Cubic Equation Solver
Solucionador de ecuaciones cúbicas dedicado con raíces reales y complejas, pasos del método Cardano, gráficas cúbicas y ejemplos resueltos.
Proporcione coeficientes para verificar las relaciones de Vieta entre las raíces y los coeficientes de la ecuación.
Cálculo: Calculadora de las Fórmulas de Vieta
Calculadora de las Fórmulas de Vieta
Ingrese los coeficientes de su polinomio arriba y haga clic en "Aplicar fórmulas de Vieta" para ver los resultados.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
La prueba es una sola expansión. Escribir a(x − r₁)(x − r₂)(x − r₃) y multiplicar: el x² coeficiente recoge −a(r₁ + r₂ + r₃), el incógnita coeficiente recoge a(r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃), y el término constante es −ar₁r₂r₃. Emparejando contra ax³ + bx² + cx + d da las tres relaciones a la vez. Este argumento generaliza palabra por palabra hasta el grado norte, produciendo el patrón de signos alternos, los estudiantes se reencuentran con las cuárticas y más allá.
Las identidades de Newton extienden a Vieta desde sumas elementales hasta sumas de potencias. Con p₁ = r₁ + r₂ + r₃, p₂ = r₁² + r₂² + r₃², las identidades dan p₁ = −b/a y p₂ = (b/a)² − 2(c/a). Para raíces 1, 2, 3: p₂ = 1 + 4 + 9 = 14, y (−6)² − 2(11) = 36 − 22 = 14. Estos le permiten calcular expresiones simétricas como la suma de cuadrados directamente a partir de coeficientes, un elemento básico de los problemas de competencia que solicitan cantidades que nadie quiere calcular raíz por raíz.
Vieta runs backward as a construction tool. Want a cubic with roots summing to 0 and product 6? The relations give segundo = 0, re = −6 inmediatamente, y eligiendo las correcciones de suma por pares do. Así es como los libros de texto elaboran problemas "agradables" y cómo los ingenieros imponen restricciones: especifican las relaciones de raíz deseadas, leen los coeficientes requeridos. Nuestro herramienta de factorización luego confirma los factores de construcción según lo previsto.
Even the discriminante habla el idioma de Vieta: Δ = a⁴(r₁ − r₂)²(r₁ − r₃)²(r₂ − r₃)² es simétrico en las raíces, por lo que el teorema fundamental de los polinomios simétricos garantiza que se puede reescribir puramente en b, c, d. Esa reescritura es exactamente la fórmula de cinco términos. Las relaciones de Vieta son, pues, el diccionario que traduce entre el mundo de las raíces y el mundo de los coeficientes, siendo el discriminante su entrada más famosa.
François Viète publicó estas relaciones en 1591, antes de que existiera la notación algebraica moderna: las escribió en palabras. El significado más profundo surgió más tarde: los coeficientes son precisamente las expresiones polinomiales en las raíces que sobreviven a cada permutación de las raíces. La teoría de Galois parte de esta observación, preguntándose cuál no-Las expresiones simétricas sobreviven. alguno permutaciones. Las fórmulas de Vieta son la puerta de entrada de grado tres a una de las teorías más profundas de las matemáticas.
The Applications
El uso más común: verificar las raíces candidatas en segundos. Si tus tres números no suman −b/a, al menos uno está incorrecto y no es necesario realizar ninguna sustitución. Los profesores lo califican, los estudiantes lo autoverifican y el software lo utiliza como una afirmación barata después de la evaluación. calculadora de raíces cúbicas acabados.
A los problemas de las Olimpiadas les encanta pedir expresiones simétricas como r₁² + r₂² + r₃² o 1/r₁ + 1/r₂ + 1/r₃ sin dar las raíces. Las identidades de Vieta más Newton responden directamente a partir de los coeficientes. Conjuntos completos de problemas se basan en este truco.
¿Necesita un cubo con propiedades de raíz específicas, digamos raíces que sumen cero para un diseño centrado? Vieta convierte instantáneamente las especificaciones raíz en requisitos de coeficientes. Los ingenieros de control utilizan esto al colocar los postes del sistema para cumplir los objetivos de rendimiento.
En física, las sumas sobre valores propios suelen tener formas cerradas mediante relaciones estilo Vieta en polinomios característicos. Desde osciladores acoplados hasta modelos estrechamente vinculados, la suma de las raíces es frecuentemente el único agregado que necesita la teoría, legible directamente a partir de un coeficiente.
Los sistemas simbólicos utilizan relaciones de Vieta para simplificar expresiones en raíces sin calcular las raíces mismas. Las resultantes, los discriminantes y la teoría de la eliminación se basan en una maquinaria polinomial simétrica que comienza con estas tres fórmulas.
The Cautions
Errores de signo en −b/a y −d/a: El error número uno de Vieta. La suma es −b/a y el producto es −d/a, con los signos menos. Para x³ − 6x² + 11x − 6 la suma de raíces es +6, no −6. Memoriza el patrón −, +, −.
Olvidándose de dividir por un: Las relaciones necesitan los coeficientes mónicos normalizados. Para 2x³ − 12x² +…, la suma de raíces es −(−12)/2 = 6, no 12. Divide la ecuación por un primero o deja que la herramienta la normalice.
Mezclando c/a: The pairwise sum r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ equals +c/a, positive. Students often attach a minus by false analogy with the other two relations. Only the odd positions (sum, product) carry the minus.
Aplicando a no polinomios: Las fórmulas de Vieta son declaraciones sobre coeficientes polinómicos. No dicen nada sobre raíces de ecuaciones trascendentales como x³ = eˣ. Primero confirma que tienes un polinomio genuino.
Suponiendo raíces enteras: Las relaciones también tienen raíces irracionales y complejas. Un producto de 6 no fuerza raíces enteras: pruebe con 1, 2, 3 versus ∛2, ∛4/… estilo triples. Utilice las fórmulas como limitaciones, no como una promesa de amabilidad.
The Reference
The Collection
The Questions
Tres relaciones que vinculan los coeficientes de una cúbica con sus raíces: las raíces suman −b/a, sus productos por pares suman c/a y su producto es −d/a.
Porque expandir a(x − r₁)(x − r₂)(x − r₃) introduce un signo negativo con cada factor. Las relaciones de posición impar heredan el signo negativo; el par no.
Sí, después de dividir por el coeficiente principal a. Las relaciones se expresan con /a precisamente para que sean válidas para cada cúbica.
Las tres relaciones son tres ecuaciones con tres incógnitas, así que en principio sí, pero resolver ese sistema es en sí mismo difícil. En la práctica utilícelos para comprobar las raíces encontradas por el calculadora de raíces cúbicas o adivinado a través del teorema de la raíz racional.
François Viète (1540-1603), matemático francés que publicó las relaciones en 1591 y fue pionero en el álgebra simbólica, utilizando letras tanto para incógnitas como para parámetros.
Sí. Para el grado n hay n relaciones con signos alternos, cada una de las cuales es una suma simétrica elemental de las raíces. La caja cúbica es la más utilizada.
Absolutamente. Las relaciones son álgebra pura y se mantienen sin cambios para raíces complejas. Consulta ejemplos con nuestro complex roots calculator.
Suma tus tres raíces candidatas: la suma debe ser igual a −b/a. Esta suma detecta la mayoría de los errores aritméticos antes de que los sustituyas.
