वास्तविक और जटिल जड़ों के साथ समर्पित क्यूबिक समीकरण सॉल्वर, कार्डानो विधि चरण, क्यूबिक रेखांकन और काम किए गए उदाहरण।
डिप्रेश्ड क्यूबिक कैलकुलेटर
परिणाम देखने के लिए ऊपर अपने बहुपद गुणांक दर्ज करें और "क्यूबिक को डिप्रैस करें" पर क्लिक करें।A depressed cubic is a cubic equation that has been simplified by removing the x² term, resulting in the cleaner form t³ + pt + q = 0. This reduction is achieved through the Tschirnhaus substitution x = t − b/(3a), which shifts the polynomial so the second-degree coefficient vanishes. The technique is fundamental to every analytical method for solving cubics.
The depression process transforms four coefficients (a, b, c, d) into just two essential parameters (p, q). Specifically: p = (3ac − b²) / (3a²) and q = (2b³ − 9abc + 27a²d) / (27a³). This simplification is what makes Cardano's formula, Vieta's substitution, and the trigonometric method feasible.
Geometrically, depressing a cubic is equivalent to horizontally translating the graph so that the inflection point sits on the y-axis. This centering eliminates asymmetry in the curve and reveals the polynomial's essential shape, making both algebraic and graphical analysis cleaner.
Every Cardano's method solution begins with depressing the cubic. This calculator automates that critical first step.
Depressing centers the cubic's inflection point at the y-axis, making graphical analysis and symmetry identification easier.
Students learning polynomial transformations use depression to understand how substitutions simplify equation structure.
The substitution is x = t MINUS b/(3a), not plus. Getting the sign wrong shifts the curve in the wrong direction.
The formulas for p and q assume proper normalization. If a ≠ 1, you must include a in the denominators.
p involves 3ac − b² while q involves 2b³ − 9abc + 27a²d. Mixing them up produces completely wrong depressed coefficients.
| Substitution | x = t − b/(3a) |
| Result Form | t³ + pt + q = 0 |
| p formula | (3ac − b²) / (3a²) |
| q formula | (2b³ − 9abc + 27a²d) / (27a³) |
| Geometric Effect | Centers inflection point on y-axis |
A: यह समीकरण को सरल बनाता है और मानक समाधान सूत्रों को लागू करने की अनुमति देता है।
A: नहीं, हमारा टूल किसी भी 'a' मान के लिए इसे सामान्य रूप में बदल सकता है।
हाँ। प्रत्येक मानक घन समीकरण को समाप्त करने के लिए इसे स्थानांतरित किया जा सकता है<span class="font-mono text-primary-700 bg-primary-50 px-1 rounded">x²</span>अवधि।
मानक रूप t³ + pt + q = 0 है, जिसका कोई वर्ग पद नहीं है।
कार्डानो का फॉर्मूला केवल सीधे तौर पर डिप्रेस्ड फॉर्म पर लागू होता है। वर्गांकित पद को हटाने से, बीजगणित एक बंद-रूप समाधान प्राप्त करने के लिए पर्याप्त रूप से प्रबंधनीय हो जाता है।
