The Solution
計算: 組み立て除法計算機
組み立て除法計算機
上に多項式係数を入力し、「合成除算を実行」をクリックして結果を表示します。解くとグラフがここに表示されます。
Cubic Equation Solver
組み立て除法計算機
実根および複素根を備えた専用の三次方程式ソルバー、Cardano メソッドのステップ、三次グラフ作成、および実際の例。
The Equation
Enter (x − r) による高速合成除算を実行するには、3 次の係数と除数値 r を指定します。
f(x) = 0 = 0
The Treatise
什么是組み立て除法計算機?
- 学生の場合: 合成除算は、多項式を除算するためのショートカット テーブルです。 x を使った長い除算には何行も書く必要があります。合成除算は、小さなグリッドに配置された数値だけで同じ仕事をし、掛けたり足したりすることができます。書くことは少なくなり、同じ答えになります。
- 大学生の場合: 多項式を線形約数で割るルフィニの法則です (x − c)。係数を連続して書き込み、最初の係数を取り除き、それを繰り返します。乗算します。 c、次の係数に加算します。一番下の行は、商の係数とそれに続く剰余を示します。 P(c) によって 剰余定理.
- 上級読者向け: タブローはホーナーの手法です。 の上） 多項式評価を除算として再構成しました。書き込み P(x) = ((aₙx + aₙ₋₁)x + ...)x + a₀、各乗算と加算により、ネストの 1 レベルが剥がされます。この形式は単純な項ごとの評価よりも数値的に安定しており、テイラー シフトの基礎となります。 P(x + h) コンピューター代数で。
- 実際にそれが重要な理由: かどうかをテストする x = 2 ルートは完全な除算ではなく、1 つの短いタブローを取ります。の候補者と連鎖させます。 有理根定理 そして成功するたびに多項式が収縮します。これがまさに私たちのやり方です。 因数分解計算機 動作します。非線形除数の場合は、に切り替えます。 長い分割.
The Formula
公式 / 方法
- 一般的な形式: のために P(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀ で割る (x − c)、タブロー c | aₙ aₙ₋₁ ... a₀ 商係数を生成します bₙ₋₁ ... b₀ そして残り r、ここでそれぞれ ぼ 乗算から来ています-c- そして追加します。
- ショートカット: 最後のエントリは剰余であり、次の値と等しくなります。 P(c) 直接。したがって、合成除算では多項式も評価されるため、個別の置換は必要ありません。
- 結果を読む: 下の行には上の行よりも 1 つ少ない係数グループがあります。これらは商の係数で、最後の数値は剰余です。ゼロの剰余は、 (x − c) 要因です。
- よくある罠: 除数は次の形式でなければなりません (x − c)。のために (x + 3) 使用 c = −3。のために (2x − 1)、まず 2 を因数分解して、次の値で割ります。 (x − 1/2)、商を調整します。
The Method
使い方
- ステップ1. 被除数の係数を降順で書き込み、x のべき乗が不足している場合は 0 を挿入します。
- ステップ2。 読む c 除数から (x − c)、標識を注意深く見てください。
- ステップ3。 「除算」を押して表に従ってください: 引き下げ、乗算 c、追加、繰り返します。
- ステップ4。 商と余りを読みます。余りがゼロの場合、 (x − c) は要素であり、 因数分解計算機.
主な特徴
- 表示されているすべての乗算と加算のステップを含む完全なタブローを表示します。
- ゼロの余りを自動的に検出し、除数を係数としてフラグを立てます。
- 列が移動しないように、欠落している用語にゼロのプレースホルダーを挿入します。
- 副産物として P(c) をレポートし、高速評価機能も兼ねます。
- キュービックの分割をチェーンし、一度に 1 度ずつ収縮させます。
The Illustration
視覚的図
例の概念
分ける x3 − 6x² + 11x − 6 による (x − 1)、 それで c = 1。係数: 1, −6, 11, −6。
1 を下に置きます。次を掛けます。 1 × 1 = 1。に追加 −6: −5。乗算: −5 × 1 = −5。 11 に加算: 6. 乗算: 6 × 1 = 6。に追加 −6：0。
一番下の行: 1, −5, 6 | 0。商 x² − 5倍 + 6、余りは0なので、 (x − 1) 要因です。確認する： (x − 1)(x² − 5x + 6) = x3 − 6x² + 11x − 6、元の多項式。
The Deep Dive
対話型ディープダイブ
合成分割が機能するのは、それが偽装をしたホーナーの入れ子評価であるためです。書き込み P(x) = ((aₙx + aₙ₋₁)x + aₙ₋₂)x + ... + a₀ で評価することを示します x = c 乗算を繰り返すだけで済みますc-そして、ステップを追加します。タブローは、各中間結果を保存しながらこれらのステップを正確に実行し、保存された中間結果が商係数になります。除算と評価は、2 つの角度から見ると同じ計算です。
タブローの最後の数字は余りであり、 剰余定理 identifies it as P(c)。これにより、合成除算は、除算器と評価器という 2 つのツールが 1 つになったものになります。必要 P(7) 6次多項式の場合はどうなるでしょうか？タブローを実行する c = 7 そして最後のエントリを読んでください。計算する能力や項を個別に追加する必要はなく、クリーンなカスケードが 1 つだけあります。
三次関数の場合、分割が成功するたびに次数が 1 ずつ下がり、デフレの連鎖が生じます。次の方法で 1 つの有理根を見つけます。 有理根定理、それを除算すると、残りの 2 次式が 2 次式になります。したがって、2 つのタブローを使用すると、完全に因数分解可能な 3 次を最初から解くことができます。この連鎖こそが、 因数分解計算機 自動化します。
タブローにはモニック線形除数が厳密に必要です (x − c)。のために (2x − 3)、次のように書き換えます 2(x − 3/2): で割る (x − 3/2) タブローを使用して、すべての商係数を 2 で割ります。剰余は調整する必要がありません。この修正を忘れることは最も一般的な重大なエラーであり、線形約数を超えるものについては、誠実なツールが次のとおりです。 長い分割.
