Cubic Equation Solver WORKSPACE
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समर्पित क्यूबिक सॉल्वर

घन समीकरण सॉल्वर

घन समीकरणों को ही हल करें। वास्तविक और जटिल जड़ें ढूंढें, कार्डानो-आधारित चरणों का पालन करें और घन ग्राफ़ का पता लगाएं।

घन गुणांक दर्ज करें

के लिए मान दर्ज करें ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

वर्कफ़्लो पूर्वावलोकन

बाईं ओर इनपुट, दाईं ओर परिणाम, दोनों के नीचे ग्राफ़

इससे प्राथमिक समाधान वर्कफ़्लो को स्कैन करना आसान रहता है: गुणांक दर्ज करें, हल किए गए क्यूबिक की समीक्षा करें, फिर नीचे दिए गए ग्राफ़ के साथ सब कुछ की पुष्टि करें।

बाएं पैनल में ए, बी, सी और डी दर्ज करें।
दाईं ओर परिणाम सारांश भरने के लिए हल करें।
घन व्यवहार की पुष्टि के लिए नीचे पूर्ण-चौड़ाई वाले ग्राफ़ का उपयोग करें।

घन ग्राफ

लाइव ग्राफ़ पूर्वावलोकन

ग्राफ़ और राज्य सारांश एक साथ बैठते हैं ताकि घन आकार इसके लाइव माप के साथ जुड़ा रहे।

ग्राफ़ बाईं ओर रहता है इसलिए वक्र प्राथमिक दृश्य एंकर बना रहता है जबकि दाईं ओर की स्थिति को स्कैन करना आसान रहता है।

ग्राफ बताता है

लाइव सारांश

वास्तविक एक्स-अवरोधन

कोई वास्तविक x-अवरोधन नहीं

वाई-अवरोधन

(0, 0)

विभक्ति बिंदु

(0, 0)

निर्णायक मोड़

कोई स्थानीय अधिकतम/मिनट नहीं

घन उदाहरण

क्यूबिक सॉल्वर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

घन समीकरण क्या है?

घन समीकरण मानक घन रूप में लिखा गया एक तृतीय-डिग्री बहुपद है, जहां अग्रणी गुणांक शून्य नहीं हो सकता है।

क्या यह सॉल्वर जटिल जड़ें दिखा सकता है?

हाँ. यदि समीकरण में एक वास्तविक जड़ और एक जटिल-संयुग्मी जोड़ी है, तो परिणाम अनुभाग उन्हें स्पष्ट रूप से दिखाता है और उन्हें जटिल के रूप में लेबल करता है।

गुणांक इतना मायने क्यों रखता है?

यदि a = 0 है, तो समीकरण अब घनीय नहीं है। यूआई इसे तुरंत सत्यापित करता है और बताता है कि सॉल्वर आगे क्यों नहीं बढ़ सकता है।

चरण-दर-चरण अनुभाग क्या दिखाता है?

यह सामान्यीकृत समीकरण, दबे हुए घन परिवर्तन, विभेदक और अंतिम व्याख्या का सारांश देता है ताकि सॉल्वर अधिक पारदर्शी महसूस करे।
सामान्य घन विधि

घन समाधान कैसे काम करता है

यह अनुभाग सॉल्वर को घन समीकरणों पर केंद्रित रखता है: समीकरण को सामान्यीकृत करें, इसे दबे हुए घन तक कम करें, विवेचक को वर्गीकृत करें, और मिलान घन विधि लागू करें।

चरण 1

समीकरण को सामान्य करें

सामान्य घन समीकरण से प्रारंभ करें, पुष्टि करें कि अग्रणी गुणांक शून्येतर है, और प्रत्येक पद को a से विभाजित करें।

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
चरण 2

द्विघात पद हटाएँ

प्रतिस्थापन का प्रयोग करें

x = t - b/(3a)
. यह मूल घन को दबे हुए घन में परिवर्तित कर देता है
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
चरण 3

विवेचक की गणना करें

विवेचक हमें बताता है कि घन में किस प्रकार की जड़ें हैं और विधि की किस शाखा का उपयोग करना है।

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
चरण 4

मेल खाने वाला मामला चुनें

एक बार

Delta
ज्ञात है, हम कार्डानो की वास्तविक शाखा, बार-बार रूट शॉर्टकट, या त्रिकोणमितीय रूप का उपयोग करते हैं।

Delta > 0, Delta = 0, Delta < 0

हर संभव मामला

विवेचक नियंत्रित करता है कि घन विधि की कौन सी शाखा लागू होती है।

एक वास्तविक जड़ और दो जटिल संयुग्मी जड़ें

केस 1: डेल्टा > 0

कार्डानो के क्यूब-रूट एक्सप्रेशन से यू और वी की गणना करें, उन मानों से तीन डिप्रेस्ड-क्यूबिक रूट बनाएं, और फिर सामान्य बदलाव के साथ वापस कनवर्ट करें।

