Cubic Equation Solver WORKSPACE
Open menu
حل مكعب مخصص

حل المعادلات التكعيبية

حل المعادلات التكعيبية فقط. ابحث عن الجذور الحقيقية والمعقدة، واتبع الخطوات المبنية على كاردانو، واستكشف الرسم البياني المكعب.

أدخل المعاملات المكعبة

أدخل قيمًا لـ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

معاينة سير العمل

الإدخال على اليسار، والنتيجة على اليمين، والرسم البياني أدناه

وهذا يجعل من السهل فحص سير عمل الحل الأساسي: أدخل المعاملات، وراجع المكعب الذي تم حله، ثم قم بتأكيد كل شيء باستخدام الرسم البياني الموجود أسفله.

أدخل a وb وc وd في اللوحة اليسرى.
حل لملء ملخص النتيجة على اليمين.
استخدم الرسم البياني بالعرض الكامل أدناه لتأكيد السلوك المكعب.

الرسم البياني المكعب

معاينة الرسم البياني المباشر

يوجد الرسم البياني وملخص الحالة جنبًا إلى جنب بحيث يظل الشكل المكعب مقترنًا بقياساته الحية.

يظل الرسم البياني على اليسار بحيث يظل المنحنى هو المرساة المرئية الأساسية بينما تظل الحالات الموجودة على اليمين سهلة المسح.

دول الرسم البياني

ملخص مباشر

تقاطعات x الحقيقية

لا توجد تقاطعات x حقيقية

تقاطع Y

(0, 0)

نقطة انعطاف

(0, 0)

نقاط التحول

لا يوجد حد أقصى/دقيقة محلي

أمثلة مكعبة

الأسئلة الشائعة حول حل المكعب

ما هي المعادلة المكعبة؟

المعادلة التكعيبية هي معادلة متعددة الحدود من الدرجة الثالثة مكتوبة في الصورة المكعبة القياسية، حيث لا يمكن أن يكون المعامل الرئيسي صفرًا.

هل يمكن لهذا الحل إظهار جذور معقدة؟

نعم. إذا كانت المعادلة تحتوي على جذر حقيقي واحد وزوج مرافق معقد، فإن قسم النتائج يعرضهما بوضوح ويصنفهما على أنهما معقدان.

لماذا يعتبر المعامل مهمًا جدًا؟

إذا كانت a = 0، فإن المعادلة لم تعد مكعبة. تتحقق واجهة المستخدم من صحة ذلك على الفور وتشرح سبب عدم تمكن أداة الحل من المتابعة.

ماذا يظهر القسم خطوة بخطوة؟

إنه يلخص المعادلة الطبيعية، والتحويل المكعب المنخفض، والمميز، والتفسير النهائي بحيث يشعر الحل بالمزيد من الشفافية.
الطريقة التكعيبية العامة

كيف يعمل حل التكعيبية

يحافظ هذا القسم على تركيز الحل على المعادلات التكعيبية: تطبيع المعادلة، واختزالها إلى المكعب المنخفض، وتصنيف المميز، وتطبيق الطريقة التكعيبية المطابقة.

الخطوة 1

تطبيع المعادلة

ابدأ بالمعادلة التكعيبية العامة، وتأكد من أن المعامل الرئيسي ليس صفرًا، ثم اقسم كل حد على أ.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
الخطوة 2

إزالة الحد التربيعي

استخدم الاستبدال

x = t - b/(3a)
. هذا يحول المكعب الأصلي إلى المكعب المنخفض
t^3 + pt + q = 0
.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) x = t - b/(3a)
الخطوة 3

حساب التمييز

يخبرنا المميز بنوع الجذور التي يحتوي عليها المكعب وأي فرع من الطريقة يجب استخدامه.

Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
الخطوة 4

اختر الحالة المطابقة

مرة واحدة

Delta
كما هو معروف، نستخدم فرع كاردانو الحقيقي، أو اختصار الجذر المتكرر، أو النموذج المثلثي.

دلتا> 0: 1 حقيقي + 2 مركب دلتا = 0: الجذور الحقيقية المتكررة دلتا <0: 3 جذور حقيقية متميزة

كل حالة ممكنة

يتحكم التمييز في فرع الطريقة التكعيبية الذي ينطبق.

جذر حقيقي واحد وجذران مترافقان معقدان

الحالة 1: دلتا > 0

قم بحساب u وv من تعبيرات الجذر التكعيبي لكاردانو، وقم ببناء الجذور المكعبة الثلاثة المنخفضة من تلك القيم، ثم قم بالتحويل مرة أخرى باستخدام الإزاحة المعتادة.