Paolo Ruffini は 1804 年にこの手法を発表し、William Horner は 1819 年に独立してこの手法を発表しましたが、その本当のキャリアはコンピューティングから始まりました。 Horner のネストされた形式に必要なのは、 n 学位を求める乗算 -n 代わりに多項式 O(n²)、単純な用語ごとの評価よりも適切に丸められます。すべての電卓や数学チップはこの方法で多項式を評価するため、手で描くタブローは、シリコンが 1 秒間に数十億回実行するのと同じアルゴリズムです。
The Applications
実世界での応用
🔎
ルートテスト
有理根定理からの各有理候補は、テストに 1 つの短いタブローを必要とします。最後の列のゼロは数秒でルートを確認します。そのため、ルート ハンティングでは常に候補の生成と合成テストが組み合わされます。
📝
多項式のリダクション
ルートが確認されるたびに、商の行が次のラウンドの新しい配当になります。この収縮カスケードは、どの段階でも新たな長い分割を行わずに、3 次関数を 2 次関数に機械的に縮小します。
🎓
宿題の効率化
立方体の完全な分割はページの半分を占めます。タブローは 2 行に収まります。宿題や試験の場合、書く手間が省けるということは、サインミスが隠れる場所が少なくなるということにもなります。
⚡
数値的手法
ニュートン法のような反復ソルバーでは、各ステップで P(x) と P'(x) を評価する必要があります。 Horner スタイルの評価、合成部門内のエンジンは、標準的な高速で安定した選択肢です。
The Cautions
避けるべきよくある間違い
MISTAKE Nº 1
c に間違った符号を使用している: 除数 (x + 3) は、3 ではなく c = -3 を意味します。除数を (x - c) として読み取り、毎回 c を求めます。
MISTAKE Nº 2
ゼロのプレースホルダーを忘れる: x³ - 8 では、x² および x 項が欠落していますが、それらの列はまだ存在します。 1、0、0、-8 を書くか、すべての列をシフトすると、答えはゴミになります。
MISTAKE Nº 3
非線形約数への適用: このタブローは、(x - c) の形式の約数に対してのみ機能します。二次関数以上の場合は、代わりに多項式の除算を使用してください。
MISTAKE Nº 4
商の行の読み間違い: 下の行には、上の行よりも 1 つ少ない係数グループがあります。最後の数値は商の一部ではなく、余りです。その次数は配当よりも 1 つ低く始まります。
MISTAKE Nº 5
ゼロ以外の剰余から因数を要求する: 剰余がゼロの場合のみ、(x - c) が因数であることが証明されます。ゼロ以外の剰余は依然として有用であり、P(c) に等しくなりますが、除算は正確ではありませんでした。
The Reference
クイックリファレンス表
クイックリファレンス表REF
除数フォーム(x − c) のみ
余り = 0c はルート、(x−c) は要因です
残り ≠ 0剰余は f(c) に等しい
こんな方に最適線形除数。長い分割よりもはるかに少ない書き込み
出力商多項式 + 剰余
The Questions
よくある質問
合成除算は実際何のためにあるのでしょうか? +
多項式を (x - c) ですばやく除算し、おまけに P(c) を評価します。除数が線形かつモニックである場合は必ず長除算が置き換えられ、手作業による計算の大部分がカバーされます。
使えなくなるのはどんなとき？ +
約数が (x - c) の形式ではない場合: 2次関数、より高次の約数、または非モニック線形は調整が必要です。弊社の 長い除算の計算機 そんな方のために。
最後の数字は何を意味しますか? +
それは残りであり、 剰余定理 それは P(c) に等しい。ゼロは、(x - c) が因数であることを意味します。
(x + 5) で割るにはどうすればよいですか? +
c = -5 を使用します。必ず最初に除数を (x - c) に書き換えて、c を注意深く読み取ってください。
How do I divide by (3x - 2)? +
3 を因数分解して 3(x - 2/3) を取得し、c = 2/3 でタブローを実行し、商の係数を 3 で割ります。
欠落している用語にゼロを挿入する必要があるのはなぜですか? +
x のすべてのべき乗が列を所有します。欠落している用語をスキップすると、後続のすべての列が左に移動し、タブロー全体が破損します。
本当に長い除算より速いのでしょうか？ +
はい、線形除数の場合、x を取り除いた同一の演算を実行し、書き込みのおよそ半分が実行され、符号のずれがはるかに少なくなります。
自力で根を見つけることができるでしょうか？ +
候補者をテストしますが、候補者を発明するわけではありません。で候補を生成します 有理根定理, 次に、合成部門にそれぞれを判断させます。