ट्रिपल असली जड़

केस 2ए: डेल्टा = 0 और पी = 0, क्यू = 0

दबा हुआ घन एक बार दोहराए गए मान तक ढह जाता है, इसलिए सभी तीन वास्तविक जड़ें पीछे हटने के बाद मेल खाती हैं।

एक साधारण वास्तविक जड़ और एक दोहरी वास्तविक जड़

केस 2बी: डेल्टा = 0 लेकिन पी और क्यू दोनों शून्य नहीं हैं

एक एकल घन-मूल मान व्युत्क्रम बदलाव के बाद एक सरल वास्तविक मूल और एक दोहराया वास्तविक मूल उत्पन्न करता है।

तीन अलग-अलग वास्तविक जड़ें

केस 3: डेल्टा < 0

तीन वास्तविक जड़ों को कोज्या कोणों के माध्यम से व्यक्त करने के लिए त्रिकोणमितीय रूप का उपयोग करें, फिर उन्हें व्युत्क्रम बदलाव के साथ वापस x में परिवर्तित करें।

संक्षिप्त सामान्य सूत्र

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

यह बीजगणितीय बंद रूप है. कब

Delta < 0
, त्रिकोणमिति संस्करण आमतौर पर व्यवहार में उपयोग करना आसान होता है।

वर्गीकरण सारांश

यदि डेल्टा > 0 है, तो घन में 1 वास्तविक जड़ और 2 जटिल संयुग्मी जड़ें होती हैं।
यदि डेल्टा = 0 और पी = क्यू = 0, तो घन की 3 समान वास्तविक जड़ें हैं।
यदि डेल्टा = 0 लेकिन पी और क्यू दोनों शून्य नहीं हैं, तो घन में 1 सरल वास्तविक मूल और 1 दोहरा वास्तविक मूल होता है।
यदि डेल्टा < 0 है, तो घन की 3 अलग-अलग वास्तविक जड़ें हैं।

सामान्य टेम्पलेट

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

प्रतीकात्मक गुणांक से शुरू करके कैलकुलेटर को सामान्य रखें, फिर ए, बी, सी और डी से पी, क्यू और डेल्टा प्राप्त करें।

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

डेल्टा की गणना करने के बाद, डेल्टा के चिह्न के आधार पर कार्डानो, बार-बार रूट शॉर्टकट या त्रिकोणमितीय शाखा चुनें।

Delta > 0, Delta = 0, Delta < 0

सामान्य वर्कफ़्लो: सामान्यीकृत करें, x = t - b/(3a) को प्रतिस्थापित करें, p, q और डेल्टा की गणना करें, सही शाखा चुनें, फिर t से x में वापस कनवर्ट करें।

साइट-तैयार सारांश

इस क्रम में घन समाधान प्रस्तुत करें: समीकरण को सामान्य करें, प्रतिस्थापित करें

x = t - b/(3a)
, उदास घन का निर्माण करें
t^3 + pt + q = 0
, p, q, और की गणना करें
Delta
, सही केस चुनें, मेल खाने वाले रूट फॉर्मूला को लागू करें, t से वापस x में कनवर्ट करें, और फिर अंतिम रूट को उनके रूट प्रकार के साथ दिखाएं।

शैक्षिक मार्गदर्शिका

कैसे हल करें ए घन समीकरण

सभी संभावित मूल मामलों और गणितीय परिवर्तनों सहित, घन समाधान प्रक्रिया की संपूर्ण चरण-दर-चरण व्याख्या।

मल्टी-स्टेज पद्धति

सॉल्वर पहले समीकरण को सामान्य करता है, इसे उदास घन रूप में बदलता है, पी, क्यू और विवेचक की गणना करता है, फिर मूल मामले के आधार पर सही विधि का चयन करता है।

समीकरण को सामान्य करें
द्विघात पद हटाएँ
विवेचक की गणना करें
वर्गीकृत विधि

तर्क पैरामीटर

सामान्यीकृत प्रपत्र
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
उदास रूप
t^3 + pt + q = 0
शिफ्ट (x = t - शिफ्ट)

b/3a

पैरामीटर पी, क्यू

p, q

विभेदक (डेल्टा)

(q/2)^2 + (p/3)^3

चरण-दर-चरण गणितीय विश्लेषण

01

समीकरण को सामान्य करें

एक मोनिक समीकरण प्राप्त करने के लिए संपूर्ण घन समीकरण को अग्रणी गुणांक a से विभाजित करें।

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

द्विघात पद हटाएँ

स्थानापन्न

x = t - b/(3a)
द्विघात पद को समाप्त करने और विभक्ति बिंदु को y-अक्ष पर स्थानांतरित करने के लिए।

