

(0, 0)

転換点

極大値/極小値なし

立方体の例

キュービックソルバーに関するよくある質問

3次方程式とは何ですか?

3次方程式は、標準の3次形式で記述された3次多項式であり、先頭の係数をゼロにすることはできません。

このソルバーは複雑なルートを表示できますか?

はい。方程式に 1 つの実根と複素共役のペアがある場合、結果セクションにはそれらが明確に表示され、複素数としてラベル付けされます。

なぜ係数 a がそれほど重要なのでしょうか?

a = 0 の場合、方程式は 3 次ではなくなります。 UI はこれをすぐに検証し、ソルバーが続行できない理由を説明します。

ステップバイステップのセクションには何が表示されますか?

正規化された方程式、ディプレスト 3 次変換、判別式、および最終解釈がまとめられているため、ソルバーがよりわかりやすく感じられます。
一般的な立方体法

3次解法の仕組み

このセクションでは、ソルバーは 3 次方程式に焦点を当て続けます。方程式を正規化し、ディプレスト 3 次方程式に換算し、判別式を分類し、マッチング 3 次方程式を適用します。

ステップ1

方程式を正規化する

一般的な 3 次方程式から始めて、先頭の係数がゼロでないことを確認し、すべての項を a で割ります。

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
ステップ2

二次項を削除する

置換を使用する

x = t - b/(3a)
. これにより、元の立方体が凹んだ立方体に変換されます。
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
ステップ3

判別式を計算する

判別式は、3 次関数がどのタイプの根を持ち、メソッドのどの分岐を使用するかを示します。

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
ステップ4

適合するケースをお選びください

一度

Delta
が知られている場合は、Cardano の実際のブランチ、ルートの繰り返しショートカット、または三角関数形式を使用します。

デルタ > 0: 1 実数 + 2 複素数 デルタ = 0: 実根の繰り返し デルタ < 0: 3 つの異なる実根

考えられるあらゆるケース

判別式は、3 次法のどのブランチを適用するかを制御します。

1 つの実根と 2 つの複素共役根

ケース 1: デルタ > 0

Cardano の立方根式から u と v を計算し、それらの値から 3 つの凹立方根を構築し、通常のシフトで逆変換します。

トリプル実根

ケース 2A: デルタ = 0 および p = 0、q = 0

ディプレスト 3 次は 1 つの繰り返し値に崩壊するため、シフトバック後に 3 つの実根はすべて一致します。

1 つの単純な実根と 1 つの二重実根

ケース 2B: デルタ = 0 ですが、p と q は両方ともゼロではありません

単一の立方根値は、逆シフト後に 1 つの単純な実根と 1 つの反復実根を生成します。

3 つの異なる本当のルーツ

ケース 3: デルタ < 0

三角関数形式を使用して 3 つの実根を余弦角で表し、逆シフトで x に変換し直します。

コンパクトな一般式

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

これは代数の閉じた形式です。いつ

Delta < 0
, 通常、実際には三角関数バージョンの方が使いやすいです。

分類の概要

デルタ > 0 の場合、3 次関数には 1 つの実数ルートと 2 つの複素共役ルートがあります。
Delta = 0 および p = q = 0 の場合、3 次関数には 3 つの等しい実根があります。
デルタ = 0 であるが、p と q が両方とも 0 ではない場合、3 次は 1 つの単純実根と 1 つの二重実根を持ちます。
デルタ < 0 の場合、3 次には 3 つの異なる実根があります。

汎用テンプレート

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

シンボリック係数から開始して、a、b、c、および d から p、q、および Delta を導出することで、計算機を汎用的に保ちます。

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

デルタを計算した後、デルタの符号に応じて、Cardano、根の繰り返しのショートカット、または三角関数の分岐を選択します。

デルタ > 0 の場合: 1 つの実数根と 2 つの複素数根 デルタ = 0 の場合: 実根の繰り返し デルタ < 0 の場合: 3 つの異なる実根

一般的なワークフロー: 正規化、x = t - b/(3a) の置換、p、q、デルタの計算、正しい分岐の選択、t から x への逆変換。

サイト対応の概要

次の順序で 3 次解を提示します。方程式を正規化し、代入します。

x = t - b/(3a)
, 凹んだ立方体を構築する
t^3 + pt + q = 0
, p、q、およびを計算します。
Delta
, 正しいケースを選択し、一致するルート公式を適用し、t から x に変換し直して、最終的なルートをそのルート タイプとともに表示します。