جذر حقيقي ثلاثي

الحالة 2 أ: دلتا = 0 و p = 0، q = 0

ينهار المكعب المنخفض إلى قيمة واحدة متكررة، وبالتالي فإن الجذور الحقيقية الثلاثة تتطابق بعد الرجوع للخلف.

جذر حقيقي بسيط وجذر حقيقي مزدوج

الحالة 2 ب: دلتا = 0 لكن p وq ليسا صفرًا

تولد قيمة الجذر التكعيبي المفرد جذرًا حقيقيًا بسيطًا وجذرًا حقيقيًا متكررًا بعد الإزاحة العكسية.

ثلاثة جذور حقيقية متميزة

الحالة 3: دلتا <0

استخدم الصيغة المثلثية للتعبير عن الجذور الحقيقية الثلاثة من خلال زوايا جيب التمام، ثم قم بتحويلها مرة أخرى إلى x مع الإزاحة العكسية.

الصيغة العامة المدمجة

u = cbrt(-q/2 + sqrt(Delta)) v = cbrt(-q/2 - sqrt(Delta)) omega = (-1 + i*sqrt(3)) / 2 x1 = u + v - b/(3a) x2 = omega*u + omega^2*v - b/(3a) x3 = omega^2*u + omega*v - b/(3a)

هذا هو الشكل الجبري المغلق. متى

Delta < 0
, عادةً ما تكون النسخة المثلثية أسهل في الاستخدام عمليًا.

ملخص التصنيف

إذا كانت قيمة دلتا أكبر من 0، فإن المكعب له جذر حقيقي واحد وجذران مترافقان معقدان.
إذا كانت دلتا = 0 وp = q = 0، فإن المكعب له 3 جذور حقيقية متساوية.
إذا كانت دلتا = 0 لكن p وq ليسا صفرًا، فإن المكعب له جذر حقيقي بسيط واحد وجذر حقيقي مزدوج واحد.
إذا كانت دلتا <0، فإن المكعب له 3 جذور حقيقية متميزة.

قالب عام

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

اجعل الآلة الحاسبة عامة من خلال البدء من المعاملات الرمزية، ثم اشتق p وq وDelta من a وb وc وd.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3

بعد حساب دلتا، اختر كاردانو، أو اختصار الجذر المتكرر، أو الفرع المثلثي اعتمادًا على علامة دلتا.

إذا كانت قيمة دلتا أكبر من 0: هناك جذران حقيقيان وجذران معقدان إذا كانت دلتا = 0: الجذور الحقيقية المتكررة إذا كانت دلتا <0: ثلاثة جذور حقيقية متميزة

سير العمل العام: التطبيع، استبدال x = t - b/(3a)، حساب p، q، وDelta، اختيار الفرع الصحيح، ثم التحويل مرة أخرى من t إلى x.

ملخص جاهز للموقع

قدم الحل التكعيبي بهذا الترتيب: طبيع المعادلة، استبدل

x = t - b/(3a)
, بناء مكعب الاكتئاب
t^3 + pt + q = 0
, حساب ص، ف، و
Delta
, اختر الحالة الصحيحة، وطبق صيغة الجذر المطابقة، وقم بالتحويل من t مرة أخرى إلى x، ثم قم بإظهار الجذور النهائية مع نوع الجذر الخاص بها.

الدليل التعليمي

كيفية حل أ المعادلة التكعيبية

شرح كامل خطوة بخطوة لعملية الحل التكعيبي، بما في ذلك جميع الحالات الجذرية المحتملة والتحويلات الرياضية.

المنهجية متعددة المراحل

يقوم الحل أولاً بتطبيع المعادلة، وتحويلها إلى شكل مكعب منخفض، وحساب p وq والمميز، ثم يختار الطريقة الصحيحة اعتمادًا على الحالة الجذرية.

تطبيع المعادلة
إزالة الحد التربيعي
حساب التمييز
طريقة التصنيف

المعلمات المنطقية

نموذج تطبيع
x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + d/a = 0
نموذج الاكتئاب
t^3 + pt + q = 0
التحول (س = ر - التحول)

b/3a

المعلمات ص، ف

p, q

المميز (دلتا)

(q/2)^2 + (p/3)^3

خطوة بخطوة الانهيار الرياضي

01

تطبيع المعادلة

اقسم المعادلة المكعبة بأكملها على المعامل الرئيسي a لتحصل على معادلة أحادية.

x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0
02

إزالة الحد التربيعي

بديل

x = t - b/(3a)
لإزالة الحد التربيعي وتحويل نقطة الانقلاب إلى المحور الصادي.

