حاسبة مبرهنة الجذر النسبي

والدليل هو حجة القسمة. يفترض p/q in lowest terms satisfies aₙ(p/q)ⁿ + ... + a₀ = 0. Clearing denominators gives aₙpⁿ + aₙ₋₁pⁿ⁻¹q + ... + a₀qⁿ = 0. Every term except أ₀قⁿ يحتوي على عامل ص, so ص يقسم أ₀قⁿ; منذ جي سي دي (ع، ف) = 1, ع | أ₀. حجة المرآة على الطرف الآخر تعطي ف | أₙ. سطرين قابلين للقسمة، وينهار البحث اللانهائي إلى قائمة محدودة.

تستحق الحالة مونيك تسليط الضوء عليها: عندما يكون المعامل الرئيسي 1، يكون كل مقام q must divide 1, so q = ±1 and all rational roots are integers dividing the constant term. This is why textbook problems feel easy: they are almost always monic. The moment a problem like 6x³ − 5x² − 2x + 1 appears, the fractional candidates return, and the full theorem earns its keep.

يمكن للمعاملات الكبيرة أن تنتج قوائم شاقة، وأحياناً مئات المرشحين. اختبر بذكاء: جرب الأعداد الصحيحة الصغيرة أولًا، نظرًا لأن المشكلات غالبًا ما يتم إنشاؤها باستخدامها. استخدم الحد الذي تقع فيه جميع الجذور الحقيقية 1 + max|aᵢ/aₙ| to skip absurd values. And remember you may stop the moment you have found as many roots as the degree, each confirmed root deflating the problem via الانقسام الاصطناعي. عادة مفيدة هي الاختبار ±1 first: they are the cheapest evaluations and surprisingly often hit in constructed problems.

يقول ليما غاوس أن العوامل متعددة الحدود ذات العدد الصحيح البدائي قد انتهت س بالضبط عندما تنتهي الأمور ز. نظرية الجذر العقلاني هي هذه النقطة في الدرجة الأولى: العامل الخطي انتهى س يمكن مسحها إلى عامل خطي ز، الذي جذره هو ص / س تصف النظرية. وهذا هو السبب في أن أساليب معامل الأعداد الصحيحة تكون كاملة من الناحية النظرية للأسئلة العقلانية، وهي حقيقة تعتمد عليها أنظمة الجبر الحاسوبية باستمرار.

النظرية صامتة بشأن كل ما لا تغطيه: الجذور غير المنطقية مثل ∛2 ولا تظهر الجذور المعقدة أبدًا في قائمة المرشحين. س³ − 2 = 0 لديه مرشحين ±1, ±2، كل الإخفاقات، ولكن الجذر الحقيقي ∛2 ≈ 1.26 موجود. عندما تفشل القائمة الكاملة، قم بتبديل الأدوات: تمييزي يصنف أنواع الجذر، طريقة كاردانو يعطي نماذج مغلقة، و حاسبة الجذور يعطي القيم.