Cubic Equation Solver
Специализиран инструмент за решаване на кубични уравнения с реални и комплексни корени, стъпки на метода Cardano, кубични графики и работещи примери.
Въведете целочислени коефициенти, за да генерирате всички възможни кандидати за рационален корен, като използвате теоремата ±p/q.
Изчисляване: Калкулатор за теорема за рационален корен
Калкулатор за теорема за рационален корен
Въведете вашите полиномни коефициенти по-горе и щракнете върху „Намерете рационални коренни кандидати“, за да видите резултатите.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
Доказателството е аргумент за делимост. Да предположим p/q в най-ниска степен удовлетворява aₙ(p/q)ⁿ + ... + a₀ = 0. Изчистването на знаменателите дава aₙpⁿ + aₙ₋₁pⁿ⁻¹q + ... + a₀qⁿ = 0. Всеки срок освен a₀qⁿ съдържа фактор на стр, така че стр разделя a₀qⁿ; тъй като gcd(p, q) = 1, p | a₀. Огледалният аргумент от другата страна дава q | aₙ. Две линии на делимост и безкрайното търсене се свива до краен списък.
Моничният случай заслужава вниманието си: когато водещият коефициент е 1, всеки знаменател р трябва да разделя 1, така че q = ±1 и всички рационални корени са цели числа, разделящи постоянния член. Ето защо проблемите с учебниците изглеждат лесни: те почти винаги са маниакални. В момента проблем като 6x³ − 5x² − 2x + 1 се появява, фракционните кандидати се връщат и пълната теорема се запазва.
Големите коефициенти могат да създадат плашещи списъци, понякога стотици кандидати. Тествайте интелигентно: опитайте първо с малки цели числа, тъй като проблемите често се конструират с тях. Използвайте границата, в която се намират всички реални корени 1 + макс.|aᵢ/aₙ| да прескачат абсурдни стойности. И не забравяйте, че можете да спрете в момента, в който намерите толкова корени, колкото степента, като всеки потвърден корен намалява проблема чрез синтетично разделение. Полезен навик е тестването ±1 първо: те са най-евтините оценки и изненадващо често удрят в конструирани проблеми.
Лемата на Гаус казва, че примитивен целочислен полином се размножава Q точно когато се отчита З. Теоремата за рационалния корен е тази лема от първа степен: линеен фактор върху Q може да се изчисти до линеен фактор над З, чийто корен е p/q теоремата описва. Ето защо методите с целочислени коефициенти са теоретично завършени за рационални въпроси, факт, на който компютърните алгебрични системи разчитат постоянно.
Теоремата мълчи за всичко, което не покрива: ирационални корени като ∛2 и сложните корени никога не се появяват в списъка с кандидати. x³ − 2 = 0 има кандидати ±1, ±2, всички неуспехи, но истинският корен ∛2 ≈ 1.26 съществува. Когато пълният списък не успее, превключете инструментите: the дискриминант класифицира типовете корени, Метод на Кардано дава затворени форми, а на roots calculator gives values.
The Applications
Преди да посегнете към тежките машини, прекарайте две минути в списъка с кандидати. Голяма част от кубиците за състезания, изпити и учебници са конструирани с рационални корени и намирането на такъв на ръка е по-бързо от всяка формула.
Изпитващите обичат моничните кубици точно защото се прилага прекият път за целочислени кандидати. Познаването на теоремата превръща "решаването на кубика" в бързо упражнение за делимост, последвано от рутинно тестване.
Алгоритмите за намиране на корен в компютърната алгебра се отварят с теста за рационален корен: точните рационални корени са по-евтини от всяка числена итерация, така че списъкът с кандидати винаги е изчерпан преди началото на Нютон или разполовяването. Един точен корен, намерен тук, е едно измерение по-малко за численния решаващ проблем.
Символните системи първо изолират рационални корени, за да дефлират полинома, свивайки проблема, преди да разположат скъпи точни решаващи програми като Метод на Кардано.
В инженерството изключването на хубави корени за секунди ви казва дали да очаквате чиста затворена форма или незабавно да посегнете към числени методи, спестявайки усилията от обречени точни опити.
The Cautions
Забравяне на отрицателните кандидати: Every factor p and q comes with a ± sign. The root -3/2 is missed by anyone who only tests positive candidates.
Без намаляване на дроби: Кандидатите трябва да са с най-ниски условия. Тестването на 2/4 след тестване на 1/2 удвоява работата за нула нова информация.
Объркващо кое кое разделя: Числителите p разделят постоянния член; знаменателите q разделят водещия коефициент. Размяната им изгражда списък, който теоремата никога не е обещавала.
Ако приемем, че всеки кандидат е корен: Списъкът съдържа заподозрени, а не присъди. Всеки кандидат трябва да бъде тестван, обикновено чрез заместване или синтетично разделяне, преди да получи коренен статус.
Игнориране на водещия коефициент: When a ≠ 1, fractional candidates like ±3/2 appear. Testing only integers in a non-monic problem can miss every root.
The Reference
The Collection
The Questions
Не. Кубичният x³ - 2 изобщо няма; неговият реален корен ∛2 е ирационален. Теоремата изброява кандидатите, но не гарантира победители.
The denominator of a root in lowest terms must divide the leading coefficient, just as the numerator must divide the constant term. И двете ограничения идват от едно и също доказателство.
At most (divisors of the constant term) × (divisors of the leading coefficient), counting ± once, minus duplicates from unreduced fractions.
No. Stop as soon as you have found as many roots as the degree. Each find also deflates the polynomial via синтетично разделение, свиване на по-късните тестове и квадратичната формула довършва каквото и да е останало.
Корените са ирационални или сложни. Използвайте калкулатор за кубични корени за ценности и дискриминант за техните видове. Празен резултат от кандидат сам по себе си е информация: той изключва лесните случаи.
Умножете, за да изчистите първо десетичните знаци в цели числа, след което приложете теоремата към мащабирания полином.
Защото тогава всеки рационален корен е цяло число, разделящо постоянния член, което поддържа списъците с кандидати кратки и ръчното тестване приятно.
да Всяко p/q в най-ниските термини се счита за рационално, включително отрицателни стойности и дроби. Теоремата е построена точно за случаи като този.
