Cubic Equation Solver WORKSPACE
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Solucionador cúbico dedicado

Solucionador de ecuaciones cúbicas

Resuelve únicamente ecuaciones cúbicas. Encuentre raíces reales y complejas, siga los pasos basados ​​en Cardano y explore la gráfica cúbica.

Introduzca coeficientes cúbicos

Introduzca valores para ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

Vista previa del flujo de trabajo

Entrada a la izquierda, resultado a la derecha, gráfico debajo de ambos

Esto hace que el flujo de trabajo de resolución principal sea fácil de escanear: ingrese coeficientes, revise el cubo resuelto y luego confirme todo con el gráfico que se encuentra debajo.

Ingrese a, b, cyd en el panel izquierdo.
Resuelva para completar el resumen de resultados a la derecha.
Utilice el gráfico de ancho completo a continuación para confirmar el comportamiento cúbico.

Gráfico cúbico

Vista previa del gráfico en vivo

El gráfico y el resumen del estado están uno al lado del otro para que la forma cúbica permanezca emparejada con sus mediciones en vivo.

El gráfico permanece a la izquierda, por lo que la curva sigue siendo el ancla visual principal, mientras que los estados de la derecha siguen siendo fáciles de escanear.

Estados del gráfico

Resumen en vivo

Intersecciones x reales

No hay intersecciones x reales

Intersección en Y

(0, 0)

Punto de inflexión

(0, 0)

Puntos de inflexión

Sin máximo/mínimo local

Ejemplos cúbicos

Preguntas frecuentes sobre el solucionador cúbico

¿Qué es una ecuación cúbica?

Una ecuación cúbica es un polinomio de tercer grado escrito en forma cúbica estándar, donde el coeficiente principal no puede ser cero.

¿Puede este solucionador mostrar raíces complejas?

Sí. Si la ecuación tiene una raíz real y un par complejo-conjugado, la sección de resultados los muestra claramente y los etiqueta como complejos.

¿Por qué el coeficiente a importa tanto?

Si a = 0, la ecuación ya no es cúbica. La interfaz de usuario valida esto inmediatamente y explica por qué el solucionador no puede continuar.

¿Qué muestra la sección paso a paso?

Resume la ecuación normalizada, la transformación cúbica deprimida, el discriminante y la interpretación final para que el solucionador se sienta más transparente.
Método cúbico general

Cómo funciona la resolución cúbica

Esta sección mantiene al solucionador enfocado en las ecuaciones cúbicas: normaliza la ecuación, redúcela a la cúbica deprimida, clasifica el discriminante y aplica el método cúbico coincidente.

Paso 1

Normalizar la ecuación

Comience con la ecuación cúbica general, confirme que el coeficiente principal sea distinto de cero y divida cada término por a.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Paso 2

Eliminar el término cuadrático

Usa la sustitución

x = t - b/(3a)
. Esto convierte el cúbico original en el cúbico deprimido.
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
Paso 3

Calcular el discriminante

El discriminante nos dice qué tipo de raíces tiene la cúbica y qué rama del método usar.

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
Paso 4

Elige el estuche correspondiente

una vez

Delta
se conoce, utilizamos la rama real de Cardano, el atajo de raíces repetidas o la forma trigonométrica.

Delta > 0: 1 real + 2 complejos Delta = 0: raíces reales repetidas Delta <0: 3 raíces reales distintas

Todos los casos posibles

El discriminante controla qué rama del método cúbico se aplica.

Una raíz real y dos raíces conjugadas complejas

Caso 1: Delta > 0

Calcule u y v a partir de las expresiones de raíz cúbica de Cardano, construya las tres raíces cúbicas deprimidas a partir de esos valores y luego vuelva a convertir con el desplazamiento habitual.

Raíz real triple

Caso 2A: Delta = 0 y p = 0, q = 0

La cúbica deprimida colapsa a un único valor repetido, por lo que las tres raíces reales coinciden después de retroceder.

Una raíz real simple y una raíz real doble

Caso 2B: Delta = 0 pero p y q no son ambos cero

Un único valor de raíz cúbica genera una raíz real simple y una raíz real repetida después del desplazamiento inverso.

Tres raíces reales distintas

Caso 3: Delta < 0

Usa la forma trigonométrica para expresar las tres raíces reales mediante ángulos cosenos, luego conviértelas nuevamente a x con el desplazamiento inverso.

Fórmula general compacta

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

Esta es la forma algebraica cerrada. cuando

Delta < 0
, la versión trigonométrica suele ser más fácil de utilizar en la práctica.

Resumen de clasificación

Si Delta > 0, la cúbica tiene 1 raíz real y 2 raíces conjugadas complejas.
Si Delta = 0 y p = q = 0, la cúbica tiene 3 raíces reales iguales.
Si Delta = 0 pero p y q no son ambos cero, la cúbica tiene 1 raíz real simple y 1 raíz real doble.
Si Delta < 0, la cúbica tiene 3 raíces reales distintas.

Plantilla genérica

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Mantenga la calculadora genérica comenzando con coeficientes simbólicos, luego obtenga p, q y Delta de a, b, cy d.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

Después de calcular Delta, elija Cardano, el atajo de raíz repetida o la rama trigonométrica según el signo de Delta.

