Cubic Equation Solver WORKSPACE
Open menu
Dedikerad Cubic Solver

Kubisk ekvationslösare

Lös endast kubikekvationer. Hitta verkliga och komplexa rötter, följ Cardano-baserade steg och utforska den kubiska grafen.

Ange kubikkoefficienter

Ange värden för ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

Förhandsgranskning av arbetsflöde

Inmatning till vänster, resultat till höger, graf under båda

Detta gör att det primära lösningsarbetsflödet är lätt att skanna: ange koefficienter, granska den lösta kubiken och bekräfta sedan allt med grafen under.

Ange a, b, c och d i den vänstra panelen.
Lös för att fylla i resultatsammanfattningen till höger.
Använd grafen i full bredd nedan för att bekräfta det kubiska beteendet.

Kubikgraf

Live graf förhandsvisning

Grafen och tillståndssammanfattningen sitter sida vid sida så att den kubiska formen förblir ihopkopplad med dess levande mätningar.

Grafen stannar till vänster så att kurvan förblir det primära visuella ankaret medan tillstånden till höger är lätta att skanna.

Graf tillstånd

Live sammanfattning

Riktiga x-intercepts

Inga riktiga x-intercepts

Y-skärning

(0, 0)

Böjningspunkt

(0, 0)

Vändpunkter

Inget lokalt max/min

Kubiska exempel

Vanliga frågor om Cubic Solver

Vad är en kubikekvation?

En kubikekvation är ett tredjegradspolynom skrivet i standardkubisk form, där den ledande koefficienten inte kan vara noll.

Kan den här lösaren visa komplexa rötter?

Ja. Om ekvationen har en reell rot och ett komplexkonjugerat par, visar resultatsektionen dem tydligt och betecknar dem som komplexa.

Varför spelar koefficienten så stor roll?

Om a = 0 är ekvationen inte längre kubisk. Användargränssnittet validerar detta omedelbart och förklarar varför lösaren inte kan fortsätta.

Vad visar steg-för-steg-avsnittet?

Den sammanfattar den normaliserade ekvationen, deprimerad kubisk transformation, diskriminant och slutlig tolkning så att lösaren känns mer transparent.
Allmän kubisk metod

Hur Cubic Solving fungerar

Det här avsnittet håller lösaren fokuserad på kubiska ekvationer: normalisera ekvationen, reducera den till den sänkta kubiken, klassificera diskriminanten och använd den matchande kubiska metoden.

Steg 1

Normalisera ekvationen

Börja med den allmänna kubikekvationen, bekräfta att den ledande koefficienten inte är noll och dividera varje term med a.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Steg 2

Ta bort den kvadratiska termen

Använd ersättningen

x = t - b/(3a)
. Detta omvandlar den ursprungliga kubiken till den deprimerade kubiken
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
Steg 3

Beräkna diskriminanten

Diskriminanten talar om för oss vilken typ av rötter kubiken har och vilken gren av metoden som ska användas.

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
Steg 4

Välj det matchande fodralet

En gång

Delta
är känt använder vi Cardanos verkliga gren, genvägen med upprepad rot eller den trigonometriska formen.

Delta > 0: 1 reell + 2 komplex Delta = 0: upprepade reella rötter Delta < 0: 3 distinkta riktiga rötter

Alla möjliga fall

Diskriminanten styr vilken gren av den kubiska metoden som gäller.

En riktig rot och två komplexa konjugerade rötter

Fall 1: Delta > 0

Beräkna u och v från Cardanos kubrotsuttryck, bygg de tre nedtryckta kubiska rötterna från dessa värden och konvertera sedan tillbaka med det vanliga skiftet.

Trippel äkta rot

Fall 2A: Delta = 0 och p = 0, q = 0

Den deprimerade kubiken kollapsar till ett enda upprepat värde, så alla tre verkliga rötter sammanfaller efter att ha flyttats tillbaka.

En enkel verklig rot och en dubbel verklig rot

Fall 2B: Delta = 0 men p och q är inte båda noll

Ett enda kubrotsvärde genererar en enkel reell rot och en upprepad reell rot efter det omvända skiftet.

Tre distinkta verkliga rötter

Fall 3: Delta < 0

Använd den trigonometriska formen för att uttrycka de tre verkliga rötterna genom cosinusvinklar, konvertera dem sedan tillbaka till x med inversförskjutningen.

Kompakt allmän formel

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

Detta är den algebraiska slutna formen. När

Delta < 0
, den trigonometriska versionen är vanligtvis lättare att använda i praktiken.

Klassificering Sammanfattning

Om Delta > 0 har kubiken 1 reell rot och 2 komplexa konjugerade rötter.
Om Delta = 0 och p = q = 0, har kubiken 3 lika reella rötter.
Om Delta = 0 men p och q inte båda är noll, har kubiken 1 enkel reell rot och 1 dubbel reell rot.
Om Delta < 0 har kubiken 3 distinkta reella rötter.

Generisk mall

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Håll räknaren generisk genom att börja från symboliska koefficienter, härled sedan p, q och Delta från a, b, c och d.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

Efter att ha beräknat Delta, välj Cardano, genvägen med upprepad rot eller den trigonometriska grenen beroende på Delta-tecknet.

