Cubic Equation Solver WORKSPACE
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Spezieller kubischer Löser

Kubischer Gleichungslöser

Lösen Sie nur kubische Gleichungen. Finden Sie reale und komplexe Wurzeln, befolgen Sie Cardano-basierte Schritte und erkunden Sie den kubischen Graphen.

Geben Sie kubische Koeffizienten ein

Geben Sie Werte für ein ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

Workflow-Vorschau

Eingabe links, Ergebnis rechts, Grafik darunter

Dadurch bleibt der primäre Lösungsarbeitsablauf übersichtlich: Geben Sie Koeffizienten ein, überprüfen Sie die gelöste kubische Lösung und bestätigen Sie dann alles mit der Grafik darunter.

Geben Sie a, b, c und d in das linke Feld ein.
Lösen Sie die Lösung, um die Ergebniszusammenfassung auf der rechten Seite auszufüllen.
Verwenden Sie das Diagramm in voller Breite unten, um das kubische Verhalten zu bestätigen.

Kubischer Graph

Live-Grafikvorschau

Das Diagramm und die Statuszusammenfassung liegen nebeneinander, sodass die kubische Form mit den Live-Messungen übereinstimmt.

Das Diagramm bleibt auf der linken Seite, sodass die Kurve der primäre visuelle Anker bleibt, während die Zustände auf der rechten Seite leicht zu scannen bleiben.

Diagrammzustände

Live-Zusammenfassung

Echte x-Achsenabschnitte

Keine echten x-Achsenabschnitte

Y-Achsenabschnitt

(0, 0)

Wendepunkt

(0, 0)

Wendepunkte

Kein lokales Maximum/Min

Kubische Beispiele

Häufig gestellte Fragen zum kubischen Löser

Was ist eine kubische Gleichung?

Eine kubische Gleichung ist ein Polynom dritten Grades in kubischer Standardform, bei dem der führende Koeffizient nicht Null sein kann.

Kann dieser Löser komplexe Wurzeln anzeigen?

Ja. Wenn die Gleichung eine reelle Wurzel und ein komplex-konjugiertes Paar hat, werden diese im Ergebnisbereich deutlich angezeigt und als komplex gekennzeichnet.

Warum ist der Koeffizient so wichtig?

Wenn a = 0, ist die Gleichung nicht mehr kubisch. Die Benutzeroberfläche validiert dies sofort und erklärt, warum der Solver nicht fortfahren kann.

Was zeigt der Schritt-für-Schritt-Abschnitt?

Es fasst die normalisierte Gleichung, die unterdrückte kubische Transformation, die Diskriminante und die endgültige Interpretation zusammen, sodass der Löser transparenter wirkt.
Allgemeine kubische Methode

So funktioniert das kubische Lösen

In diesem Abschnitt konzentriert sich der Löser auf kubische Gleichungen: Normalisieren Sie die Gleichung, reduzieren Sie sie auf die deprimierte kubische Gleichung, klassifizieren Sie die Diskriminante und wenden Sie die Matching-Cubic-Methode an.

Schritt 1

Normalisieren Sie die Gleichung

Beginnen Sie mit der allgemeinen kubischen Gleichung, stellen Sie sicher, dass der führende Koeffizient ungleich Null ist, und dividieren Sie jeden Term durch a.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Schritt 2

Entfernen Sie den quadratischen Term

Verwenden Sie die Substitution

x = t - b/(3a)
. Dadurch wird die ursprüngliche Kubikzahl in die vertiefte Kubikzahl umgewandelt
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
Schritt 3

Berechnen Sie die Diskriminante

Die Diskriminante sagt uns, welche Art von Wurzeln die Kubik hat und welchen Zweig der Methode wir verwenden sollen.

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
Schritt 4

Wählen Sie die passende Hülle

Einmal

Delta
bekannt ist, verwenden wir den reellen Zweig von Cardano, die Abkürzung für wiederholte Wurzeln oder die trigonometrische Form.

Delta > 0: 1 reell + 2 komplex Delta = 0: wiederholte echte Wurzeln Delta < 0: 3 verschiedene reale Wurzeln

Jeder mögliche Fall

Die Diskriminante steuert, welcher Zweig der kubischen Methode angewendet wird.

