Cubic Equation Solver
Специальный решатель кубических уравнений с действительными и комплексными корнями, этапы метода Кардано, построение кубических графиков и рабочие примеры.
Введите целые коэффициенты, чтобы найти все возможные кандидаты на рациональные корни с помощью теоремы ±p/q.
Расчет: Калькулятор теоремы о рациональных корнях
Калькулятор теоремы о рациональных корнях
Введите коэффициенты полинома выше и нажмите «Найти кандидатов на рациональные корни», чтобы увидеть результаты.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
Доказательством является аргумент делимости. Предполагать p/q в самых низких условиях удовлетворяет аₙ(п/д)ⁿ + ... + а₀ = 0. Очистка знаменателей дает aₙpⁿ + aₙ₋₁pⁿ⁻¹q + ... + a₀qⁿ = 0. Каждый термин, кроме а₀qⁿ содержит коэффициент п, так п делит а₀qⁿ; с НОД(p, q) = 1, р | а₀. Зеркальный аргумент на другом конце дает д | аₙ. Две строки делимости, и бесконечный поиск сворачивается в конечный список.
Монический случай заслуживает внимания: когда старший коэффициент равен 1, каждый знаменатель д должен разделить 1, поэтому q = ±1 и все рациональные корни являются целыми числами, делящими постоянный член. Вот почему задачи из учебников кажутся простыми: они почти всегда моники. В тот момент, когда проблема типа 6x³ − 5x² − 2x + 1 Оказывается, дробные кандидаты возвращаются, и полная теорема сохраняет свое значение.
Большие коэффициенты могут привести к созданию устрашающих списков, иногда сотен кандидатов. Тестируйте с умом: сначала пробуйте небольшие целые числа, поскольку с ними часто возникают проблемы. Используйте границу, внутри которой лежат все действительные корни. 1 + макс|aᵢ/aₙ| пропускать абсурдные значения. И помните, что вы можете остановиться в тот момент, когда найдете столько корней, сколько нужно степени, причем каждый подтвержденный корень снижает проблему через synthetic division. Полезная привычка — тестирование ±1 во-первых: это самые дешевые оценки, и они на удивление часто попадают в построенные задачи.
Лемма Гаусса гласит, что примитивный целочисленный многочлен размножается по вопрос именно тогда, когда это имеет значение З. Теорема о рациональном корне представляет собой эту лемму в первой степени: линейный множитель по вопрос может быть очищен до линейного коэффициента по З, корень которого является цена за квартал теорема описывает. Вот почему методы целочисленных коэффициентов теоретически полны для решения рациональных вопросов, и на этот факт системы компьютерной алгебры постоянно полагаются.
Теорема умалчивает обо всем, что она не охватывает: иррациональные корни типа ∛2 а сложные корни никогда не появляются в списке кандидатов. х³ − 2 = 0 есть кандидаты ±1, ±2, все неудачи, но настоящий корень ∛2 ≈ 1.26 существует. Если полный список не удается, переключите инструменты: дискриминант классифицирует типы корней, Метод Кардано дает закрытые формы, а калькулятор корней дает значения.
The Applications
Прежде чем браться за тяжелую технику, потратьте две минуты на список кандидатов. Большая часть кубиков для соревнований, экзаменов и учебников построена на основе рациональных корней, и найти их вручную быстрее, чем любую формулу.
Эксперты любят моники-кубы именно потому, что применим сокращенный вариант целочисленных кандидатов. Знание теоремы превращает «решение кубики» в быстрое упражнение на делимость, за которым следует рутинное тестирование.
Алгоритмы поиска корней в компьютерной алгебре открываются с помощью теста рационального корня: точные рациональные корни дешевле, чем любая числовая итерация, поэтому список кандидатов всегда исчерпывается до того, как начинается Ньютон или деление пополам. Один найденный здесь точный корень — это на одно измерение меньше для численного решателя.
Символьные системы сначала изолируют рациональные корни, чтобы уменьшить полином, уменьшая проблему, прежде чем развертывать дорогостоящие точные решатели, такие как Метод Кардано.
В инженерии исключение хороших корней за считанные секунды говорит вам, стоит ли ожидать чистой замкнутой формы или немедленно обратиться к численным методам, экономя усилия на обреченных точных попытках.
The Cautions
Забываем отрицательных кандидатов: Каждый фактор p и q имеет знак ±. Корень -3/2 упускают из виду все, кто тестирует только положительных кандидатов.
Не сокращая дроби: Кандидаты должны быть в самых низких условиях. Тестирование 2/4 после тестирования 1/2 удваивает работу при отсутствии новой информации.
Путаница, что что делит: Числители p делят постоянный член; знаменатели q делят старший коэффициент. Их замена создает список, который никогда не обещала теорема.
Предполагая, что каждый кандидат является корнем: В списке указаны подозреваемые, а не осужденные. Каждый кандидат должен быть проверен, обычно путем замены или синтетического деления, прежде чем он получит корневой статус.
Игнорирование ведущего коэффициента: Когда a ≠ 1, появляются дробные кандидаты, такие как ±3/2. При тестировании только целых чисел в немонической задаче можно пропустить каждый корень.
The Reference
The Collection
The Questions
No. The cubic x³ - 2 has none at all; its real root ∛2 is irrational. The theorem lists candidates, it does not guarantee winners.
Знаменатель корня в младших членах должен делить старший коэффициент так же, как числитель должен делить постоянный член. Оба ограничения вытекают из одного и того же доказательства.
Максимум (делители постоянного члена) × (делители старшего коэффициента), считая ± один раз, минус дубликаты из несокращаемых дробей.
Нет. Остановитесь, как только найдете столько корней, сколько степень. Каждая находка также снижает полином через синтетический отдел, shrinking later tests, and the quadratic formula finishes whatever remains.
Корни иррациональны или сложны. Используйте калькулятор кубических корней for values and the дискриминант для их типов. Пустой результат-кандидат сам по себе является информацией: он исключает простые случаи.
Сначала умножьте, чтобы превратить десятичные дроби в целые числа, а затем примените теорему к масштабированному многочлену.
Потому что тогда каждый рациональный корень представляет собой целое число, делящее постоянный член, что позволяет сделать списки кандидатов короткими и сделать ручное тестирование приятным.
Да. Любое соотношение p/q в самых низких терминах считается рациональным, включая отрицательные значения и дроби. Теорема была построена именно для таких случаев.
