أداة حل المعادلات التكعيبية المخصصة ذات الجذور الحقيقية والمعقدة وخطوات طريقة كاردانو والرسوم البيانية التكعيبية والأمثلة العملية.
حاسبة القسمة التركيبية
أدخل معاملات متعدد الحدود أعلاه وانقر على "إجراء القسمة التركيبية" لرؤية النتائج.Synthetic division is a streamlined algorithm for dividing a polynomial by a linear factor of the form (x − c). Instead of writing out full polynomial long division with variables and exponents, synthetic division uses only the coefficients arranged in a compact table, making it dramatically faster and less error-prone.
The process works by “cascading” multiplications and additions: bring down the leading coefficient, multiply by c, add to the next coefficient, multiply by c again, and repeat. The final number in the row is the remainder. If the remainder is zero, then c is a root and (x−c) is a factor. The remaining numbers form the quotient polynomial of one degree less.
Synthetic division serves dual purposes: division (finding the quotient when you know a factor) and evaluation (the remainder equals f(c) by the Remainder Theorem). This duality makes it an essential tool in the systematic root-finding process for cubics and higher-degree polynomials.
Quickly test whether a candidate value is a root by checking if the remainder is zero — much faster than substitution.
After finding one root, synthetic division reduces the cubic to a quadratic, enabling immediate use of the quadratic formula.
Students can verify factoring homework in seconds using the compact synthetic division format.
When dividing by (x + 3), the divisor value is −3, not +3. The sign convention often trips students up.
If a power is missing (e.g., no x² term), you MUST insert a 0 coefficient for that position.
Synthetic division only works for linear divisors (x − c). For quadratic or higher divisors, use polynomial long division.
| Divisor Form | (x − c) only |
| Remainder = 0 | c is a root, (x−c) is a factor |
| Remainder ≠ 0 | Remainder equals f(c) |
| Speed | ~3× faster than polynomial long division |
| Output | Quotient polynomial + remainder |
لا، القسمة التركيبية القياسية تعمل فقط بشكل مثالي للقسمة على ذوات الحدين الخطية في النموذج<span class="font-mono text-primary-700 bg-primary-50 px-1 rounded">س - ج</span>.
نعم. إذا كان مكعب الخاص بك هو<span class="font-mono text-primary-700 bg-primary-50 px-1 rounded">س³ - 7س + 6</span>، يجب عليك علاج<span class="font-mono text-primary-700 bg-primary-50 px-1 rounded">ײ</span>المعامل هو 0. تقوم الأداة تلقائيًا بمعالجة الأصفار المدخلة.
إذن فإن الرقم الذي اختبرته ليس جذرًا، ولكن الباقي يمثل التقييم رياضيًا<span class="font-mono text-primary-700 bg-primary-50 px-1 rounded">و (ص)</span>.
القسمة الاصطناعية هي اختصار يحذف جميع المتغيرات ويعمل فقط مع المعاملات. إنها أسرع وأقل عرضة للخطأ بالنسبة للمقسومات الخطية، لكن القسمة المطولة تتعامل مع أي درجة من المقسوم عليه.
نعم! إذا كان الباقي صفرًا بعد القسمة التركيبية، فإن الرقم الذي اختبرته هو بالفعل جذر كثيرة الحدود.
