Spezieller kubischer Gleichungslöser mit reellen und komplexen Wurzeln, Schritten der Cardano-Methode, kubischer Grafik und ausgearbeiteten Beispielen.
Restsatz-Rechner
Geben Sie oben Ihre Polynomkoeffizienten ein und klicken Sie auf "f(c) auswerten", um die Ergebnisse zu sehen.The Remainder Theorem states that when a polynomial f(x) is divided by a linear divisor (x − c), the remainder is exactly f(c). This means you can evaluate any polynomial at any point simply by performing synthetic division — the last number in the bottom row equals f(c).
The Factor Theorem is a direct corollary: if f(c) = 0, then (x − c) is a factor of f(x). These two theorems together provide a powerful bridge between evaluation and factoring. Instead of plugging in values manually (which involves large exponents), synthetic division gives the same answer with simpler arithmetic.
For cubic equations, the Remainder Theorem is especially useful for root verification. After finding candidate roots via the Rational Root Theorem, you can quickly confirm which ones are actual roots by checking whether f(c) = 0. This is faster and less error-prone than direct substitution, particularly for large coefficients.
Evaluate f(c) for any value c without computing large powers directly — synthetic division handles it cleanly.
After finding candidate roots, the Remainder Theorem instantly confirms which candidates are actual roots.
The theorem beautifully connects the concepts of division, evaluation, and factoring into one unified framework.
When dividing by (x+3), the evaluation point is c = −3, not c = 3. The theorem uses (x MINUS c).
The Remainder Theorem is not limited to cubics. It works for polynomials of any degree.
The remainder from division equals f(c). Don't confuse the quotient (a polynomial) with the remainder (a number).
| Theorem | f(x) ÷ (x−c) has remainder f(c) |
| Factor Test | f(c) = 0 means (x−c) is a factor |
| Method | Use synthetic division for efficiency |
| Works For | Polynomials of any degree |
| Key Benefit | Avoids computing large powers directly |
Durch die synthetische Division erhalten Sie den verbleibenden quadratischen Quotienten *und* den Rest. Dieses Tool umgeht den Quotienten und gibt Ihnen lediglich den Rest aus.
Ja! Der Rest<span class="font-mono text-primary-700 bg-primary-50 px-1 rounded">R</span>ist buchstäblich das<span class="font-mono text-primary-700 bg-primary-50 px-1 rounded">j</span>-Koordinate im Diagramm wann<span class="font-mono text-primary-700 bg-primary-50 px-1 rounded">x = c</span>.
Glückwunsch! Sie haben mit dem Faktorsatz eine Wurzel der Gleichung gefunden.
Der Faktorsatz ist ein Sonderfall des Restsatzes. Wenn der Rest f(c) = 0 ist, dann ist (x - c) ein Faktor des Polynoms.
Ja, der Restsatz funktioniert für Polynome jeden Grades, nicht nur für kubische Polynome. Es ist ein universelles Werkzeug zur Auswertung von Polynomwerten.
