The Solution
計算: 簡約三次方程式計算機
簡約三次方程式計算機
上に多項式係数を入力し、「3次を下げる」をクリックして結果を表示します。解くとグラフがここに表示されます。
Cubic Equation Solver
簡約三次方程式計算機
実根および複素根を備えた専用の三次方程式ソルバー、Cardano メソッドのステップ、三次グラフ作成、および実際の例。
The Equation
3 次方程式の係数を入力して、x² 項を削除し、凹型 t3 + pt + q = 0 を取得します。
f(x) = 0 = 0
The Treatise
什么是簡約三次方程式計算機?
- 学生の場合: ディプレスト 3 次方程式は、3 次方程式から「膨らみ」が取り除かれたものです。普通の立方体 ax3 + bx2 + cx + d = 0 厄介な事がある x² グラフを横に押し出す項。グラフを左右に正確に適切な量だけ移動すると、グラフが中央に配置され、よりきれいなフォームが残ります。 t3 + pt + q = 0。同じ答えがずれています。作業がはるかに簡単になります。
- 大学生の場合: 代替品 x = t − b/3a 任意の 3 次の 2 次項を次の条件で消去します。 a≠0。新しい係数は次のとおりです。 p = (3ac − b²)/3a² そして q = (2b3 − 9abc + 27a2d)/27a3。これは必須の最初のステップです カルダノの手法、また、 判別式 に Δ = −(4p3 + 27q2).
- 上級読者向け: これは、チルンハウス変換 (1683) の 3 次ケースです。つまり、選択した係数を無効にする変数の多項式変更です。シフト −b/3a は正確に 3 つの根の平均であるため、depressing は方程式の中心をその根の平均に置きます。これはグラフの変曲点でもあります。一般理論は 4 次関数、そしてブリング・ジェラード形式では 5 次関数まで拡張されますが、アーベル・ルフィニはラジカルが達成できることを制限しています。
- Why it matters in practice: 2 行のシフトによって複雑さが 4 分の 1 除去される場合、一般的な 3 次関数を直接攻撃しないでください。最初に押し下げて、次の簡単な方程式を解きます。 カルダノの手法 または私たちの 立方根計算機、答えを元に戻します。
The Formula
公式 / 方法
- 置換: x = t − b/3a 改宗する ax3 + bx2 + cx + d = 0 の中へ t3 + pt + q = 0.
- 新しい係数: p = (3ac − b²)/3a² and q = (2b3 − 9abc + 27a2d)/27a3.
- 簡略化された判別式: 落ち込んだ形で、 Δ = −(4p3 + 27q2)、5期ではなく2期です。私たちの 判別式計算機 まさにこのショートカットを内部で使用します。
- A common trap: 根もずれます。もし t₀ 凹んだ三次関数を解くと、 x₀ = t₀ − b/3a solves the original. Solving the easy equation and forgetting to shift back is the classic error.
The Method
使い方
- ステップ1. 立方体を次のように書きます ax3 + bx2 + cx + d = 0 そして読み飛ばす a、b、c、d.
- ステップ2。 4 つの係数をツールに入力します。
- ステップ3。 「Depress Cubic」を押して取得します p, q、およびシフトされた方程式 t3 + pt + q = 0.
- ステップ4。 凹型を次のように解きます。 カルダノの手法次に、各ルートを次のようにシフトして戻します。 x = t − b/3a.
主な特徴
- 正確なシフト -b/3a と削減された係数 p および q を計算します。
- 完全な置換代数を表示するので、すべての手順を実行できます。
- Cardano のメソッドの準備ができている、押下された方程式を表示します。
- 元の立方体に展開して戻すことでシフトを確認します。
- シフトを四捨五入せずに小数係数と負の係数を処理します。
The Illustration
視覚的図
例の概念
落ち込む x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0。ここ a = 1、b = −6、c = 11、d = −6。
シフト： x = t − (−6)/3 = t + 2.
p = (3・1・11 − 36)/3 = (33 − 36)/3 = −1
q = (2(−216) − 9(1)(−6)(11) + 27(1)(−6))/27 = (−432 + 594 − 162)/27 = 0デプレッションキュービックは t3 − t = 0、これは即座に考慮されます t(t − 1)(t + 1) = 0. Shifting back (x = t + 2) 根を与えます x = 2、3、1。弊社に確認してください 立方根計算機.
