極値計算機

なぜ立方体はちょうど 1 つまたは 3 つの転換点を持たないのでしょうか?答えは、偽装されたロールの定理です。任意の 2 つの転換点の間では、導関数はゼロと交差する必要があり、3 次の導関数は最大でも 2 つの実ゼロを持つ 2 次関数になります。したがって、カウントはロックされます。つまり、0 または 2 つの異なる転換点があり、二重ゼロの場合は単一の鞍点が得られます。この厳密性は贈り物です。転換点のカウントが本物のパズルである高次の多項式とは異なり、3 次の可能性は 1 つの短い文に収まります。の 判別式 同じ三分法を 1 つの数値でエンコードします。

数量 b² − 3ac もっと詳しく見てみる価値があります。導関数の判別式の 4 分の 1 です。 3ax² + 2bx + c、そしてその兆候が物語のすべてです。さらに深い関係があります。3 つの異なる実根によって、Rolle の定理によって曲線が 2 回回転し、各根のペア間で 1 回ずつ回転することになります。 Δ > 0 は常に暗黙的に意味します b² − 3ac > 0。逆は偽です。2 つの計算は同じ局所幾何学を反映していますが、2 つの転換点自体は 3 つの実根を保証するものではありません。

二次導関数テストを知っていれば、最大値と最小値の分類は機械的に行うことができますが、覚えておく価値のあるパターンがあります。いつ ある > 0、曲線は最終的に右に上昇するため、最初に極大値まで上昇し、次に極小値まで下降する必要があります。つまり、最大値が左側、最小値が右側になります。いつ ある < 0、すべてがミラーリングされます: 最小値が左側、最大値が右側です。二次導関数 f''(x) = 6ax + 2b それぞれのケースを個別に確認します。この順序は、次の理由も説明します。 変曲点 ちょうどそれらの間に位置します: それは中間点です −b/3a 2 つの x 値のうち。

The boundary case b² − 3ac = 0 サドルポイントを生成し、見た目よりも微妙です。ここで、微分値は符号を変えることなくゼロに接触するため、曲線は一瞬平坦になり、同じ方向に進みます。古典的な例は次のとおりです y = x3 原点: 傾きはゼロですが、最大でも最小でもありません。物理的な用語で言うと、これは中立平衡点であり、下り坂が続く完全に平坦な場所でバランスがとれたボールのようなものです。最適化ルーチンはサドルを明示的に検出する必要があります。これは、サドルで停止することは、フラットな一時停止を真の最適な一時停止と誤認することを意味するためです。

ターニングポイントとルートが固定パターンで交互に配置されます。 3 つの異なる実際のルーツを持つ r₁ < r₂ < r₃, ロールの定理は、厳密に 1 つの転換点を次の 2 つの間に置きます。 r₁ そして r₂ そしてもう1つは厳密にその間にあります r₂ そして r₃。このブラケティングは、多くのルート検索アルゴリズム内のエンジンです。転換点を特定し、そこで関数を評価すると、符号パターンによってルートが正確にいくつ存在し、おおよそどこに存在するかが明らかになります。の 有理根定理計算機 次に、正確な値を探します。 カルダノの手法 閉じた状態で納品します。