Cubic Equation Solver WORKSPACE
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Solucionador Cúbico Dedicado

Solucionador de equações cúbicas

Resolva apenas equações cúbicas. Encontre raízes reais e complexas, siga as etapas baseadas em Cardano e explore o gráfico cúbico.

Insira coeficientes cúbicos

Insira valores para ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

Visualização do fluxo de trabalho

Entrada à esquerda, resultado à direita, gráfico abaixo de ambos

Isso mantém o fluxo de trabalho de resolução principal fácil de digitalizar: insira coeficientes, revise a cúbica resolvida e confirme tudo com o gráfico abaixo.

Insira a, b, c e d no painel esquerdo.
Resolva para preencher o resumo dos resultados à direita.
Use o gráfico de largura total abaixo para confirmar o comportamento cúbico.

Gráfico Cúbico

Pré-visualização do gráfico ao vivo

O gráfico e o resumo do estado ficam lado a lado para que a forma cúbica permaneça emparelhada com suas medições em tempo real.

O gráfico permanece à esquerda, de modo que a curva permanece a principal âncora visual, enquanto os estados à direita permanecem fáceis de digitalizar.

Estados do gráfico

Resumo ao vivo

Interceptações x reais

Sem interceptações x reais

Interceptação Y

(0, 0)

Ponto de inflexão

(0, 0)

Pontos de viragem

Sem máximo/mínimo local

Exemplos Cúbicos

Perguntas frequentes sobre o solucionador cúbico

O que é uma equação cúbica?

Uma equação cúbica é um polinômio de terceiro grau escrito na forma cúbica padrão, onde o coeficiente líder não pode ser zero.

Este solucionador pode mostrar raízes complexas?

Sim. Se a equação tiver uma raiz real e um par complexo-conjugado, a seção de resultados os mostra claramente e os rotula como complexos.

Por que o coeficiente é tão importante?

Se a = 0, a equação não é mais cúbica. A IU valida isso imediatamente e explica por que o solucionador não pode prosseguir.

O que mostra a seção passo a passo?

Ele resume a equação normalizada, a transformação cúbica reprimida, o discriminante e a interpretação final para que o solucionador pareça mais transparente.
Método Cúbico Geral

Como funciona a resolução cúbica

Esta seção mantém o solucionador focado em equações cúbicas: normalize a equação, reduza-a para cúbica deprimida, classifique o discriminante e aplique o método cúbico de correspondência.

Passo 1

Normalize a equação

Comece com a equação cúbica geral, confirme que o coeficiente principal é diferente de zero e divida cada termo por a.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Etapa 2

Remova o termo quadrático

Use a substituição

x = t - b/(3a)
. Isso converte a cúbica original na cúbica deprimida
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
Etapa 3

Calcule o discriminante

O discriminante nos diz que tipo de raízes a cúbica possui e qual ramo do método usar.

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
Etapa 4

Escolha o caso correspondente

Uma vez

Delta
é conhecido, usamos o ramo real de Cardano, o atalho de raiz repetida ou a forma trigonométrica.

Delta > 0: 1 real + 2 complexos Delta = 0: raízes reais repetidas Delta <0: 3 raízes reais distintas

Cada caso possível

O discriminante controla qual ramo do método cúbico se aplica.

Uma raiz real e duas raízes conjugadas complexas

Caso 1: Delta > 0

Calcule uev a partir das expressões de raiz cúbica de Cardano, construa as três raízes cúbicas deprimidas a partir desses valores e, em seguida, converta novamente com o deslocamento usual.

Raiz real tripla

Caso 2A: Delta = 0 e p = 0, q = 0

A cúbica deprimida colapsa para um único valor repetido, de modo que todas as três raízes reais coincidem após o retrocesso.

Uma raiz real simples e uma raiz real dupla

Caso 2B: Delta = 0, mas p e q não são ambos zero

Um único valor de raiz cúbica gera uma raiz real simples e uma raiz real repetida após o deslocamento inverso.

Três raízes reais distintas

Caso 3: Delta <0

Use a forma trigonométrica para expressar as três raízes reais através dos ângulos cossenos e, em seguida, converta-as novamente para x com o deslocamento inverso.

Fórmula Geral Compacta

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

Esta é a forma algébrica fechada. Quando

Delta < 0
, a versão trigonométrica geralmente é mais fácil de usar na prática.

Resumo da classificação

Se Delta > 0, a cúbica tem 1 raiz real e 2 raízes conjugadas complexas.
Se Delta = 0 e p = q = 0, a cúbica tem 3 raízes reais iguais.
Se Delta = 0, mas p e q não forem ambos zero, a cúbica terá 1 raiz real simples e 1 raiz real dupla.
Se Delta <0, a cúbica tem 3 raízes reais distintas.

Modelo genérico

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Mantenha a calculadora genérica começando com coeficientes simbólicos e, em seguida, derive p, q e Delta de a, b, c e d.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

Após calcular Delta, escolha Cardano, o atalho de raiz repetida, ou o ramo trigonométrico dependendo do sinal de Delta.

