Cubic Equation Solver
Solucionador de ecuaciones cúbicas dedicado con raíces reales y complejas, pasos del método Cardano, gráficas cúbicas y ejemplos resueltos.
Ingrese los coeficientes de la cúbica y un valor del divisor r para realizar una división sintética rápida por (x - r).
Cálculo: Calculadora de División Sintética
Calculadora de División Sintética
Ingrese los coeficientes de su polinomio arriba y haga clic en "Realizar división sintética" para ver los resultados.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
La división sintética funciona porque es la evaluación anidada de Horner disfrazada. Escribiendo P(x) = ((aₙx + aₙ₋₁)x + aₙ₋₂)x + ... + a₀ muestra que evaluar en x = c sólo necesita repetirse multiplicar por-c-y-agregar pasos. El cuadro realiza exactamente estos pasos mientras guarda cada resultado intermedio, y esos intermedios guardados resultan ser los coeficientes del cociente. La división y la evaluación son el mismo cálculo visto desde dos ángulos.
El último número del cuadro es el resto, y el teorema del resto lo identifica como Ordenador personal). Esto hace que la división sintética sea dos herramientas en una: un divisor y un evaluador. Necesidad P(7) para un polinomio de grado 6? Ejecute el cuadro con c = 7 y lea la entrada final. No hay poderes que calcular, ni términos que agregar por separado, solo una cascada limpia.
En el caso de una cúbica, cada división exitosa reduce el grado en uno, lo que produce una cadena de deflación. Encuentre una raíz racional con la teorema de la raíz racional, divídelo y el resto de la ecuación cuadrática da como resultado la fórmula cuadrática. Por lo tanto, dos cuadros pueden resolver una cúbica completamente factorizable desde cero. Esta cadena es precisamente lo que calculadora de factorización automatiza.
El cuadro requiere estrictamente un divisor lineal mónico (incógnita − do). Para (2x − 3), reescríbelo como 2(x) − 3/2): dividir por (incógnita − 3/2) con el cuadro, luego divide cada coeficiente del cociente por 2. El resto no necesita ajuste. Olvidar esta corrección es el error grave más común y, para cualquier cosa que vaya más allá de los divisores lineales, la herramienta honesta es división larga.
Paolo Ruffini publicó el método en 1804 y William Horner de forma independiente en 1819, pero su verdadera carrera comenzó con la informática. La forma anidada de Horner sólo necesita n multiplicaciones por un gradonorte polinomio en lugar de O(n²), y redondea con más gracia que la ingenua evaluación término por término. Cada calculadora de bolsillo y chip matemático evalúa polinomios de esta manera, por lo que el cuadro que dibujas a mano es el mismo algoritmo que el silicio ejecuta miles de millones de veces por segundo.
The Applications
Cada candidato racional del teorema de la raíz racional necesita un cuadro breve para probar. Un cero en la última columna confirma una raíz en segundos, razón por la cual la búsqueda de raíces siempre combina la generación de candidatos con pruebas sintéticas.
Después de cada raíz confirmada, la fila del cociente se convierte en el nuevo dividendo para la siguiente ronda. Esta cascada de deflación reduce mecánicamente una cúbica a una cuadrática, sin una nueva división larga en ninguna etapa.
Una división larga y completa de un cúbico ocupa media página; el cuadro cabe en dos líneas. Para las tareas y los exámenes, esa economía de escritura también significa menos lugares donde se pueden esconder los errores de señas.
Construyendo una tabla de valores para graficando significa evaluar P(c) repetidamente. Cada evaluación es un cuadro, mucho más rápido que sustituir en la forma ampliada término por término.
Los solucionadores iterativos como el método de Newton necesitan evaluar P(x) y P′(x) en cada paso. La versión estilo Horner, el motor dentro de la división sintética, es la opción estándar, rápida y estable.
The Cautions
Usar el signo incorrecto para c: El divisor (x + 3) significa c = -3, no 3. Lee el divisor como (x - c) y resuelve c cada vez.
Olvidar cero marcadores de posición: En x³ - 8, faltan los términos x² y x, pero sus columnas aún existen. Escriba 1, 0, 0, -8 o cada desplazamiento de columna y la respuesta es basura.
Aplicar a divisores no lineales: El cuadro sólo funciona para divisores de la forma (x - c). Para cuadráticas o superiores, utilice en su lugar la división larga polinomial.
Leer mal la fila del cociente: La fila inferior tiene un grupo de coeficientes menos que la fila superior. El último número es el resto, no parte del cociente; su grado comienza uno por debajo del dividendo.
Reclamar un factor de un resto distinto de cero: Sólo un resto cero prueba que (x - c) es un factor. Un resto distinto de cero sigue siendo útil, es igual a P(c), pero la división no fue exacta.
The Reference
The Collection
The Questions
Dividir un polinomio entre (x - c) rápidamente y, como beneficio adicional, evaluar P(c). Reemplaza la división larga siempre que el divisor sea lineal y mónico, lo que cubre la mayoría de los cálculos manuales.
Cuando el divisor no tiene la forma (x - c): las cuadráticas, los divisores de grado superior o los lineales no mónicos necesitan ajuste. Utilice nuestro calculadora de división larga para esos.
It is the remainder, and by the teorema del resto es igual a P(c). Cero significa que (x - c) es un factor.
Utilice c = -5. Siempre reescribe primero el divisor como (x - c) y lee c con atención.
Factor out the 3 to get 3(x - 2/3), run the tableau with c = 2/3, then divide the quotient coefficients by 3.
Cada potencia de x posee una columna. Omitir un término faltante desplaza todas las columnas posteriores hacia la izquierda y corrompe todo el cuadro.
Sí, para divisores lineales realiza una aritmética idéntica con las x eliminadas, aproximadamente la mitad de la escritura y muchos menos errores de signo.
Prueba a los candidatos pero no los inventa. Generar candidatos con la teorema de la raíz racional, luego deja que la división sintética juzgue cada uno.
