Cubic Equation Solver
Специализиран инструмент за решаване на кубични уравнения с реални и комплексни корени, стъпки на метода Cardano, кубични графики и работещи примери.
Осигурете коефициенти, за да проверите връзките на Vieta между корените и коефициентите на уравнението.
Изчисляване: Калкулаторът на формулите на Vieta
Калкулаторът на формулите на Vieta
Въведете вашите полиномни коефициенти по-горе и щракнете върху „Прилагайте формулите на Vieta“, за да видите резултатите.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
Доказателството е едно разширение. Пишете a(x − r₁)(x − r₂)(x − r₃) и умножете: the x² коефициент събира −a(r₁ + r₂ + r3), на х коефициент събира a(r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃), а постоянният член е −ar₁r₂r₃. Съпоставяне срещу ax³ + bx² + cx + d дава и трите отношения едновременно. Този аргумент обобщава дума по дума до степен п, произвеждайки шаблона с редуващи се знаци, учениците се срещат отново с квартици и отвъд тях.
Тъждествата на Нютон разширяват Vieta от елементарни суми до степенни суми. с p₁ = r1 + r2 + r3, p₂ = r₁² + r₂² + r3², идентичностите дават p₁ = −b/a и p₂ = (b/a)² − 2(c/a). За корени 1, 2, 3: p₂ = 1 + 4 + 9 = 14, и (−6)² − 2(11) = 36 − 22 = 14. Те ви позволяват да изчислявате симетрични изрази като сумата на квадратите директно от коефициенти, основна част от състезателните проблеми, изискващи количества, които никой не иска да изчислява корен по корен.
Vieta бяга назад като строителен инструмент. Искате кубична форма с корени, събиращи се до 0 и продукт 6? Отношенията дават b = 0, d = −6 незабавно и избирането на корекции на сумата по двойки c. Това е начинът, по който учебниците създават „хубави“ проблеми и как инженерите налагат ограничения: уточняват желаните коренни връзки, отчитат необходимите коефициенти. Нашите инструмент за факторизиране след това потвърждава строителните фактори, както е предвидено.
Even the дискриминант speaks Vieta's language: Δ = a⁴(r₁ − r₂)²(r₁ − r3)²(r₂ − r3)² е симетричен в корените, така че фундаменталната теорема за симетричните полиноми гарантира, че може да бъде пренаписан чисто в b, c, d. Това пренаписване е точно петчленната формула. Следователно отношенията на Vieta са речникът, превеждащ между света на корените и света на коефициентите, като дискриминантът е най-известният му запис.
Франсоа Виете публикува тези отношения през 1591 г., преди да съществува съвременната алгебрична нотация: той ги записва с думи. По-дълбокото значение се появи по-късно: коефициентите са точно полиномиалните изрази в корените, които оцеляват след всяка пермутация на корените. Теорията на Галоа започва от това наблюдение, питайки кое не-симетричните изрази оцеляват някои пермутации. Формулите на Vieta са врата от трета степен към една от най-дълбоките теории на математиката.
The Applications
Единствената най-често срещана употреба: проверка на кандидат корени за секунди. Ако сумата от трите ви числа не е −b/a, поне едното е грешно, не е необходимо заместване. Учителите оценяват с него, учениците се самопроверяват с него, а софтуерът го използва като евтино твърдение след калкулатор за кубични корени завършва.
Олимпиадните задачи обичат да изискват симетрични изрази като r₁² + r₂² + r3² или 1/r₁ + 1/r₂ + 1/r₃, без да дават корените. Виета плюс идентичностите на Нютон отговарят на тези директно от коефициентите. Цели набори от проблеми са изградени върху този трик.
Нуждаете се от куб със специфични коренни свойства, да речем корени, сумирани до нула за центриран дизайн? Vieta незабавно преобразува основните спецификации в изисквания за коефициент. Контролните инженери използват това, когато поставят стълбове на системата, за да постигнат целите за производителност.
Във физиката сумите върху собствените стойности често имат затворени форми чрез отношения в стила на Виета върху характеристични полиноми. От свързаните осцилатори до моделите със строга връзка, сумата от корените често е единствената съвкупност, от която се нуждае теорията, четлива направо от един коефициент.
Символните системи използват отношения на Vieta, за да опростят изрази в корени, без да изчисляват самите корени. Резултатите, дискриминантите и теорията за елиминиране работят на симетрично-полиномна машина, която започва с тези три формули.
The Cautions
Грешки в знака на −b/a и −d/a: Грешка номер едно на Vieta. Сборът е −b/a, а произведението е −d/a, със знаците минус. За x³ − 6x² + 11x − 6 коренната сума е +6, а не −6. Запомнете шаблона −, +, −.
Забравих да разделя на a: Отношенията се нуждаят от монично нормализирани коефициенти. За 2x³ − 12x² + … коренната сума е −(−12)/2 = 6, а не 12. Или разделете уравнението на първо, или оставете инструмента да го нормализира.
Смесване на c/a: Сборът по двойки r₁r₂ + r₁r3 + r₂r₃ е равен на +c/a, положително. Студентите често поставят минус чрез фалшива аналогия с другите две отношения. Само нечетните позиции (сума, произведение) носят минус.
Прилагане към неполиноми: Формулите на Vieta са твърдения за коефициентите на полиномите. Те не казват нищо за корени на трансцендентни уравнения като x³ = eˣ. Първо потвърдете, че имате истински полином.
Приемане на цели корени: The relations hold for irrational and complex roots too. A product of 6 does not force integer roots: try 1, 2, 3 versus ∛2, ∛4/… style triples. Use the formulas as constraints, not as a promise of niceness.
The Reference
The Collection
The Questions
Three relations linking a cubic's coefficients to its roots: the roots sum to −b/a, their pairwise products sum to c/a, and their product is −d/a.
Тъй като разширяването на a(x − r₁)(x − r₂)(x − r₃) въвежда минус с всеки фактор. Отношенията на нечетна позиция наследяват минуса; четният не го прави.
Да, след разделяне на водещия коефициент a. Отношенията са посочени с /a точно така, че важат за всеки куб.
Трите отношения са три уравнения с три неизвестни, така че по принцип да, но решаването на тази система само по себе си е трудно. На практика ги използвайте, за да проверите корените, открити от калкулатор за кубични корени или познати чрез теорема за рационален корен.
Франсоа Виете (1540–1603), френски математик, който публикува отношенията през 1591 г. и е пионер в символната алгебра, използвайки букви както за неизвестни, така и за параметри.
да За степен n има n отношения с редуващи се знаци, всяко от които е елементарен симетричен сбор от корените. Кубичният корпус е най-използваният.
Абсолютно. Отношенията са чиста алгебра и важат за комплексните корени непроменени. Проверете примери с нашите калкулатор за комплексни корени.
Добавете вашите три кандидат корена: сумата трябва да е равна на −b/a. Това едно допълнение улавя по-голямата част от аритметичните фишове, преди изобщо да замените обратно.