The Deep Dive
対話型ディープダイブ
この変換は、賢い代入によってすべての多項式を解く壮大なプログラムの一部として 1683 年にこの変換を発表したエーレンフリート ヴァルター フォン チルンハウスにちなんで名付けられました。彼のプログラムは最終的に 5 次関数では失敗しましたが、3 次関数ケースは不可欠なツールとして生き残りました。このアイデアは驚くほど単純です。 x² 係数は、係数までのルートの合計であり、平均ルートによって変数をシフトすると、全体の構成が原点に集中します。代数トリックのように見えるものは、実際には幾何学的な再センタリングです。
なぜそうなるのか x = t − b/3a 二次項を正確に消去しますか?拡大する a(t − b/3a)³ + b(t − b/3a)² + c(t − b/3a) + d そして集めます t² 係数: 3次項から来ます 3a(−b/3a) = −b、二次項から来ます +b。それらは正確にキャンセルされ、他のシフトの選択肢はこれを行いません。の t そして定数項はそれらを組み立てて p そして q。この拡張を手動で一度行う価値はあります。キャンセルは、カチッと鍵が開くのを見ているような気分になります。
数式 p = (3ac − b²)/3a² そして q = (2b3 − 9abc + 27a2d)/27a3 一見怖そうに見えますが、それぞれに意味があります。の分子 p は、符号までの二次部分の判別式であり、方程式の「広がり」を測定します。の表現 q シフトされた方程式の定数項は実際にすべてに依存するため、4 つの係数すべてを混合します。分母がべき乗であることに注意してください。 ある: モニックキュービックの場合、それらは消えます p = 3c − b² 3 上 スタイルがシンプルであるため、教科書では通常、モニックケースが最初に示されます。
押し下げるとグラフも中央に配置されます。の変曲点 ax3 + bx2 + cx + d に座っています x = −b/3a、正確にはシフト量であるため、ディプレスト 3 次のグラフは原点の変曲点に関して対称になります。私たちの 変曲点計算機 このセンターを特定し、 グラフ作成ツール は前後を示しています。同じ S 字カーブを、その中点が y 軸上に来るまで水平にスライドさせました。この対称性により、凹んだ形状の方が定性的に分析しやすいのです。
同じ精神により、より高次の方程式から項が削除されます。4 次方程式は次のように圧縮できます。 t⁴ + pt² + qt + r = 0、これがフェラーリの入り口です。 5 次の場合、Bring-Jerrard 変換により次のようになります。 t⁵ + pt + q = 0, yet no radical formula finishes the job, as Abel and Ruffini proved. The depressed cubic is thus the sweet spot of the whole theory: the hardest equation that a shift plus radicals can completely conquer.
