বাস্তব এবং জটিল শিকড় সহ ডেডিকেটেড ঘন সমীকরণ সমাধানকারী, কার্ডানো পদ্ধতির ধাপ, কিউবিক গ্রাফিং এবং কাজের উদাহরণ।
ডিপ্রেসড কিউবিক ক্যালকুলেটর
উপরে আপনার বহুপদী সহগ লিখুন এবং ফলাফল দেখতে "কিউবিক ডিপ্রেস" এ ক্লিক করুন।A depressed cubic is a cubic equation that has been simplified by removing the x² term, resulting in the cleaner form t³ + pt + q = 0. This reduction is achieved through the Tschirnhaus substitution x = t − b/(3a), which shifts the polynomial so the second-degree coefficient vanishes. The technique is fundamental to every analytical method for solving cubics.
The depression process transforms four coefficients (a, b, c, d) into just two essential parameters (p, q). Specifically: p = (3ac − b²) / (3a²) and q = (2b³ − 9abc + 27a²d) / (27a³). This simplification is what makes Cardano's formula, Vieta's substitution, and the trigonometric method feasible.
Geometrically, depressing a cubic is equivalent to horizontally translating the graph so that the inflection point sits on the y-axis. This centering eliminates asymmetry in the curve and reveals the polynomial's essential shape, making both algebraic and graphical analysis cleaner.
Every Cardano's method solution begins with depressing the cubic. This calculator automates that critical first step.
Depressing centers the cubic's inflection point at the y-axis, making graphical analysis and symmetry identification easier.
Students learning polynomial transformations use depression to understand how substitutions simplify equation structure.
The substitution is x = t MINUS b/(3a), not plus. Getting the sign wrong shifts the curve in the wrong direction.
The formulas for p and q assume proper normalization. If a ≠ 1, you must include a in the denominators.
p involves 3ac − b² while q involves 2b³ − 9abc + 27a²d. Mixing them up produces completely wrong depressed coefficients.
| Substitution | x = t − b/(3a) |
| Result Form | t³ + pt + q = 0 |
| p formula | (3ac − b²) / (3a²) |
| q formula | (2b³ − 9abc + 27a²d) / (27a³) |
| Geometric Effect | Centers inflection point on y-axis |
কারণ ডিগ্রী-টু টার্ম বাদ দিয়ে সমীকরণটি জটিলতায় "বিষণ্ন" হয়েছে।
হ্যাঁ, এটি তাদের অনুভূমিকভাবে স্থানান্তরিত করে। আপনি একবার খুঁজে<span class="font-mono text-primary-700 bg-primary-50 px-1 rounded">t</span>, খুঁজে পেতে আপনাকে শিফট ফ্যাক্টরটি আবার যোগ করতে হবে<span class="font-mono text-primary-700 bg-primary-50 px-1 rounded">x</span>.
হ্যাঁ। প্রতিটি স্ট্যান্ডার্ড কিউবিক সমীকরণ তার নির্মূল করার জন্য স্থানান্তরিত করা যেতে পারে<span class="font-mono text-primary-700 bg-primary-50 px-1 rounded">x²</span>মেয়াদ
স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম হল t³ + pt + q = 0, যার কোনো বর্গ পদ নেই।
Cardano এর সূত্র শুধুমাত্র বিষণ্ন ফর্ম সরাসরি প্রযোজ্য. বর্গাকার শব্দটি অপসারণ করে, বীজগণিত একটি বদ্ধ-ফর্ম সমাধান বের করার জন্য যথেষ্ট পরিচালনযোগ্য হয়ে ওঠে।