Eine echte Wurzel und zwei komplex konjugierte Wurzeln

Fall 1: Delta > 0

Berechnen Sie u und v aus Cardanos Kubikwurzelausdrücken, bilden Sie die drei deprimierten Kubikwurzeln aus diesen Werten und konvertieren Sie sie dann mit der üblichen Verschiebung zurück.

Dreifache echte Wurzel

Fall 2A: Delta = 0 und p = 0, q = 0

Der deprimierte Kubikwert fällt auf einen einzigen wiederholten Wert zusammen, sodass alle drei reellen Wurzeln nach der Rückverschiebung zusammenfallen.

Eine einfache reelle Wurzel und eine doppelte reelle Wurzel

Fall 2B: Delta = 0, aber p und q sind nicht beide Null

Ein einzelner Kubikwurzelwert erzeugt nach der Umkehrverschiebung eine einfache reelle Wurzel und eine wiederholte reelle Wurzel.

Drei verschiedene echte Wurzeln

Fall 3: Delta < 0

Verwenden Sie die trigonometrische Form, um die drei reellen Wurzeln durch Kosinuswinkel auszudrücken, und wandeln Sie sie dann mit der umgekehrten Verschiebung zurück in x um.

Kompakte allgemeine Formel

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

Dies ist die algebraische geschlossene Form. Wann

Delta < 0
, Die trigonometrische Version ist in der Praxis meist einfacher anzuwenden.

Klassifizierungszusammenfassung

Wenn Delta > 0, hat die Kubik eine reelle Wurzel und zwei komplex konjugierte Wurzeln.
Wenn Delta = 0 und p = q = 0, hat die Kubik drei gleiche reelle Wurzeln.
Wenn Delta = 0, aber p und q nicht beide Null sind, hat die Kubik eine einfache reelle Wurzel und eine doppelte reelle Wurzel.
Wenn Delta < 0, hat die Kubik drei verschiedene reelle Wurzeln.

Generische Vorlage

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Halten Sie den Rechner generisch, indem Sie mit symbolischen Koeffizienten beginnen und dann p, q und Delta aus a, b, c und d ableiten.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

Nachdem Sie Delta berechnet haben, wählen Sie je nach Vorzeichen von Delta Cardano, die Abkürzung für wiederholte Wurzeln oder den trigonometrischen Zweig.

Wenn Delta > 0: eine reelle und zwei komplexe Wurzeln Wenn Delta = 0: wiederholte echte Wurzeln Wenn Delta < 0: drei verschiedene reelle Wurzeln

Allgemeiner Arbeitsablauf: normalisieren, x = t - b/(3a) ersetzen, p, q und Delta berechnen, den richtigen Zweig auswählen und dann von t in x zurückkonvertieren.

Site-Ready-Zusammenfassung

Präsentieren Sie die kubische Lösung in dieser Reihenfolge: Gleichung normalisieren, ersetzen

x = t - b/(3a)
, Baue den vertieften Würfel
t^3 + pt + q = 0
, Berechnen Sie p, q und
Delta
, Wählen Sie den richtigen Fall, wenden Sie die passende Wurzelformel an, konvertieren Sie von t zurück in x und zeigen Sie dann die endgültigen Wurzeln mit ihrem Wurzeltyp an.

Bildungsführer

So lösen Sie ein Kubische Gleichung

Eine vollständige Schritt-für-Schritt-Erklärung des kubischen Lösungsprozesses, einschließlich aller möglichen Wurzelfälle und mathematischen Transformationen.

Die mehrstufige Methodik

Der Löser normalisiert zunächst die Gleichung, wandelt sie in eine deprimierte kubische Form um, berechnet p, q und die Diskriminante und wählt dann abhängig vom Wurzelfall die richtige Methode aus.

Gleichung normalisieren
Quadratischen Term entfernen
Berechnen Sie die Diskriminante
Klassifizierungsmethode

Logikparameter

Normalisierte Form
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Deprimierte Form
t^3 + pt + q = 0
Verschiebung (x = t - Verschiebung)

b/3a

Parameter p, q

p, q

Diskriminante (Delta)

(q/2)^2 + (p/3)^3

Schrittweise mathematische Aufschlüsselung

01

Normalisieren Sie die Gleichung

Teilen Sie die gesamte kubische Gleichung durch den führenden Koeffizienten a, um eine monische Gleichung zu erhalten.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

Entfernen Sie den quadratischen Term

Ersatz

x = t - b/(3a)
um den quadratischen Term zu eliminieren und den Wendepunkt auf die y-Achse zu verschieben.