स्थानापन्न: x = t - b/(3a)
03

डिप्रेस्ड क्यूबिक प्राप्त करें

प्रतिस्थापन का परिणाम t^2 पद के बिना 'निराश' रूप में होता है।

t^3 + pt + q = 0
04

पैरामीटर्स पी, क्यू और डेल्टा की गणना करें

दबे हुए मापदंडों और विवेचक की गणना करें जो मूल प्रकृति को निर्धारित करता है।

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

सही मामला चुनें

डेल्टा के आधार पर मूल प्रकृति की पहचान करें: डेल्टा > 0 (1 वास्तविक, 2 जटिल), डेल्टा = 0 (दोहराया गया वास्तविक), या डेल्टा < 0 (3 विशिष्ट वास्तविक)।

उन्नत अवलोकनडेल्टा > 0: एक वास्तविक जड़, दो जटिल संयुग्म। डेल्टा = 0: एकाधिक वास्तविक जड़ें। डेल्टा < 0: तीन अलग-अलग वास्तविक जड़ें।

06

मैचिंग रूट फॉर्मूला लागू करें

केस 1 के लिए कार्डानो का फॉर्मूला, केस 2 के लिए बार-बार रूट शॉर्टकट या केस 3 के लिए त्रिकोणमितीय विधि का उपयोग करें।

उन्नत अवलोकनहम उस एल्गोरिदम का चयन करते हैं जो विशिष्ट विभेदक मान के लिए उच्चतम परिशुद्धता प्रदान करता है।

07

t से वापस x में कनवर्ट करें

एक बार t मिल जाने पर, अंतिम मूल x ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन शिफ्ट को उलट दें।

x = t - b/(3a)
08

अंतिम मूल और प्रकार दिखाएँ

गणना की गई जड़ों को सत्यापित करें और इसकी पुष्टि करें

f(x) \\approx 0
प्रत्येक जड़ के लिए.

f(x) \approx 0

वर्गीकरण सारांश

D+
केस 1: डेल्टा > 0
1 वास्तविक, 2 जटिल

एक वास्तविक जड़ और दो जटिल संयुग्मी जड़ें। कार्डानो के घनमूलों के माध्यम से हल किया गया।

D0
केस 2ए: डेल्टा = 0, पी = क्यू = 0
3 समान वास्तविक

सबसे दुर्लभ मामला जहां सभी तीन जड़ें एक ही बिंदु (विभक्ति बिंदु) में ढह जाती हैं।

R2
केस 2बी: डेल्टा = 0 (पी, क्यू != 0)
1 सरल, 1 दोहरा

एक विशिष्ट वास्तविक जड़ और एक दोहराया गया वास्तविक जड़। ग्राफ़ x-अक्ष पर स्पर्शरेखा है।

D-
केस 3: डेल्टा < 0
3 विशिष्ट वास्तविक

तीन अलग-अलग वास्तविक जड़ें। त्रिकोणमितीय विधि सबसे स्थिर समाधान प्रदान करती है।

प्रयुक्त एल्गोरिदम

कार्डानो का फॉर्मूला

डेल्टा > 0 के लिए उपयोग किया जाता है। वास्तविक संख्याओं के घनमूलों के संयोजन का उपयोग करता है।

त्रिकोणमितीय रूप

डेल्टा <0 के लिए उपयोग किया जाता है। कोसाइन फ़ंक्शंस का उपयोग करके 'कैसस इरेड्यूसिबिलिस' से बचा जाता है।

बार-बार रूट पथ

डेल्टा = 0 के लिए उपयोग किया जाता है। कार्डानो व्युत्पत्ति में यू = वी के रूप में गणना को सरल बनाता है।

विवेचक के आधार पर विधि स्वचालित रूप से चुनी गई।

बीजगणितीय प्रसंग

कार्डानो-टार्टाग्लिया व्युत्पत्ति में महारत हासिल करना

मूल सिद्धांत प्रतिस्थापन का उपयोग करना है

x = u + v
घन को द्विघात में परिवर्तित करने के लिए
u^3
 और
v^3
. एक बार जब ये मिल जाते हैं, तो t और अंततः x के मान अनलॉक हो जाते हैं।

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
सामान्य समीकरण टेम्पलेट

सामान्य घन संरचना

प्रतीकात्मक गुणांक ए, बी, सी और डी से शुरू करें, फिर कम रूप और मिलान वाली मूल शाखा प्राप्त करें।

लक्ष्य समस्या
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
शिफ्ट वैल्यू
x = t - b/(3a)
पैरामीटर पी
(3ac - b^2) / (3a^2)
पैरामीटर क्यू
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
विभेदक डेल्टा
(q/2)^2 + (p/3)^3
जड़ पैटर्न अवलोकन

अंतिम जड़ पैटर्न डेल्टा पर निर्भर करता है: सकारात्मक एक वास्तविक जड़ देता है, शून्य बार-बार वास्तविक जड़ें देता है, और नकारात्मक तीन अलग-अलग वास्तविक जड़ें देता है।

xx1
xx2
xx3