The Solution
गणना: डिप्रेश्ड क्यूबिक कैलकुलेटर
डिप्रेश्ड क्यूबिक कैलकुलेटर
परिणाम देखने के लिए ऊपर अपने बहुपद गुणांक दर्ज करें और "क्यूबिक को डिप्रैस करें" पर क्लिक करें।सॉल्व करने के बाद ग्राफ यहां दिखाई देगा।
Cubic Equation Solver
डिप्रेश्ड क्यूबिक कैलकुलेटर
वास्तविक और जटिल जड़ों के साथ समर्पित क्यूबिक समीकरण सॉल्वर, कार्डानो विधि चरण, क्यूबिक रेखांकन और काम किए गए उदाहरण।
The Equation
x² पद को हटाने के लिए अपने क्यूबिक समीकरण के गुणांक दर्ज करें और डिप्रेस्ड रूप t³ + pt + q = 0 प्राप्त करें।
f(x) = 0 = 0
The Treatise
क्या हैडिप्रेश्ड क्यूबिक कैलकुलेटर?
- एक स्कूली छात्र के लिए: एक उदास घन एक घन समीकरण है जिसका "उभार" हटा दिया गया है। साधारण घन ax³ + bx² + cx + d = 0 एक अजीब है x² शब्द अपने ग्राफ़ को बग़ल में धकेल रहा है। ग्राफ़ को बिल्कुल सही मात्रा में बाएँ या दाएँ स्थानांतरित करने से यह स्वच्छ रूप में रह जाता है t³ + pt + q = 0. वही उत्तर, स्थानांतरित; के साथ काम करना बहुत आसान है.
- एक कॉलेज छात्र के लिए: प्रतिस्थापन एक्स = टी - बी/3ए किसी भी घन के द्विघात पद को हटा देता है ए ≠ 0. नए गुणांक हैं पी = (3ac - b²)/3a² और q = (2b³ - 9abc + 27a²d)/27a³. यह अनिवार्य पहला कदम है कार्डानो की विधि, और यह सरल भी बनाता है विभेदक को Δ = −(4p³ + 27q²).
- उन्नत पाठक के लिए: यह त्सचिर्नहौस परिवर्तन (1683) का घन मामला है: चर का एक बहुपद परिवर्तन जो चुने हुए गुणांक को समाप्त कर देता है। स्थानान्तरित करना −बी/3ए यह बिल्कुल तीन जड़ों का औसत है, इसलिए निराशाजनक समीकरण को इसकी जड़ों के माध्य पर केंद्रित करता है, जो ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु भी है। सामान्य सिद्धांत क्वार्टिक्स तक और, ब्रिंग-जेरार्ड रूप में, क्विंटिक्स तक फैला हुआ है, हालांकि एबेल-रफिनी यह सीमित करता है कि कट्टरपंथी तब क्या हासिल कर सकते हैं।
- व्यवहार में यह क्यों मायने रखता है: जब दो-लाइन शिफ्ट इसकी जटिलता का एक चौथाई हिस्सा हटा देती है तो कभी भी सामान्य क्यूबिक पर सीधे हमला न करें। पहले दबाएं, सरल समीकरण को हल करें कार्डानो की विधि या हमारा घनमूल कैलकुलेटर, फिर उत्तरों को वापस शिफ्ट करें।
The Formula
सूत्र / विधि
- प्रतिस्थापन: एक्स = टी - बी/3ए धर्मान्तरित ax³ + bx² + cx + d = 0 में t³ + pt + q = 0.
- नए गुणांक: पी = (3ac - b²)/3a² और q = (2b³ - 9abc + 27a²d)/27a³.
- सरलीकृत विभेदक: उदास रूप में, Δ = −(4p³ + 27q²), पाँच के बजाय दो पद। हमारा विभेदक कैलकुलेटर आंतरिक रूप से बिल्कुल इसी शॉर्टकट का उपयोग करता है।
- एक सामान्य जाल: जड़ें भी बदल जाती हैं. अगर टी₀ तो, उदास घन को हल करता है x₀ = t₀ − b/3a मूल को हल करता है. आसान समीकरण को हल करना और पीछे जाना भूल जाना क्लासिक त्रुटि है।
The Method
उपयोग कैसे करें
- स्टेप 1। अपना घन इस प्रकार लिखें ax³ + bx² + cx + d = 0 और पढ़ो ए बी सी डी.
- चरण दो। टूल में चार गुणांक दर्ज करें।
- चरण 3. पाने के लिए "डिप्रेस क्यूबिक" दबाएँ पी, क्यू, और स्थानांतरित समीकरण t³ + pt + q = 0.