بديل: x = t - b/(3a)
03

احصل على المكعب المكتئب

ينتج عن الاستبدال نموذج "منخفض" بدون المصطلح t^2.

t^3 + pt + q = 0
04

حساب المعلمات p و q و Delta

احسب المعلمات المنخفضة والمميز الذي يحدد طبيعة الجذر.

p = (3ac - b^2) / (3a^2) q = (27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3) Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3
05

اختر الحالة الصحيحة

حدد طبيعة الجذر بناءً على دلتا: دلتا > 0 (1 حقيقي، 2 مركب)، دلتا = 0 (حقيقي متكرر)، أو دلتا <0 (3 حقيقي مميز).

المراقبة المتقدمةدلتا> 0: جذر حقيقي واحد، واثنين من المرافقين المركبين. دلتا = 0: جذور حقيقية متعددة. دلتا <0: ثلاثة جذور حقيقية متميزة.

06

قم بتطبيق صيغة الجذر المطابقة

استخدم صيغة كاردانو للحالة 1، أو اختصارات الجذر المتكررة للحالة 2، أو الطريقة المثلثية للحالة 3.

المراقبة المتقدمةنختار الخوارزمية التي توفر أعلى دقة للقيمة المميزة المحددة.

07

تحويل من t إلى x

بمجرد العثور على t، قم بعكس إزاحة الاستبدال للعثور على الجذور النهائية x.

x = t - b/(3a)
08

إظهار الجذور النهائية والنوع

تحقق من الجذور المحسوبة وتأكد من ذلك

f(x) \\approx 0
لكل جذر.

f(x) \approx 0

ملخص التصنيف

D+
الحالة 1: دلتا > 0
1 ريال، 2 مجمع

جذر حقيقي واحد وجذران مترافقان معقدان. تم الحل عن طريق جذور كاردانو التكعيبية.

D0
الحالة 2 أ: دلتا = 0، ع = ف = 0
3 ريال متساوي

أندر حالة تنهار فيها الجذور الثلاثة في نقطة واحدة (نقطة الانعطاف).

R2
الحالة 2ب: دلتا = 0 (ع، ف! = 0)
1 بسيط، 1 مزدوج

جذر حقيقي واحد مميز وجذر حقيقي واحد متكرر. الرسم البياني مماس للمحور السيني.

D-
الحالة 3: دلتا <0
3 ريال مميز

ثلاثة جذور حقيقية متميزة. توفر الطريقة المثلثية الحل الأكثر استقرارًا.

الخوارزميات المستخدمة

صيغة كاردانو

يُستخدم لـ Delta > 0. يستخدم مجموعات من الجذور التكعيبية للأعداد الحقيقية.

النموذج المثلثي

يستخدم لـ Delta < 0. يتجنب 'Casus Irreducibilis' باستخدام وظائف جيب التمام.

مسار الجذر المتكرر

تستخدم لـ Delta = 0. يتم تبسيط العملية الحسابية حيث u = v في اشتقاق Cardano.

يتم تحديد الطريقة تلقائيًا بناءً على المُميز.

السياق الجبري

إتقان اشتقاق كاردانو-تارتاليا

المبدأ الأساسي هو استخدام الاستبدال

x = u + v
لتحويل المكعب إلى تربيعي من حيث
u^3
 و
v^3
. بمجرد العثور على هذه القيم، يتم فتح قيم t وأخيرًا x.

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
t^3 + pt + q = 0
قالب المعادلة العامة

الهيكل المكعب العام

ابدأ من المعاملات الرمزية a وb وc وd، ثم اشتق الشكل المختصر والفرع الجذري المطابق.

مشكلة الهدف
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
قيمة التحول
x = t - b/(3a)
المعلمة ص
(3ac - b^2) / (3a^2)
المعلمة ف
(27a^2d - 9abc + 2b^3) / (27a^3)
دلتا التمييز
(q/2)^2 + (p/3)^3
نظرة عامة على نمط الجذر

يعتمد نمط الجذر النهائي على دلتا: الموجب يعطي جذرًا حقيقيًا واحدًا، والصفر يعطي جذورًا حقيقية متكررة، والسالب يعطي ثلاثة جذور حقيقية متميزة.

xx1
xx2
xx3