Cubic Equation Solver WORKSPACE
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Solveur cubique dédié

Solveur d'équation cubique

Résolvez uniquement des équations cubiques. Trouvez des racines réelles et complexes, suivez les étapes basées sur Cardano et explorez le graphique cubique.

Entrez les coefficients cubiques

Entrez des valeurs pour ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

Aperçu du flux de travail

Entrée à gauche, résultat à droite, graphique en dessous des deux

Cela permet de simplifier le flux de travail de résolution principal : entrez les coefficients, examinez le cube résolu, puis confirmez le tout avec le graphique en dessous.

Entrez a, b, c et d dans le panneau de gauche.
Résolvez pour remplir le résumé des résultats à droite.
Utilisez le graphique pleine largeur ci-dessous pour confirmer le comportement cubique.

Graphique cubique

Aperçu du graphique en direct

Le graphique et le résumé de l'état sont placés côte à côte afin que la forme cubique reste associée à ses mesures en direct.

Le graphique reste à gauche afin que la courbe reste le principal point d'ancrage visuel tandis que les états à droite restent faciles à numériser.

États du graphique

Résumé en direct

De vraies interceptions X

Pas de véritables interceptions X

Interception Y

(0, 0)

Point d'inflexion

(0, 0)

Points tournants

Pas de max/min local

Exemples cubiques

FAQ sur le solveur cubique

Qu'est-ce qu'une équation cubique ?

Une équation cubique est un polynôme du troisième degré écrit sous forme cubique standard, où le coefficient dominant ne peut pas être nul.

Ce solveur peut-il montrer des racines complexes ?

Oui. Si l'équation a une racine réelle et une paire complexe-conjuguée, la section des résultats les montre clairement et les qualifie de complexes.

Pourquoi le coefficient est-il si important ?

Si a = 0, l'équation n'est plus cubique. L'interface utilisateur valide cela immédiatement et explique pourquoi le solveur ne peut pas continuer.

Que montre la section étape par étape ?

Il résume l'équation normalisée, la transformation cubique déprimée, le discriminant et l'interprétation finale afin que le solveur se sente plus transparent.
Méthode cubique générale

Comment fonctionne la résolution cubique

Cette section permet au solveur de se concentrer sur les équations cubiques : normalisez l'équation, réduisez-la au cube déprimé, classifiez le discriminant et appliquez la méthode cubique de correspondance.

Étape 1

Normaliser l'équation

Commencez par l’équation cubique générale, confirmez que le coefficient principal est différent de zéro et divisez chaque terme par a.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Étape 2

Supprimer le terme quadratique

Utilisez la substitution

x = t - b/(3a)
. Cela convertit le cube d'origine en cube déprimé
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
Étape 3

Calculer le discriminant

Le discriminant nous indique quel type de racines possède la cubique et quelle branche de la méthode utiliser.

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
Étape 4

Choisissez la coque correspondante

Une fois

Delta
est connu, nous utilisons la branche réelle de Cardano, le raccourci à racine répétée ou la forme trigonométrique.

Delta > 0 : 1 réel + 2 complexe Delta = 0 : racines réelles répétées Delta < 0 : 3 racines réelles distinctes

Tous les cas possibles

Le discriminant contrôle quelle branche de la méthode cubique s'applique.

Une racine réelle et deux racines conjuguées complexes

Cas 1 : Delta > 0

Calculez u et v à partir des expressions de racine cubique de Cardano, construisez les trois racines cubiques déprimées à partir de ces valeurs, puis reconvertissez-les avec le décalage habituel.

Triple vraie racine

Cas 2A : Delta = 0 et p = 0, q = 0

Le cube déprimé s'effondre en une seule valeur répétée, de sorte que les trois racines réelles coïncident après un recul.

Une racine réelle simple et une racine réelle double

Cas 2B : Delta = 0 mais p et q ne sont pas tous les deux nuls

Une seule valeur de racine cubique génère une racine réelle simple et une racine réelle répétée après le décalage inverse.

Trois vraies racines distinctes

Cas 3 : Delta < 0

Utilisez la forme trigonométrique pour exprimer les trois racines réelles à travers les angles cosinus, puis reconvertissez-les en x avec le décalage inverse.

Formule générale compacte

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

C'est la forme algébrique fermée. Quand

Delta < 0
, la version trigonométrique est généralement plus facile à utiliser en pratique.

Résumé du classement

Si Delta > 0, la cubique a 1 racine réelle et 2 racines complexes conjuguées.
Si Delta = 0 et p = q = 0, la cubique a 3 racines réelles égales.
Si Delta = 0 mais que p et q ne sont pas tous deux nuls, la cubique a 1 racine réelle simple et 1 racine réelle double.
Si Delta < 0, la cubique possède 3 racines réelles distinctes.

Modèle générique

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Gardez la calculatrice générique en partant de coefficients symboliques, puis dérivez p, q et Delta à partir de a, b, c et d.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

Après avoir calculé Delta, choisissez Cardano, le raccourci racine répétée ou la branche trigonométrique selon le signe de Delta.