- चरण 4। से डिप्रेस्ड फॉर्म को हल करें कार्डानो की विधि, फिर प्रत्येक रूट को पीछे की ओर शिफ्ट करें एक्स = टी - बी/3ए.
मुख्य विशेषताएं
- सटीक बदलाव -b/3a और घटे हुए गुणांक p और q की गणना करता है।
- पूर्ण प्रतिस्थापन बीजगणित दिखाता है ताकि आप प्रत्येक चरण का अनुसरण कर सकें।
- कार्डानो की विधि के लिए तैयार दबे हुए समीकरण को प्रदर्शित करता है।
- आपके मूल क्यूबिक पर वापस विस्तार करके बदलाव को सत्यापित करता है।
- शिफ्ट को पूर्णांकित किए बिना भिन्नात्मक और नकारात्मक गुणांक को संभालता है।
The Illustration
दृश्य आरेख
उदाहरण अवधारणा
दबाना x³ - 6x² + 11x - 6 = 0. यहाँ ए = 1, बी = −6, सी = 11, डी = −6.
बदलाव: एक्स = टी − (−6)/3 = टी + 2.
पी = (3·1·11 − 36)/3 = (33 − 36)/3 = −1
क्यू = (2(−216) − 9(1)(−6)(11) + 27(1)(−6))/27 = (−432 + 594 − 162)/27 = 0उदास घन है t³ - t = 0, जो तुरन्त कारक है t(t − 1)(t + 1) = 0. वापस स्थानांतरण (एक्स = टी + 2) जड़ें देता है एक्स = 2, 3, 1. उनकी पुष्टि हमारे साथ करें घनमूल कैलकुलेटर.
The Deep Dive
इंटरएक्टिव डीप डाइव
इस परिवर्तन का नाम एरेनफ्राइड वाल्थर वॉन त्सचिर्नहौस के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने चतुर प्रतिस्थापन द्वारा सभी बहुपद समीकरणों को हल करने के लिए एक भव्य कार्यक्रम के हिस्से के रूप में इसे 1683 में प्रकाशित किया था। उनका कार्यक्रम अंततः क्विंटिक के लिए विफल रहा, लेकिन क्यूबिक केस एक अपरिहार्य उपकरण के रूप में जीवित रहा। यह विचार अत्यंत सरल है: क्योंकि x² गुणांक, एक कारक तक, मूलों का योग है, औसत मूल द्वारा चर को स्थानांतरित करने से संपूर्ण विन्यास मूल पर केंद्रित हो जाता है। जो बीजगणितीय चाल की तरह दिखता है वह वास्तव में एक ज्यामितीय पुनरावृत्ति है।
क्यों करता है एक्स = टी - बी/3ए बिल्कुल द्विघात पद को मार डालो? बढ़ाना a(t - b/3a)³ + b(t - b/3a)² + c(t - b/3a) + d और इकट्ठा करें टी² गुणांक: घन पद से आता है 3a(−b/3a) = −b, से द्विघात पद आता है +बी. वे बिल्कुल रद्द कर देते हैं, और शिफ्ट का कोई अन्य विकल्प ऐसा नहीं करता है। t और स्थिर पद तब स्वयं को एकत्रित कर लेते हैं पी और क्यू. इस विस्तार को एक बार हाथ से करना उचित है: रद्दीकरण किसी ताले को खुलते हुए देखने जैसा लगता है।
सूत्र पी = (3ac - b²)/3a² और q = (2b³ - 9abc + 27a²d)/27a³ डराने वाले लग रहे हैं, लेकिन प्रत्येक का अर्थ है। का अंश पी चिह्न तक, द्विघात भाग का विभेदक है, जो मापता है कि समीकरण कितना "फैला" है। के लिए अभिव्यक्ति क्यू सभी चार गुणांकों को मिलाता है क्योंकि स्थानांतरित समीकरण का स्थिर पद वास्तव में हर चीज पर निर्भर करता है। ध्यान दें कि हर की शक्तियां हैं ए: एक राक्षसी घन के लिए वे गायब हो जाते हैं p = 3c − b² over 3 शैली की सरलता, यही कारण है कि पाठ्यपुस्तकें आम तौर पर पहले मॉनिक केस प्रस्तुत करती हैं।
निराशाजनक भी ग्राफ को केन्द्रित करता है। का विभक्ति बिंदु ax³ + bx² + cx + d बैठ बैठ गया एक्स = −बी/3ए, बिल्कुल बदलाव की मात्रा, इसलिए अवसादग्रस्त घन का ग्राफ मूल बिंदु पर इसके विभक्ति बिंदु के बारे में सममित है। हमारा विभक्ति बिंदु कैलकुलेटर इस केंद्र का पता लगाता है, और रेखांकन उपकरण पहले और बाद को दर्शाता है: वही S-वक्र, क्षैतिज रूप से तब तक फिसलता है जब तक कि इसका मध्यबिंदु y-अक्ष पर न बैठ जाए। इस समरूपता के कारण दबे हुए रूप का गुणात्मक विश्लेषण करना आसान होता है।