The Applications
実世界での応用
📚
カルダノの準備
カルダノのメソッドのあらゆる応用はここから始まります。凹んだ形や公式はありません。この削減は非常に標準的なものであるため、コンピュータ代数システムはカルダノのステップを表示する前に黙ってそれを実行します。この 1 つの変換をマスターすると、3 次の古典的な解理論全体が開かれます。
🎨
グラフ分析
立方体の中心を変曲点に置くと、スケッチが劇的に簡単になります。転換点が原点に対して対称になり、それらの対称点の値から実根の数を読み取ることができます。グラフ作成ツールは、表示ウィンドウを選択するときにこれを内部的に使用します。
⚙
数値安定性
係数の大きさが大きく異なる場合、シフトによってより小さく、よりバランスのとれた p と q が生成されることがよくあります。計算に巨大な項と小さな項が混在しなくなるため、数値ソルバーはより速く収束し、丸め誤差が小さくなります。うつ病による事前調整は、数値ライブラリの静かな主力製品です。
🏫
代数を教える
インストラクターはうつ病を利用して、恐ろしい問題を 2 つの対処可能な問題に分割します。つまり、日常的な置き換えと、よりクリーンな方程式です。三次関数を一目見てわかる生徒は、ビエタの公式が表す係数と根の関係を理解しています。
⚡
物理座標
物理学者は日常的に座標をシフトして、一次項または二次項を削除します。正方形を完成させることは、まさにこの動きの二次版です。摂動理論とノーマルモード解析では、座標系の中心を自然の中点に置くと、その後のすべての展開が簡素化されます。
The Cautions
避けるべきよくある間違い
MISTAKE Nº 1
シフトバックを忘れる: ディプレスト 3 次関数は元の関数とは異なる根を持ち、それぞれが -b/3a だけシフトされます。 t3 − t = 0 を解くと t = 0, ±1 が得られますが、元の方程式の根は x = 2, 3, 1 です。最後に常に x = t − b/3a を適用します。
MISTAKE Nº 2
シフトのサインミス: 置換は x = t − b/3a で、b には独自の符号が付きます。 x³ − 6x² + …の場合、b = −6 となるため、シフトは t − 2 ではなく t + 2 になります。代入する前に b を符号付きで書きます。
MISTAKE Nº 3
p と q の算術スリップ: q の式には 3 つの符号付き項があり、累乗すると b³ になります。これは、初歩的な 3 次理論の中で最もエラーが発生しやすい手計算です。ツールにそれらを計算させるか、逆に展開して確認します。
MISTAKE Nº 4
ゼロ先行係数による除算: a = 0 の場合、方程式は 3 次ではなく、式はゼロで除算されます。落ち込む前に本当に度数が3であることを確認してください。
MISTAKE Nº 5
混合判別式: 5 項の判別式は一般 3 次式に属します。 2 項バージョン Δ = −(4p³ + 27q²) は、抑圧されたバージョンに属します。短い公式をシフトされていない係数に適用すると、間違った符号と間違った判定が得られます。
The Reference
クイックリファレンス表
クイックリファレンス表REF
代用x = t − b/(3a)
結果フォームt³ + pt + q = 0
p式(3ac − b²) / (3a²)
q式(2b³ − 9abc + 27a²d) / (27a³)
幾何学的な効果Centers inflection point on y-axis
The Questions
よくある質問
ディプレストキュービックとは何ですか? +
A cubic with no x² term: t³ + pt + q = 0. Every cubic ax³ + bx² + cx + d = 0 can be converted to this form by the shift x = t − b/3a.
そもそもなぜ立方体を凹ませるのでしょうか？ +
なぜなら、あらゆる古典的な解決法、特に カルダノの手法、凹んだフォームが必要です。また、判別式が単純化され、グラフがその変曲点の中心に配置されます。
すべての立方体が憂鬱になる可能性がありますか? +
はい、先頭の係数 a がゼロ以外の場合に限ります。シフト -b/3a は常に存在し、常に二次項を正確に消去します。
pとqとは何ですか? +
元の係数の組み合わせを修正しました: p = (3ac − b²)/3a² および q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/27a³。これらは、方程式のすべての情報を圧縮形式で保持します。
シフトだけが機能するのでしょうか？ +
Yes. Expanding a(t + h)³ + b(t + h)² + … shows the t² coefficient vanishes only when h = −b/3a. Any other shift leaves a quadratic term behind.
うつ病は根本を変えるのでしょうか？ +
各ルートを -b/3a だけシフトしますが、それらの関係は維持されます。つまり、差異、多重性、および現実は変わりません。ルーツが私たちとどのように関係しているかを見てみましょう ルーツ関係計算機.
陥没三次を直接解くことはできますか? +
はい、付きます カルダノの公式, which was designed for exactly this form. Many depressed cubics also factor nicely by inspection.
判別式はどうなるのでしょうか？ +
5 つの項から 2 つの項に折りたたまれます: Δ = −(4p³ + 27q²)。弊社で分類を確認してください 判別式計算機.