Cubic Equation Solver
Spezieller kubischer Gleichungslöser mit reellen und komplexen Wurzeln, Schritten der Cardano-Methode, kubischer Grafik und ausgearbeiteten Beispielen.
Geben Sie kubische Koeffizienten und einen Divisor-Wert r ein, um eine schnelle synthetische Division durch (x − r) durchzuführen.
Berechnung: Rechner für synthetische Division
Rechner für synthetische Division
Geben Sie oben Ihre Polynomkoeffizienten ein und klicken Sie auf "Synthetische Division durchführen", um die Ergebnisse zu sehen.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
Die synthetische Teilung funktioniert, weil es sich um Horners verschachtelte, getarnte Bewertung handelt. Schreiben P(x) = ((aₙx + aₙ₋₁)x + aₙ₋₂)x + ... + a₀ zeigt, dass die Bewertung bei x = c muss nur wiederholt multipliziert werdenC-und-Schritte hinzufügen. Das Tableau führt genau diese Schritte aus, während es jedes Zwischenergebnis speichert, und diese gespeicherten Zwischenergebnisse erweisen sich als Quotientenkoeffizienten. Division und Auswertung sind dieselbe Berechnung, betrachtet aus zwei Blickwinkeln.
Die letzte Zahl des Tableaus ist der Rest und die Restsatz identifiziert es als P(c). Dies macht die synthetische Division zu zwei Werkzeugen in einem: einem Dividierer und einem Auswerter. Brauchen P(7) für ein Polynom vom Grad 6? Führen Sie das Tableau mit aus c = 7 and read the final entry. No powers to compute, no terms to add separately, just one clean cascade.
Bei einem Kubikmeter sinkt der Grad bei jeder erfolgreichen Division um eins, wodurch eine Deflationskette entsteht. Finden Sie eine rationale Wurzel mit dem Rationaler Wurzelsatz, dividiere es und das verbleibende Quadrat ergibt die quadratische Formel. Zwei Tableaus können daher eine vollständig faktorisierbare Kubik von Grund auf lösen. Diese Kette ist genau das, was die Faktorisierungsrechner automatisiert.
Das Tableau erfordert unbedingt einen monischen linearen Teiler (X − C). Für (2x − 3), schreibe es um als 2(x − 3/2): dividieren durch (X − 3/2) Teilen Sie dann jeden Quotientenkoeffizienten mit dem Tableau durch 2. Der Rest muss nicht angepasst werden. Das Vergessen dieser Korrektur ist der häufigste schwerwiegende Fehler und für alles, was über lineare Teiler hinausgeht, das ehrliche Werkzeug lange Teilung.
Paolo Ruffini veröffentlichte die Methode 1804 und William Horner unabhängig davon 1819, ihre eigentliche Karriere begann jedoch mit der Informatik. Horners verschachtelte Form braucht nur N Multiplikationen für einen AbschlussN Polynom statt O(n²), und es rundet eleganter als eine naive Term-für-Term-Bewertung. Jeder Taschenrechner und jeder Mathe-Chip wertet Polynome auf diese Weise aus, sodass das Tableau, das Sie von Hand zeichnen, derselbe Algorithmus ist, den Silizium milliardenfach pro Sekunde ausführt.
The Applications
Jeder rationale Kandidat aus dem rationalen Wurzelsatz benötigt ein kurzes Tableau zum Testen. Eine Null in der letzten Spalte bestätigt eine Wurzel in Sekunden, weshalb die Wurzelsuche immer die Kandidatengenerierung mit synthetischen Tests kombiniert.
Nach jeder bestätigten Wurzel wird die Quotientenzeile zum neuen Dividenden für die nächste Runde. Diese Deflationskaskade reduziert eine Kubik mechanisch zu einer Quadratischen, ohne dass es zu irgendeinem Zeitpunkt zu einer erneuten Längsteilung kommt.
Eine vollständige Längsteilung eines Würfels füllt eine halbe Seite; Das Tableau passt in zwei Zeilen. Bei Hausaufgaben und Prüfungen bedeutet diese sparsame Schreibweise auch, dass sich Gebärdenfehler weniger verstecken können.
Erstellen einer Wertetabelle für grafische Darstellung bedeutet, P(c) wiederholt auszuwerten. Bei jeder Auswertung handelt es sich um ein einziges Tableau, was viel schneller geht, als wenn man sie Term für Term in die erweiterte Form einfügt.
Iterative Löser wie die Newton-Methode erfordern, dass P(x) und P′(x) bei jedem Schritt ausgewertet werden. Die Bewertung im Horner-Stil, der Motor innerhalb der synthetischen Abteilung, ist die standardmäßige schnelle und stabile Wahl.
The Cautions
Verwendung des falschen Vorzeichens für c: Der Teiler (x + 3) bedeutet c = -3, nicht 3. Lesen Sie den Teiler als (x - c) und lösen Sie jedes Mal nach c auf.
Keine Platzhalter vergessen: In x³ - 8 fehlen die Terme x² und x, aber ihre Spalten sind noch vorhanden. Schreiben Sie 1, 0, 0, -8 oder jede Spalte verschiebt sich und die Antwort ist Müll.
Anwendung auf nichtlineare Teiler: Das Tableau funktioniert nur für Teiler der Form (x – c). Für quadratische Operationen oder höher verwenden Sie stattdessen die Polynom-Langdivision.
Die Quotientenzeile wurde falsch interpretiert: Die untere Reihe hat eine Koeffizientengruppe weniger als die obere Reihe. Die letzte Zahl ist der Rest, nicht Teil des Quotienten; sein Grad beginnt um eins niedriger als die Dividende.
Anspruch auf einen Faktor aus einem Rest ungleich Null: Nur ein Null-Rest beweist, dass (x – c) ein Faktor ist. Ein Rest ungleich Null ist immer noch nützlich, er entspricht P(c), aber die Division war nicht exakt.
The Reference
The Questions
Ein Polynom schnell durch (x - c) dividieren und als Bonus P(c) auswerten. Es ersetzt die lange Division, wenn der Divisor linear und monisch ist, was die meisten manuellen Berechnungen abdeckt.
Wenn der Teiler nicht die Form (x - c) hat: Quadratische Zahlen, Teiler höheren Grades oder nichtmonische lineare Zahlen müssen angepasst werden. Nutzen Sie unsere Rechner für lange Divisionen für die.
Es ist der Rest, und durch die Restsatz es ist gleich P(c). Null bedeutet, dass (x – c) ein Faktor ist.
Verwenden Sie c = -5. Schreiben Sie den Divisor immer zuerst in (x - c) um und lesen Sie c sorgfältig ab.
Faktorisieren Sie die 3, um 3(x - 2/3) zu erhalten, führen Sie das Tableau mit c = 2/3 durch und dividieren Sie dann die Quotientenkoeffizienten durch 3.
Jede Potenz von x besitzt eine Spalte. Durch das Überspringen eines fehlenden Begriffs werden alle späteren Spalten nach links verschoben und das gesamte Tableau beschädigt.
Ja, für lineare Teiler führt es identische Arithmetik aus, wobei die x entfernt wurden, etwa die Hälfte der Schrift und weitaus weniger Vorzeichenfehler.
It tests candidates but does not invent them. Generate candidates with the Rationaler Wurzelsatz, dann lassen Sie die synthetische Division jeden einzelnen beurteilen.