वही भावना उच्च-डिग्री समीकरणों से शब्दों को हटा देती है: एक चतुर्थक को दबाया जा सकता है t⁴ + pt² + qt + r = 0, जो फेरारी का प्रवेश बिंदु है। क्विंटिक के लिए, ब्रिंग-जेरार्ड परिवर्तन इसे कम कर देता है t⁵ + pt + q = 0, फिर भी कोई भी कट्टरपंथी फार्मूला काम खत्म नहीं करता है, जैसा कि हाबिल और रफ़िनी ने साबित किया है। इस प्रकार डिप्रेस्ड क्यूबिक पूरे सिद्धांत का मधुर स्थान है: सबसे कठिन समीकरण जिसे शिफ्ट प्लस रेडिकल्स पूरी तरह से जीत सकते हैं।
The Applications
वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग
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कार्डानो तैयारी
कार्डानो की पद्धति का प्रत्येक अनुप्रयोग यहां से शुरू होता है: कोई उदास रूप नहीं, कोई सूत्र नहीं। कटौती इतनी मानक है कि कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली कार्डानो के चरणों को प्रदर्शित करने से पहले इसे चुपचाप निष्पादित करती है। इस एक परिवर्तन में महारत हासिल करने से क्यूबिक का संपूर्ण शास्त्रीय समाधान सिद्धांत खुल जाता है।
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ग्राफ विश्लेषण
किसी घन को उसके विभक्ति बिंदु पर केन्द्रित करने से रेखाचित्र बनाना नाटकीय रूप से आसान हो जाता है: मोड़ बिंदु मूल के बारे में सममित हो जाते हैं, और वास्तविक जड़ों की संख्या को उन सममित बिंदुओं के मानों से पढ़ा जा सकता है। दृश्य विंडो चुनते समय ग्राफ़िंग उपकरण आंतरिक रूप से इसका उपयोग करते हैं।
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संख्यात्मक स्थिरता
जब गुणांक परिमाण में बेतहाशा भिन्न होते हैं, तो बदलाव अक्सर छोटे, बेहतर-संतुलित पी और क्यू उत्पन्न करता है। संख्यात्मक सॉल्वर तेजी से एकत्रित होते हैं और राउंडऑफ़ त्रुटि कम हो जाती है, क्योंकि गणना अब बड़े और छोटे शब्दों को मिश्रित नहीं करती है। अवसाद द्वारा पूर्वानुकूलन संख्यात्मक पुस्तकालयों का एक शांत कार्य घोड़ा है।
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बीजगणित पढ़ाना
प्रशिक्षक एक भयावह समस्या को दो प्रबंधनीय समस्याओं में विभाजित करने के लिए अवसाद का उपयोग करते हैं: एक नियमित प्रतिस्थापन, फिर एक स्वच्छ समीकरण। जो छात्र किसी घन को देखते ही दबा सकते हैं, उन्होंने गुणांकों और मूलों के बीच के संबंध को आत्मसात कर लिया है, जिसका विएटा के सूत्र वर्णन करते हैं।
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भौतिकी निर्देशांक
भौतिक विज्ञानी रैखिक या द्विघात शब्दों को हटाने के लिए नियमित रूप से निर्देशांक बदलते हैं: वर्ग को पूरा करना इस सटीक चाल का द्विघात संस्करण है। गड़बड़ी सिद्धांत और सामान्य-मोड विश्लेषण में, समन्वय प्रणाली को प्राकृतिक मध्यबिंदु पर केंद्रित करना हर बाद के विस्तार को सरल बनाता है।
The Cautions
बचने के लिए सामान्य गलतियाँ
MISTAKE Nº 1
वापस शिफ्ट करना भूल गए: दबे हुए घन की जड़ें मूल से भिन्न होती हैं: प्रत्येक को −b/3a द्वारा स्थानांतरित किया जाता है। t³ - t = 0 को हल करने पर t = 0, ±1 मिलता है, लेकिन मूल समीकरण के मूल x = 2, 3, 1 हैं। हमेशा अंत में x = t - b/3a लगाएं।
