Spezieller kubischer Gleichungslöser mit reellen und komplexen Wurzeln, Schritten der Cardano-Methode, kubischer Grafik und ausgearbeiteten Beispielen.
Vieta-Formel-Rechner
Geben Sie oben Ihre Polynomkoeffizienten ein und klicken Sie auf "Vieta-Formeln anwenden", um die Ergebnisse zu sehen.Vieta's formulas establish elegant relationships between the roots of a polynomial and its coefficients, without requiring you to solve the equation first. For a cubic ax³ + bx² + cx + d = 0 with roots r&sub1;, r&sub2;, r&sub3;, the formulas state: the sum of roots r&sub1;+r&sub2;+r&sub3; = −b/a, the sum of pairwise products r&sub1;r&sub2;+r&sub1;r&sub3;+r&sub2;r&sub3; = c/a, and the product of all roots r&sub1;r&sub2;r&sub3; = −d/a.
These formulas are named after François Viète (1540–1603), a French mathematician who pioneered using letters for unknowns. The formulas arise naturally from expanding the factored form a(x−r&sub1;)(x−r&sub2;)(x−r&sub3;) and comparing coefficients with the standard form. They work identically whether the roots are real or complex.
Vieta's formulas serve two critical purposes: error checking (verify that your computed roots are consistent with the original coefficients) and indirect computation (compute symmetric functions of the roots without knowing the roots individually). They are foundational in competition mathematics, abstract algebra, and numerical analysis.
After solving a cubic, check that the sum and product of your roots match −b/a and −d/a respectively.
Many olympiad problems ask about symmetric functions of roots without requiring you to find the roots explicitly.
Vieta's formulas help detect numerical instability — if computed roots don't satisfy the formulas, precision is lost.
The sum of roots is NEGATIVE b/a, and the product is NEGATIVE d/a. Missing these minus signs is extremely common.
All formulas require dividing by the leading coefficient a. If a ≠ 1, the raw coefficient is NOT the answer.
Vieta's formulas work identically for complex roots. The sum and product relationships hold universally.
| Sum of Roots | r&sub1;+r&sub2;+r&sub3; = −b/a |
| Pairwise Products | r&sub1;r&sub2;+r&sub1;r&sub3;+r&sub2;r&sub3; = c/a |
| Product of Roots | r&sub1;·r&sub2;·r&sub3; = −d/a |
| Named After | François Viète (1540–1603) |
| Works With | Both real and complex roots |
Ja! Die Regeln von Vieta gelten auch dann perfekt, wenn die Wurzeln imaginäre Zahlen beinhalten. Die komplexen Teile heben sich bei der Addition einfach gegenseitig auf.
Nein, es zeigt Ihnen nur, wie sie als Gesamtsatz zueinander in Beziehung stehen.
Weil Vietas Formeln von Natur aus darauf basieren, zuerst das Polynom zu normalisieren (wodurch der führende Koeffizient 1 wird).
Sie können überprüfen, dass die Summe der Wurzeln gleich -b/a ist, die paarweise Produktsumme gleich c/a ist und das Produkt aller Wurzeln gleich -d/a ist. Es ist ein leistungsstarkes Tool zur Fehlerprüfung.
François Viète war ein französischer Mathematiker des 16. Jahrhunderts, der Pionier der Verwendung von Buchstaben zur Darstellung von Unbekannten war. Seine Formeln, die Wurzeln mit Koeffizienten verbinden, bleiben ein Eckpfeiler der Algebra.
