Risolutore dedicato di equazioni cubiche con radici reali e complesse, passaggi del metodo Cardano, grafici cubici ed esempi pratici.
Calcolatore delle Formule di Vieta
Inserisci i coefficienti del tuo polinomio qui sopra e clicca su "Applica Formule di Vieta" per vedere i risultati.Vieta's formulas establish elegant relationships between the roots of a polynomial and its coefficients, without requiring you to solve the equation first. For a cubic ax³ + bx² + cx + d = 0 with roots r&sub1;, r&sub2;, r&sub3;, the formulas state: the sum of roots r&sub1;+r&sub2;+r&sub3; = −b/a, the sum of pairwise products r&sub1;r&sub2;+r&sub1;r&sub3;+r&sub2;r&sub3; = c/a, and the product of all roots r&sub1;r&sub2;r&sub3; = −d/a.
These formulas are named after François Viète (1540–1603), a French mathematician who pioneered using letters for unknowns. The formulas arise naturally from expanding the factored form a(x−r&sub1;)(x−r&sub2;)(x−r&sub3;) and comparing coefficients with the standard form. They work identically whether the roots are real or complex.
Vieta's formulas serve two critical purposes: error checking (verify that your computed roots are consistent with the original coefficients) and indirect computation (compute symmetric functions of the roots without knowing the roots individually). They are foundational in competition mathematics, abstract algebra, and numerical analysis.
After solving a cubic, check that the sum and product of your roots match −b/a and −d/a respectively.
Many olympiad problems ask about symmetric functions of roots without requiring you to find the roots explicitly.
Vieta's formulas help detect numerical instability — if computed roots don't satisfy the formulas, precision is lost.
The sum of roots is NEGATIVE b/a, and the product is NEGATIVE d/a. Missing these minus signs is extremely common.
All formulas require dividing by the leading coefficient a. If a ≠ 1, the raw coefficient is NOT the answer.
Vieta's formulas work identically for complex roots. The sum and product relationships hold universally.
| Sum of Roots | r&sub1;+r&sub2;+r&sub3; = −b/a |
| Pairwise Products | r&sub1;r&sub2;+r&sub1;r&sub3;+r&sub2;r&sub3; = c/a |
| Product of Roots | r&sub1;·r&sub2;·r&sub3; = −d/a |
| Named After | François Viète (1540–1603) |
| Works With | Both real and complex roots |
SÌ! Le regole della Vieta si applicano perfettamente anche quando le radici coinvolgono numeri immaginari. Le parti complesse semplicemente si annullano a vicenda durante l'addizione.
No, ti dice solo come si relazionano tra loro come un set completo.
Perché le formule di Vieta si basano intrinsecamente sulla normalizzazione prima del polinomio (rendendo il coefficiente principale 1).
Puoi verificare che la somma delle radici è uguale a -b/a, la somma del prodotto a coppie è uguale a c/a e il prodotto di tutte le radici è uguale a -d/a. È un potente strumento di controllo degli errori.
François Viète era un matematico francese del XVI secolo che fu pioniere nell'uso delle lettere per rappresentare le incognite. Le sue formule che collegano le radici ai coefficienti rimangono una pietra angolare dell'algebra.
