ヴィエタの公式計算機
ヴィエタの公式計算機. 実根および複素根を備えた専用の三次方程式ソルバー、Cardano メソッドのステップ、三次グラフ作成、および実際の例。
ヴィエタの公式計算機
上に多項式係数を入力し、「ビエタの公式を適用する」をクリックして結果を表示します。什么是 ヴィエタの公式計算機?
- 簡単な説明:François Viète によって作成された数学的ショートカット。多項式の係数がその根の和と積をどのように厳密に定義するかを証明します。
- 3 次方程式で重要な理由:これは非常に強力な検証ツールとして機能します。方程式を解く場合、3 つの根を加算すると * 等しくなければなりません *-b/a。そうでない場合は、間違いがあったことになります。
公式 / 方法
- 立方根の公式r_1、r_2、r_3:* ルートの合計:r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{ある}* ペアごとの積和:r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = \frac{c}{ある}* 総製品:r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 = -\frac{d}{ある}
使い方
- 標準方程式の係数を入力します。a、b、c、d.
- 「Vieta プロパティの計算」をクリックします。
- ルート関係を示す 3 つの生成された出力を確認します。
- これらの事実を使用して、独自に手動で計算したルートを検証します。
主な特徴
- 明確にフォーマットされた堅牢性の高い出力。
- より深いアルゴリズムを呼び出すことなく即座に生成。
- 正確な分数の書式設定を保持して純粋な精度を実現します。
- 高度な幾何学的証明や物理制約解析に役立ちます。
例の概念
のために2x3 - 8x2 + 6x - 4 = 0: 根の合計 =-(-8) / 2 = 4。 ペアごとの合計 =6 / 2 = 3。 根の積 =-(-4) / 2 = 2.
対話型ディープダイブ
ビエタの公式の間に優雅な関係を確立するルーツ多項式とその係数最初に方程式を解く必要はありません。立方体の場合ax3 + bx2 + cx + d = 0根 r 1 、r 2 、r 3 を使用すると、式は次のようになります。根の和ｒ １ ＋ｒ ２ ＋ｒ ３ ； = −b/a、ペアごとの積の合計ｒ １ ｒ ２ ＋ｒ １ ｒ ３ ＋ｒ ２ ｒ ３ ； = c/a、およびすべての根の産物r 1 、r 2 、r 3 。 = −d/a。
これらの式の名前は次のとおりです。フランソワ・ビエテ（1540–1603）、未知のものに文字を使用する先駆者であるフランスの数学者。これらの公式は、因数分解形式a(x-r 1 )(x-r 2 )(x-r 3 )を展開し、係数を標準形式と比較することから自然に生成される。これらは、ルートが実数であっても複素数であっても同様に機能します。
Vieta の公式は 2 つの重要な目的を果たします。エラーチェック(計算された根が元の係数と一致していることを確認します)間接計算(ルートを個別に知ることなく、ルートの対称関数を計算します)。これらは競技数学、抽象代数、数値解析の基礎です。
視覚的図
根を三次関数の係数に接続する Vieta の 3 つの公式
実世界での応用
回答の検証
3 次を解いた後、根の和と積がそれぞれ -b/a と -d/a に一致することを確認します。
競技数学
オリンピックの問題の多くは、根を明示的に見つける必要がなく、根の対称関数について尋ねます。
数値解析
Vieta の公式は、数値の不安定性を検出するのに役立ちます。計算された根が公式を満たさない場合、精度が失われます。
避けるべきよくある間違い
1. マイナスのサインを忘れる
ルートの和は NEGATIVE b/a、積は NEGATIVE d/a です。これらのマイナス記号が欠けていることは非常に一般的です。
2. で割らない
すべての式では、先頭の係数 a で除算する必要があります。 a ≠ 1 の場合、生の係数は答えになりません。
3. 公式は実根に対してのみ機能すると仮定する
Vieta の公式は、複雑なルートに対しても同様に機能します。和と積の関係は普遍的に当てはまります。
クイックリファレンス表
| 根の和 | ｒ １ ＋ｒ ２ ＋ｒ ３ ； = −b/a |
| ペアワイズ製品 | ｒ １ ｒ ２ ＋ｒ １ ｒ ３ ＋ｒ ２ ｒ ３ ； = c/a |
| ルーツの産物 | ｒ １ ・ｒ ２ ・ｒ ３ ； = −d/a |
| 名前の由来 | フランソワ・ヴィエテ (1540–1603) |
| と連携 | 実根と複素根の両方 |
よくある質問
3 次方程式とその解法に関するよくある質問に対する簡単な回答を見つけてください。