MISTAKE Nº 2
शिफ्ट में साइन त्रुटि: प्रतिस्थापन x = t - b/3a है, जिसमें b का अपना चिह्न है। x³ − 6x² + … के लिए, b = −6, इसलिए बदलाव t + 2 है, t − 2 नहीं। प्रतिस्थापित करने से पहले इसके चिह्न के साथ b लिखें।
MISTAKE Nº 3
पी और क्यू में अंकगणित फिसल जाता है: q सूत्र में b³ तक तीन हस्ताक्षरित पद और शक्तियाँ हैं। प्राथमिक घन सिद्धांत में यह सबसे अधिक त्रुटि-प्रवण हस्त गणना है। टूल को उनकी गणना करने दें, या वापस विस्तार करके जाँच करें।
MISTAKE Nº 4
Dividing by a zero leading coefficient: यदि a = 0 है तो समीकरण घनीय नहीं है और सूत्र शून्य से विभाजित होते हैं। निराशाजनक होने से पहले पुष्टि करें कि डिग्री वास्तव में तीन है।
MISTAKE Nº 5
विभेदक सूत्रों का मिश्रण: पाँच-अवधि विभेदक सामान्य घन से संबंधित है; दो-अवधि वाला संस्करण Δ = −(4p³ + 27q²) अवसादग्रस्त संस्करण से संबंधित है। अशिक्षित गुणांकों पर संक्षिप्त सूत्र लागू करने से गलत संकेत और गलत निर्णय मिलता है।
The Reference
त्वरित संदर्भ तालिका
त्वरित संदर्भ तालिकाREF
प्रतिस्थापनएक्स = टी − बी/(3ए)
परिणाम प्रपत्रटी³ + पीटी + क्यू = 0
पी सूत्र(3ac − बी²) / (3ए²)
क्यू सूत्र(2b³ − 9एबीसी + 27ए²डी) / (27ए³)
ज्यामितीय प्रभावकेंद्र विभक्ति बिंदु y-अक्ष पर है
The Questions
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
डिप्रेस्ड क्यूबिक क्या है? +
बिना x² पद वाला एक घन: t³ + pt + q = 0. प्रत्येक घन ax³ + bx² + cx + d = 0 को शिफ्ट x = t - b/3a द्वारा इस रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।
आखिर एक घन को क्यों दबाया जाए? +
क्योंकि हर शास्त्रीय समाधान विधि, विशेष रूप से कार्डानो की विधि, उदास रूप की आवश्यकता है। यह विवेचक को भी सरल बनाता है और ग्राफ़ को उसके विभक्ति बिंदु पर केन्द्रित करता है।
क्या हर घन उदास हो सकता है? +
हाँ, बशर्ते कि अग्रणी गुणांक a अशून्य हो। बदलाव −b/3a हमेशा मौजूद रहता है और हमेशा द्विघात पद को बिल्कुल समाप्त कर देता है।
पी और क्यू क्या हैं? +
मूल गुणांकों के निश्चित संयोजन: p = (3ac - b²)/3a² और q = (2b³ - 9abc + 27a²d)/27a³। वे समीकरण की सभी जानकारी संपीड़ित रूप में रखते हैं।
क्या केवल शिफ्ट ही काम करती है? +
हाँ। a(t + h)³ + b(t + h)² + … का विस्तार करने से पता चलता है कि t² गुणांक केवल तभी गायब हो जाता है जब h = −b/3a होता है। कोई भी अन्य बदलाव अपने पीछे एक द्विघात पद छोड़ जाता है।
क्या अवसाद जड़ें बदल देता है? +
यह प्रत्येक जड़ को −b/3a से बदलता है लेकिन उनके संबंधों को सुरक्षित रखता है: अंतर, बहुलता और वास्तविकता अपरिवर्तित हैं। देखें कि जड़ें हमारे साथ कैसे संबंधित हैं जड़ें संबंध कैलकुलेटर.
क्या मैं डिप्रेस्ड क्यूबिक को सीधे हल कर सकता हूँ? +
हाँ, साथ कार्डानो का सूत्र, जो बिल्कुल इसी रूप के लिए डिज़ाइन किया गया था। कई उदास क्यूबिक्स भी निरीक्षण द्वारा अच्छी तरह से कारक हैं।
विवेचक का क्या होता है? +
यह पाँच पदों से घटकर दो हो जाता है: Δ = −(4p³ + 27q²)। हमारे साथ वर्गीकरण सत्यापित करें विभेदक कैलकुलेटर.