Si Delta > 0: una raíz real y dos complejas Si Delta = 0: raíces reales repetidas Si Delta < 0: tres raíces reales distintas

Flujo de trabajo genérico: normalizar, sustituir x = t - b/(3a), calcular p, q y Delta, elegir la rama correcta y luego volver a convertir de t a x.

Resumen listo para el sitio

Presente la resolución cúbica en este orden: normalice la ecuación, sustituya

x = t - b/(3a)
, construir la cúbica deprimida
t^3 + pt + q = 0
, calcular p, q y
Delta
, elija el caso correcto, aplique la fórmula de raíz correspondiente, convierta de t nuevamente a x y luego muestre las raíces finales con su tipo de raíz.

Guía Educativa

Cómo resolver un Ecuación cúbica

Una explicación completa paso a paso del proceso de resolución cúbica, incluidos todos los casos de raíz posibles y transformaciones matemáticas.

La metodología de múltiples etapas

El solucionador primero normaliza la ecuación, la transforma en forma cúbica deprimida, calcula p, q y el discriminante, luego selecciona el método correcto dependiendo del caso raíz.

Normalizar ecuación
Eliminar término cuadrático
Calcular discriminante
Método de clasificación

Parámetros lógicos

Forma normalizada
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Forma deprimida
t^3 + pt + q = 0
Desplazamiento (x = t - desplazamiento)

b/3a

Parámetros p, q

p, q

Discriminante (Delta)

(q/2)^2 + (p/3)^3

Desglose matemático paso a paso

01

Normalizar la ecuación

Divide toda la ecuación cúbica por el coeficiente principal a para obtener una ecuación mónica.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

Eliminar el término cuadrático

sustituto

x = t - b/(3a)
para eliminar el término cuadrático y desplazar el punto de inflexión al eje y.

sustituto: x = t - b/(3a)
03

Obtener el cúbico deprimido

La sustitución da como resultado una forma "deprimida" sin el término t^2.

t^3 + pt + q = 0
04

Calcular los parámetros p, q y Delta

Calcule los parámetros deprimidos y el discriminante que determina la naturaleza de la raíz.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

Elija el caso correcto

Identifique la naturaleza raíz según Delta: Delta > 0 (1 real, 2 complejos), Delta = 0 (real repetido) o Delta < 0 (3 reales distintos).

Observación avanzadaDelta > 0: Una raíz real, dos conjugadas complejas. Delta = 0: Múltiples raíces reales. Delta <0: tres raíces reales distintas.

06

Aplicar la fórmula de raíz coincidente

Utilice la fórmula de Cardano para el Caso 1, atajos de raíz repetidos para el Caso 2 o el método trigonométrico para el Caso 3.

Observación avanzadaSeleccionamos el algoritmo que proporciona la mayor precisión para el valor discriminante específico.

07

Convertir de t a x

Una vez que se encuentra t, invierta el desplazamiento de sustitución para encontrar las raíces finales x.

x = t - b/(3a)
08

Mostrar raíces finales y tipo

Verifique las raíces calculadas y confirme que

f(x) \\approx 0
para cada raíz.

f(x) \approx 0

Resumen de clasificación

D+
Caso 1: Delta > 0
1 real, 2 complejos

Una raíz real y dos raíces conjugadas complejas. Resuelto mediante las raíces cúbicas de Cardano.

D0
Caso 2A: Delta = 0, p = q = 0
3 reales iguales

El caso más raro en el que las tres raíces colapsan en un solo punto (el punto de inflexión).

R2
Caso 2B: Delta = 0 (p, q != 0)
1 Simple, 1 Doble

Una raíz real distinta y una raíz real repetida. La gráfica es tangente al eje x.

D-
Caso 3: Delta < 0
3 reales distintos

Tres raíces reales distintas. El método trigonométrico proporciona la solución más estable.

Algoritmos utilizados

La fórmula de Cardano

Usado para Delta > 0. Usa combinaciones de raíces cúbicas de números reales.

Forma trigonométrica

Se utiliza para Delta < 0. Evita el 'Casus Irreducibilis' mediante el uso de funciones coseno.

Ruta raíz repetida

Utilizado para Delta = 0. Simplifica el cálculo ya que u = v en la derivación de Cardano.

Método seleccionado automáticamente en función del discriminante.

Contexto algebraico

Dominando la derivación Cardano-Tartaglia

El principio fundamental es utilizar la sustitución.

x = u + v
convertir la cúbica a la cuadrática en términos de
u^3
 y
v^3
. Una vez encontrados, se desbloquean los valores de t y finalmente x.

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
Plantilla de ecuación genérica

Estructura cúbica general

Comience a partir de los coeficientes simbólicos a, b, cyd, luego derive la forma reducida y la rama raíz correspondiente.

Problema objetivo
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Valor de cambio
x = t - b/(3a)
Parámetro p
(3ac - b^2) / (3a^2)
Parámetro q
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
Delta discriminante
(q/2)^2 + (p/3)^3
Descripción general del patrón de raíz

El patrón de raíz final depende de Delta: positivo da una raíz real, cero da raíces reales repetidas y negativo da tres raíces reales distintas.

xx1
xx2
xx3