أداة حل المعادلات التكعيبية المخصصة ذات الجذور الحقيقية والمعقدة وخطوات طريقة كاردانو والرسوم البيانية التكعيبية والأمثلة العملية.
حاسبة صيغ فييتا
أدخل معاملات متعدد الحدود أعلاه وانقر على "تطبيق صيغ فيتا" لرؤية النتائج.Vieta's formulas establish elegant relationships between the roots of a polynomial and its coefficients, without requiring you to solve the equation first. For a cubic ax³ + bx² + cx + d = 0 with roots r&sub1;, r&sub2;, r&sub3;, the formulas state: the sum of roots r&sub1;+r&sub2;+r&sub3; = −b/a, the sum of pairwise products r&sub1;r&sub2;+r&sub1;r&sub3;+r&sub2;r&sub3; = c/a, and the product of all roots r&sub1;r&sub2;r&sub3; = −d/a.
These formulas are named after François Viète (1540–1603), a French mathematician who pioneered using letters for unknowns. The formulas arise naturally from expanding the factored form a(x−r&sub1;)(x−r&sub2;)(x−r&sub3;) and comparing coefficients with the standard form. They work identically whether the roots are real or complex.
Vieta's formulas serve two critical purposes: error checking (verify that your computed roots are consistent with the original coefficients) and indirect computation (compute symmetric functions of the roots without knowing the roots individually). They are foundational in competition mathematics, abstract algebra, and numerical analysis.
After solving a cubic, check that the sum and product of your roots match −b/a and −d/a respectively.
Many olympiad problems ask about symmetric functions of roots without requiring you to find the roots explicitly.
Vieta's formulas help detect numerical instability — if computed roots don't satisfy the formulas, precision is lost.
The sum of roots is NEGATIVE b/a, and the product is NEGATIVE d/a. Missing these minus signs is extremely common.
All formulas require dividing by the leading coefficient a. If a ≠ 1, the raw coefficient is NOT the answer.
Vieta's formulas work identically for complex roots. The sum and product relationships hold universally.
| Sum of Roots | r&sub1;+r&sub2;+r&sub3; = −b/a |
| Pairwise Products | r&sub1;r&sub2;+r&sub1;r&sub3;+r&sub2;r&sub3; = c/a |
| Product of Roots | r&sub1;·r&sub2;·r&sub3; = −d/a |
| Named After | François Viète (1540–1603) |
| Works With | Both real and complex roots |
نعم! تنطبق قواعد فييتا بشكل مثالي حتى عندما تتضمن الجذور أرقامًا خيالية. الأجزاء المعقدة ببساطة تلغي بعضها البعض أثناء عملية الجمع.
لا، فهو يخبرك فقط بكيفية ارتباطهم ببعضهم البعض كمجموعة كاملة.
لأن صيغ فييتا تعتمد بطبيعتها على تطبيع كثير الحدود (جعل المعامل الرئيسي 1) أولاً.
يمكنك التحقق من أن مجموع الجذور يساوي -b/a، ومجموع المنتج الزوجي يساوي c/a، ومنتج جميع الجذور يساوي -d/a. إنها أداة قوية للتحقق من الأخطاء.
كان فرانسوا فييت عالم رياضيات فرنسيًا من القرن السادس عشر وكان رائدًا في استخدام الحروف لتمثيل المجهول. تظل صيغه التي تربط الجذور بالمعاملات حجر الزاوية في الجبر.