Om Delta > 0: en reell och två komplexa rötter Om Delta = 0: upprepade reella rötter Om Delta < 0: tre distinkta verkliga rötter

Generiskt arbetsflöde: normalisera, ersätt x = t - b/(3a), beräkna p, q och Delta, välj rätt gren och konvertera sedan tillbaka från t till x.

Webbplatsklar sammanfattning

Presentera kubisk lösning i denna ordning: normalisera ekvationen, ersätt

x = t - b/(3a)
, bygga den deprimerade kubiken
t^3 + pt + q = 0
, beräkna p, q och
Delta
, välj rätt skiftläge, använd den matchande rotformeln, konvertera från t tillbaka till x och visa sedan de slutliga rötterna med deras rottyp.

Utbildningsguide

Hur man löser en Kubikekvation

En komplett steg-för-steg-förklaring av den kubiska lösningsprocessen, inklusive alla möjliga rotfall och matematiska transformationer.

Metodiken i flera steg

Lösaren normaliserar först ekvationen, omvandlar den till nedtryckt kubisk form, beräknar p, q och diskriminanten och väljer sedan rätt metod beroende på rotfallet.

Normalisera ekvation
Ta bort kvadratisk term
Compute Diskriminant
Klassificera metod

Logiska parametrar

Normaliserad form
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
Deprimerad form
t^3 + pt + q = 0
Skift (x = t - skift)

b/3a

Parametrar p, q

p, q

Diskriminerande (Delta)

(q/2)^2 + (p/3)^3

Steg-för-steg matematisk uppdelning

01

Normalisera ekvationen

Dividera hela kubikekvationen med den ledande koefficienten a för att få en monisk ekvation.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

Ta bort den kvadratiska termen

Ersättare

x = t - b/(3a)
för att eliminera den kvadratiska termen och förskjuta böjningspunkten till y-axeln.

Ersättare: x = t - b/(3a)
03

Skaffa deprimerad kubik

Substitutionen resulterar i en "deprimerad" form utan termen t^2.

t^3 + pt + q = 0
04

Beräkna parametrar p, q och Delta

Beräkna de nedtryckta parametrarna och diskriminanten som bestämmer rotnaturen.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

Välj rätt fall

Identifiera rotnaturen baserat på Delta: Delta > 0 (1 reell, 2 komplex), Delta = 0 (repeterad reell) eller Delta < 0 (3 distinkta reella).

Avancerad observationDelta > 0: En riktig rot, två komplexa konjugat. Delta = 0: Flera riktiga rötter. Delta < 0: Tre distinkta verkliga rötter.

06

Applicera den matchande rotformeln

Använd Cardanos formel för fall 1, upprepade rotgenvägar för fall 2 eller den trigonometriska metoden för fall 3.

Avancerad observationVi väljer den algoritm som ger den högsta precisionen för det specifika diskriminantvärdet.

07

Konvertera från t tillbaka till x

När t har hittats, vänd på substitutionsskiftet för att hitta de slutliga rötterna x.

x = t - b/(3a)
08

Visa slutliga rötter och typ

Verifiera de beräknade rötterna och bekräfta det

f(x) \\approx 0
för varje rot.

f(x) \approx 0

Klassificering Sammanfattning

D+
Fall 1: Delta > 0
1 verklig, 2 komplex

En riktig rot och två komplexa konjugerade rötter. Löst via Cardanos kubrötter.

D0
Fall 2A: Delta = 0, p = q = 0
3 Lika Real

Det sällsynta fallet där alla tre rötterna kollapsar till en enda punkt (böjningspunkten).

R2
Fall 2B: Delta = 0 (p, q != 0)
1 enkel, 1 dubbel

En distinkt riktig rot och en upprepad riktig rot. Grafen är tangent till x-axeln.

D-
Fall 3: Delta < 0
3 Distinkt Real

Tre distinkta verkliga rötter. Den trigonometriska metoden ger den mest stabila lösningen.

Algoritmer som används

Cardanos formel

Används för Delta > 0. Använder kombinationer av kubrötter av reella tal.

Trigonometrisk form

Används för Delta < 0. Undviker 'Casus Irreducibilis' genom att använda cosinusfunktioner.

Upprepad rotväg

Används för Delta = 0. Förenklar beräkningen som u = v i Cardano-härledningen.

Metod vald automatiskt baserat på diskriminanten.

Algebraisk kontext

Att bemästra Cardano-Tartaglia-derivationen

Den grundläggande principen är att använda substitutionen

x = u + v
att omvandla kubik till en kvadratisk i termer av
u^3
 och
v^3
. När dessa väl hittats låses värdena för t och slutligen x upp.

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
Generisk ekvationsmall

Allmän kubisk struktur

Utgå från symboliska koefficienter a, b, c och d, härled sedan den reducerade formen och matchande rotgren.

Målproblem
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Skift värde
x = t - b/(3a)
Parameter sid
(3ac - b^2) / (3a^2)
Parameter q
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
Diskriminerande Delta
(q/2)^2 + (p/3)^3
Översikt över rotmönster

Det slutliga rotmönstret beror på Delta: positiv ger en riktig rot, noll ger upprepade riktiga rötter och negativ ger tre distinkta riktiga rötter.

xx1
xx2
xx3