教育ガイド

解決方法 3次方程式

考えられるすべてのルートケースと数学的変換を含む、3次解法のプロセスを段階的に完全に説明します。

多段階の方法論

ソルバーはまず方程式を正規化し、それを凹三次形式に変換し、p、q、および判別式を計算してから、ルート ケースに応じて正しい方法を選択します。

方程式を正規化する
二次項の削除
判別式を計算する
Classify メソッド

ロジックパラメータ

正規化された形式
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
くぼんだ形
t^3 + pt + q = 0
シフト (x = t - シフト)

b/3a

パラメータ p、q

p, q

判別式 (デルタ)

(q/2)^2 + (p/3)^3

段階的な数学的内訳

01

方程式を正規化する

3 次方程式全体を先頭の係数 a で除算して、一次方程式を取得します。

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

二次項の削除

代理

x = t - b/(3a)
二次項を削除し、変曲点を y 軸に移動します。

代理: x = t - b/(3a)
03

デプレッションキュービックを入手

置換の結果、t^2 項のない「抑圧された」形式が生成されます。

t^3 + pt + q = 0
04

パラメータ p、q、デルタを計算する

抑圧されたパラメータと根の性質を決定する判別式を計算します。

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

正しい大文字と小文字を選択してください

デルタに基づいてルートの性質を特定します。デルタ > 0 (1 実数、2 複素数)、デルタ = 0 (反復実数)、またはデルタ < 0 (3 つの異なる実数)。

高度な観察デルタ > 0: 1 つの実根、2 つの複素共役。デルタ = 0: 複数の実根。デルタ < 0: 3 つの異なる実根。

06

マッチングルート式を適用する

ケース 1 にはカルダノの公式を使用し、ケース 2 にはルート ショートカットの繰り返しを使用し、ケース 3 には三角法を使用します。

高度な観察特定の判別値に対して最高の精度を提供するアルゴリズムを選択します。

07

t から x に変換し直す

t が見つかったら、置換シフトを逆にして、最終的な根 x を見つけます。

x = t - b/(3a)
08

最終ルートとタイプを表示

計算されたルートを検証し、次のことを確認します。

f(x) \\approx 0
ルートごとに。

f(x) \approx 0

分類の概要

D+
ケース 1: デルタ > 0
1 実数、2 複素数

1 つの実根と 2 つの複素共役根。 Cardano の立方根を介して解決されます。

D0
ケース 2A: デルタ = 0、p = q = 0
3 等しい実数

3 つの根すべてが 1 つの点 (変曲点) に崩壊する最もまれなケースです。

R2
ケース 2B: デルタ = 0 (p, q != 0)
シンプル 1 つ、ダブル 1 つ

1 つの個別の実ルートと 1 つの反復実ルート。グラフは x 軸に接しています。

D-
ケース 3: デルタ < 0
3 独特のリアル

3 つの異なる本当のルーツ。三角法は最も安定した解を提供します。

使用されるアルゴリズム

カルダノの公式

デルタ > 0 に使用されます。実数の立方根の組み合わせを使用します。

三角関数形式

デルタ < 0 に使用されます。コサイン関数を使用して「Casus Irreducibilis」を回避します。

繰り返されるルートパス

Delta = 0 に使用されます。Cardano 導出では u = v として計算を簡素化します。

判別式に基づいて自動的に選択されるメソッド。

代数的コンテキスト

カルダノとタルターリアの導出をマスターする

基本的な原則は置換を使用することです

x = u + v
という観点から3次関数を2次関数に変換するには
u^3
 そして
v^3
. これらが見つかると、t の値、そして最後に x の値がロック解除されます。

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
一般的な方程式テンプレート

一般的な立方体構造

シンボリック係数 a、b、c、d から開始して、縮小形式と一致するルート ブランチを導出します。

対象問題
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
シフト値
x = t - b/(3a)
パラメータ p
(3ac - b^2) / (3a^2)
パラメータq
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
判別デルタ
(q/2)^2 + (p/3)^3
ルートパターンの概要

最終的な根パターンはデルタに依存します。正の場合は 1 つの実根が与えられ、ゼロは繰り返しの実根を与え、負の場合は 3 つの異なる実根が与えられます。

xx1
xx2
xx3