Cubic Equation Solver
Специализиран инструмент за решаване на кубични уравнения с реални и комплексни корени, стъпки на метода Cardano, кубични графики и работещи примери.
Въведете коефициентите на куба и стойността на делителя r, за да извършите бързо синтетично деление на (x − r).
Изчисляване: Калкулатор за синтетично деление
Калкулатор за синтетично деление
Въведете вашите полиномни коефициенти по-горе и щракнете върху „Извършете синтетично деление“, за да видите резултатите.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
Синтетичното разделяне работи, защото е вложена оценка на Horner, носеща прикритие. Писане P(x) = ((aₙx + aₙ₋₁)x + aₙ₋₂)x + ... + a₀ показва, че оценяването на x = c има нужда само от многократно умножение по-c-и-добавете стъпки. Таблицата изпълнява точно тези стъпки, докато записва всеки междинен резултат и тези запазени междинни резултати се оказват частните коефициенти. Разделянето и оценяването са едно и също изчисление, гледано от два ъгъла.
Последното число от таблицата е остатъкът, а теорема за остатъка го идентифицира като P(c). Това прави синтетичното разделяне два инструмента в едно: разделител и оценител. нужда P(7) за полином от степен 6? Стартирайте таблицата с c = 7 и прочетете последния запис. Без правомощия за изчисляване, без условия за добавяне отделно, само една чиста каскада.
За куб, всяко успешно деление намалява степента с единица, създавайки дефлационна верига. Намерете един рационален корен с теорема за рационален корен, разделяме го и останалото квадратно се дава на квадратната формула. Следователно две таблици могат да решат напълно факторируем куб от нулата. Тази верига е точно това, което калкулатор за факторизация автоматизира.
Таблицата стриктно изисква моничен линеен делител (x − в). За (2 пъти − 3), пренапишете го като 2 (x − 3/2): разделете на (x − 3/2) с таблицата, след това разделете всеки частен коефициент на 2. Остатъкът не се нуждае от корекция. Забравянето на тази корекция е най-честата сериозна грешка и за всичко извън линейните делители честният инструмент е long division.
Паоло Руфини публикува метода през 1804 г. и Уилям Хорнър независимо през 1819 г., но истинската му кариера започва с изчисленията. Вложената форма на Horner се нуждае само от п умножение за степен-п полином вместо O(n²), и се закръгля по-грациозно от наивното оценяване по термин. Всеки джобен калкулатор и математически чип изчислява полиномите по този начин, така че таблицата, която рисувате на ръка, е същият алгоритъм, който силиконът изпълнява милиарди пъти в секунда.
The Applications
Всеки рационален кандидат от теоремата за рационалния корен взема една кратка таблица за тестване. Нула в последната колона потвърждава корен за секунди, поради което търсенето на корен винаги съчетава генерирането на кандидат със синтетично тестване.
След всеки потвърден корен редът на коефициента става новият дивидент за следващия кръг. Тази дефлационна каскада редуцира кубическата до квадратична механично, без ново дълго деление на нито един етап.
Пълно дълго деление на куб запълва половин страница; картината се побира в два реда. За домашните и изпитите тази икономия на писане също означава по-малко места за скриване на грешки в знаците.
Изграждане на таблица със стойности за изготвяне на графики означава многократно оценяване на P(c). Всяка оценка е една таблица, много по-бърза от заместването в разширената форма термин по термин.
Итеративните програми за решаване като метода на Нютон се нуждаят от оценка на P(x) и P′(x) на всяка стъпка. Оценката в стил Horner, двигателят в синтетичното подразделение, е стандартният бърз и стабилен избор.
The Cautions
Използване на грешен знак за c: Делителят (x + 3) означава c = -3, а не 3. Прочетете делителя като (x - c) и решавайте за c всеки път.
Забравяне на нулеви заместители: В x³ - 8 членовете x² и x липсват, но техните колони все още съществуват. Напишете 1, 0, 0, -8 или всяка колона се измества и отговорът е боклук.
Прилагане към нелинейни делители: Таблицата работи само за делители на формата (x - c). За квадратни или по-високи вместо това използвайте полиномно дълго деление.
Неправилно прочитане на частния ред: Долният ред има една група коефициенти по-малко от горния ред. Последното число е остатъкът, а не част от частното; неговата степен започва с една по-ниска от дивидента.
Claiming a factor from a nonzero remainder: Само нулев остатък доказва, че (x - c) е фактор. Ненулев остатък все още е полезен, той е равен на P(c), но делението не е точно.
The Reference
The Collection
The Questions
Бързо деление на полином на (x - c) и като бонус оценяване на P(c). Той замества дългото деление, когато делителят е линеен и моничен, което покрива повечето ръчни изчисления.
When the divisor is not of the form (x - c): quadratics, higher-degree divisors, or non-monic linears need adjustment. Use our калкулатор за дълго деление за тези.
Това е остатъкът и от теорема за остатъка то е равно на P(c). Нулевото означава (x - c) е фактор.
Use c = -5. Always rewrite the divisor as (x - c) first and read c off carefully.
Извадете 3-те, за да получите 3(x - 2/3), изпълнете таблицата с c = 2/3, след което разделете частните коефициенти на 3.
Всяка степен на x притежава колона. Пропускането на липсващ термин измества всички следващи колони наляво и поврежда цялата таблица.
Да, за линейни делители той извършва идентична аритметика с премахване на x, приблизително половината от записа и много по-малко пропуски на знаци.
Тества кандидатите, но не ги измисля. Генерирайте кандидати с теорема за рационален корен, тогава нека синтетичното разделение прецени всеки един.