Ersatz: x = t - b/(3a)
03

Holen Sie sich den deprimierten Kubik

Die Substitution führt zu einer „vertieften“ Form ohne den t^2-Term.

t^3 + pt + q = 0
04

Berechnen Sie die Parameter p, q und Delta

Berechnen Sie die deprimierten Parameter und die Diskriminante, die die Wurzelnatur bestimmt.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

Wählen Sie den richtigen Fall

Identifizieren Sie die Wurzelnatur anhand von Delta: Delta > 0 (1 reeller Wert, 2 komplex), Delta = 0 (wiederholter reeller Wert) oder Delta < 0 (3 verschiedene reeller Wert).

Erweiterte BeobachtungDelta > 0: Eine reelle Wurzel, zwei komplexe Konjugate. Delta = 0: Mehrere reelle Wurzeln. Delta < 0: Drei verschiedene reelle Wurzeln.

06

Wenden Sie die passende Wurzelformel an

Verwenden Sie Cardanos Formel für Fall 1, wiederholte Stammkürzel für Fall 2 oder die trigonometrische Methode für Fall 3.

Erweiterte BeobachtungWir wählen den Algorithmus aus, der für den spezifischen Diskriminanzwert die höchste Präzision bietet.

07

Konvertieren Sie von t zurück in x

Sobald t gefunden ist, kehren Sie die Substitutionsverschiebung um, um die endgültigen Wurzeln x zu finden.

x = t - b/(3a)
08

Endgültige Wurzeln und Typ anzeigen

Überprüfen Sie die berechneten Wurzeln und bestätigen Sie dies

f(x) \\approx 0
für jede Wurzel.

f(x) \approx 0

Klassifizierungszusammenfassung

D+
Fall 1: Delta > 0
1 real, 2 komplex

Eine echte Wurzel und zwei komplex konjugierte Wurzeln. Gelöst über Cardanos Kubikwurzeln.

D0
Fall 2A: Delta = 0, p = q = 0
3 gleich real

Der seltenste Fall ist, dass alle drei Wurzeln in einem einzigen Punkt (dem Wendepunkt) zusammenfallen.

R2
Fall 2B: Delta = 0 (p, q != 0)
1 Einfach, 1 Doppelzimmer

Eine eindeutige echte Wurzel und eine wiederholte echte Wurzel. Der Graph verläuft tangential zur x-Achse.

D-
Fall 3: Delta < 0
3 Ausgeprägtes Reales

Drei verschiedene echte Wurzeln. Die trigonometrische Methode bietet die stabilste Lösung.

Verwendete Algorithmen

Cardanos Formel

Wird für Delta > 0 verwendet. Verwendet Kombinationen von Kubikwurzeln reeller Zahlen.

Trigonometrische Form

Wird für Delta < 0 verwendet. Vermeidet „Casus Irreducibilis“ durch Verwendung von Kosinusfunktionen.

Wiederholter Root-Pfad

Wird für Delta = 0 verwendet. Vereinfacht die Berechnung als u = v in der Cardano-Ableitung.

Automatisch ausgewählte Methode basierend auf der Diskriminante.

Algebraischer Kontext

Beherrschung der Cardano-Tartaglia-Ableitung

Das Grundprinzip ist die Verwendung der Substitution

x = u + v
um das Kubische in ein Quadratisches umzuwandeln
u^3
 und
v^3
. Sobald diese gefunden sind, werden die Werte für t und schließlich x freigeschaltet.

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
Generische Gleichungsvorlage

Allgemeine kubische Struktur

Beginnen Sie mit den symbolischen Koeffizienten a, b, c und d und leiten Sie dann die reduzierte Form und den passenden Wurzelzweig ab.

Zielproblem
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Wert verschieben
x = t - b/(3a)
Parameter S
(3ac - b^2) / (3a^2)
Parameter q
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
Diskriminantes Delta
(q/2)^2 + (p/3)^3
Übersicht über Wurzelmuster

Das endgültige Wurzelmuster hängt von Delta ab: Positiv ergibt eine reelle Wurzel, Null ergibt wiederholte reelle Wurzeln und negativ ergibt drei verschiedene reelle Wurzeln.

xx1
xx2
xx3