Se Delta > 0: uma raiz real e duas raízes complexas Se Delta = 0: raízes reais repetidas Se Delta <0: três raízes reais distintas

Fluxo de trabalho genérico: normalize, substitua x = t - b/(3a), calcule p, q e Delta, escolha a ramificação correta e converta novamente de t para x.

Resumo pronto para o site

Apresente a resolução cúbica nesta ordem: normalize a equação, substitua

x = t - b/(3a)
, construir a cúbica deprimida
t^3 + pt + q = 0
, calcular p, q e
Delta
, escolha o caso correto, aplique a fórmula de raiz correspondente, converta de t novamente para x e mostre as raízes finais com seu tipo de raiz.

Guia Educacional

Como resolver um Equação Cúbica

Uma explicação passo a passo completa do processo de resolução cúbica, incluindo todos os possíveis casos de raízes e transformações matemáticas.

A Metodologia Multi-Estágios

O solucionador primeiro normaliza a equação, transforma-a na forma cúbica deprimida, calcula p, q e o discriminante e, em seguida, seleciona o método correto dependendo do caso raiz.

Normalizar Equação
Remover termo quadrático
Discriminante de computação
Método de classificação

Parâmetros Lógicos

Formulário Normalizado
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Forma Deprimida
t^3 + pt + q = 0
Mudança (x = t - mudança)

b/3a

Parâmetros p, q

p, q

Discriminante (Delta)

(q/2)^2 + (p/3)^3

Análise matemática passo a passo

01

Normalize a equação

Divida toda a equação cúbica pelo coeficiente líder a para obter uma equação mônica.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

Remova o termo quadrático

Substituto

x = t - b/(3a)
para eliminar o termo quadrático e deslocar o ponto de inflexão para o eixo y.

Substituto: x = t - b/(3a)
03

Obtenha o cúbico deprimido

A substituição resulta em uma forma 'deprimida' sem o termo t^2.

t^3 + pt + q = 0
04

Calcular parâmetros p, q e Delta

Calcule os parâmetros deprimidos e o discriminante que determina a natureza da raiz.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

Escolha o caso correto

Identifique a natureza da raiz com base no Delta: Delta > 0 (1 real, 2 complexos), Delta = 0 (real repetido) ou Delta < 0 (3 reais distintos).

Observação AvançadaDelta > 0: Uma raiz real, dois conjugados complexos. Delta = 0: Múltiplas raízes reais. Delta <0: Três raízes reais distintas.

06

Aplique a fórmula raiz correspondente

Use a fórmula de Cardano para o Caso 1, atalhos de raiz repetidos para o Caso 2 ou o método trigonométrico para o Caso 3.

Observação AvançadaSelecionamos o algoritmo que fornece a maior precisão para o valor discriminante específico.

07

Converter de t de volta para x

Uma vez encontrado t, inverta o deslocamento de substituição para encontrar as raízes finais x.

x = t - b/(3a)
08

Mostrar raízes finais e tipo

Verifique as raízes calculadas e confirme que

f(x) \\approx 0
para cada raiz.

f(x) \approx 0

Resumo da classificação

D+
Caso 1: Delta > 0
1 Real, 2 Complexo

Uma raiz real e duas raízes conjugadas complexas. Resolvido através das raízes cúbicas de Cardano.

D0
Caso 2A: Delta = 0, p = q = 0
3 reais iguais

O caso mais raro em que todas as três raízes colapsam em um único ponto (o ponto de inflexão).

R2
Caso 2B: Delta = 0 (p, q! = 0)
1 Simples, 1 Duplo

Uma raiz real distinta e uma raiz real repetida. O gráfico é tangente ao eixo x.

D-
Caso 3: Delta <0
3 Real Distinto

Três raízes reais distintas. O método trigonométrico fornece a solução mais estável.

Algoritmos usados

Fórmula de Cardano

Usado para Delta > 0. Usa combinações de raízes cúbicas de números reais.

Forma trigonométrica

Usado para Delta <0. Evita 'Casus Irreducibilis' usando funções cosseno.

Caminho raiz repetido

Usado para Delta = 0. Simplifica o cálculo como u = v na derivação de Cardano.

Método selecionado automaticamente com base no discriminante.

Contexto Algébrico

Dominando a Derivação Cardano-Tartaglia

O princípio fundamental é usar a substituição

x = u + v
para converter o cúbico em quadrático em termos de
u^3
 e
v^3
. Uma vez encontrados, os valores de t e finalmente x são desbloqueados.

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
Modelo de equação genérica

Estrutura Cúbica Geral

Comece com os coeficientes simbólicos a, b, c e d e, em seguida, derive a forma reduzida e o ramo raiz correspondente.

Problema alvo
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Valor de mudança
x = t - b/(3a)
Parâmetro p
(3ac - b^2) / (3a^2)
Parâmetro q
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
Delta Discriminante
(q/2)^2 + (p/3)^3
Visão geral do padrão raiz

O padrão de raiz final depende de Delta: positivo fornece uma raiz real, zero fornece raízes reais repetidas e negativo fornece três raízes reais distintas.

xx1
xx2
xx3