Si Delta > 0 : une racine réelle et deux racines complexes Si Delta = 0 : racines réelles répétées Si Delta < 0 : trois racines réelles distinctes

Flux de travail générique : normaliser, remplacer x = t - b/(3a), calculer p, q et Delta, choisir la bonne branche, puis reconvertir de t en x.

Résumé prêt pour le site

Présentez la résolution cubique dans cet ordre : normalisez l'équation, remplacez

x = t - b/(3a)
, construire le cube déprimé
t^3 + pt + q = 0
, calculer p, q et
Delta
, choisissez le cas correct, appliquez la formule de racine correspondante, convertissez de t en x, puis affichez les racines finales avec leur type de racine.

Guide pédagogique

Comment résoudre un Équation cubique

Une explication complète étape par étape du processus de résolution cubique, y compris tous les cas racines possibles et les transformations mathématiques.

La méthodologie en plusieurs étapes

Le solveur normalise d'abord l'équation, la transforme sous forme cubique déprimée, calcule p, q et le discriminant, puis sélectionne la méthode correcte en fonction du cas racine.

Normaliser l'équation
Supprimer le terme quadratique
Calculer le discriminant
Méthode de classification

Paramètres logiques

Forme normalisée
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Forme déprimée
t^3 + pt + q = 0
Décalage (x = t - décalage)

b/3a

Paramètres p, q

p, q

Discriminant (Delta)

(q/2)^2 + (p/3)^3

Répartition mathématique étape par étape

01

Normaliser l'équation

Divisez l'équation cubique entière par le coefficient principal a pour obtenir une équation monique.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

Supprimer le terme quadratique

Remplacer

x = t - b/(3a)
pour éliminer le terme quadratique et déplacer le point d’inflexion vers l’axe y.

Remplacer: x = t - b/(3a)
03

Obtenez le cube déprimé

La substitution donne une forme « déprimée » sans le terme t^2.

t^3 + pt + q = 0
04

Paramètres de calcul p, q et Delta

Calculer les paramètres déprimés et le discriminant qui détermine la nature de la racine.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

Choisissez le bon cas

Identifiez la nature de la racine en fonction de Delta : Delta > 0 (1 réel, 2 complexes), Delta = 0 (réel répété) ou Delta < 0 (3 réels distincts).

Observation avancéeDelta > 0 : Une racine réelle, deux conjugués complexes. Delta = 0 : Plusieurs racines réelles. Delta < 0 : Trois racines réelles distinctes.

06

Appliquer la formule de racine correspondante

Utilisez la formule de Cardano pour le cas 1, les raccourcis racine répétés pour le cas 2 ou la méthode trigonométrique pour le cas 3.

Observation avancéeNous sélectionnons l'algorithme qui fournit la plus haute précision pour la valeur discriminante spécifique.

07

Convertir de t en x

Une fois t trouvé, inversez le décalage de substitution pour trouver les racines finales x.

x = t - b/(3a)
08

Afficher les racines finales et le type

Vérifiez les racines calculées et confirmez que

f(x) \\approx 0
pour chaque racine.

f(x) \approx 0

Résumé du classement

D+
Cas 1 : Delta > 0
1 Réel, 2 Complexe

Une racine réelle et deux racines conjuguées complexes. Résolu via les racines cubiques de Cardano.

D0
Cas 2A : Delta = 0, p = q = 0
3 Égal réel

Le cas le plus rare où les trois racines s'effondrent en un seul point (le point d'inflexion).

R2
Cas 2B : Delta = 0 (p, q != 0)
1 Simple, 1 Double

Une racine réelle distincte et une racine réelle répétée. Le graphique est tangent à l'axe des x.

D-
Cas 3 : Delta < 0
3 Réel distinct

Trois vraies racines distinctes. La méthode trigonométrique fournit la solution la plus stable.

Algorithmes utilisés

La formule de Cardano

Utilisé pour Delta > 0. Utilise des combinaisons de racines cubiques de nombres réels.

Forme trigonométrique

Utilisé pour Delta < 0. Évite le « Casus Irreducibilis » en utilisant des fonctions cosinus.

Chemin racine répété

Utilisé pour Delta = 0. Simplifie le calcul puisque u = v dans la dérivation de Cardano.

Méthode sélectionnée automatiquement en fonction du discriminant.

Contexte algébrique

Maîtriser la dérivation Cardano-Tartaglia

Le principe fondamental est d'utiliser la substitution

x = u + v
convertir le cubique en quadratique en termes de
u^3
 et
v^3
. Une fois celles-ci trouvées, les valeurs de t et enfin de x sont déverrouillées.

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
Modèle d'équation générique

Structure cubique générale

Partez des coefficients symboliques a, b, c et d, puis dérivez la forme réduite et la branche racine correspondante.

Problème cible
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Valeur de décalage
x = t - b/(3a)
Paramètre p
(3ac - b^2) / (3a^2)
Paramètre q
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
Delta discriminant
(q/2)^2 + (p/3)^3
Présentation du modèle racine

Le modèle de racine final dépend de Delta : positif donne une racine réelle, zéro donne des racines réelles répétées et négatif donne trois racines réelles distinctes.

xx1
xx2
xx3