Cubic Equation Solver
Solucionador de ecuaciones cúbicas dedicado con raíces reales y complejas, pasos del método Cardano, gráficas cúbicas y ejemplos resueltos.
Ingrese coeficientes enteros para generar todos los posibles candidatos a raíces racionales utilizando el teorema ±p/q.
Cálculo: Calculadora del Teorema de la Raíz Racional
Calculadora del Teorema de la Raíz Racional
Ingrese los coeficientes de su polinomio arriba y haga clic en "Hallar candidatos a raíces racionales" para ver los resultados.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
La prueba es un argumento de divisibilidad. Suponer p/q en los términos más bajos satisface aₙ(p/q)ⁿ + ... + a₀ = 0. Limpiar denominadores da aₙpⁿ + aₙ₋₁pⁿ⁻¹q + ... + a₀qⁿ = 0. Cada término excepto a₀qⁿ contiene un factor de pag, entonces pag divide a₀qⁿ; desde mcd(p, q) = 1, pag | un₀. El argumento del espejo en el otro extremo da q | un ₙ. Dos líneas de divisibilidad y la búsqueda infinita colapsa en una lista finita.
El caso mónico merece atención: cuando el coeficiente principal es 1, cada denominador q debe dividir 1, entonces q = ±1 y todas las raíces racionales son números enteros que dividen el término constante. Por eso los problemas de los libros de texto parecen fáciles: casi siempre son mónicos. En el momento en que un problema como 6x³ − 5x² − 2x + 1 aparece, los candidatos fraccionarios regresan y el teorema completo se gana la vida.
Los coeficientes grandes pueden producir listas abrumadoras, a veces de cientos de candidatos. Pruebe inteligentemente: pruebe primero con números enteros pequeños, ya que los problemas a menudo se construyen con ellos. Utilice el límite dentro del cual se encuentran todas las raíces reales 1 + máx|aᵢ/aₙ| saltarse valores absurdos. Y recuerde que puede detenerse en el momento en que haya encontrado tantas raíces como grados, cada raíz confirmada desinfla el problema a través de división sintética. Un hábito útil es probar. ±1 Primero: son las evaluaciones más baratas y, sorprendentemente, suelen aparecer en problemas construidos.
El lema de Gauss dice que un polinomio entero primitivo se factoriza sobre q exactly when it factors over z. El teorema de la raíz racional es este lema de grado uno: un factor lineal sobre q se puede borrar a un factor lineal sobre z, cuya raíz es la p/q describe el teorema. Esta es la razón por la que los métodos de coeficientes enteros son teóricamente completos para preguntas racionales, un hecho en el que los sistemas de álgebra informática dependen constantemente.
The theorem is silent about everything it does not cover: irrational roots like ∛2 y las raíces complejas nunca aparecen en la lista de candidatos. x³ − 2 = 0 tiene candidatos ±1, ±2, todos fracasos, pero la verdadera raíz ∛2 ≈ 1.26 existe. Cuando la lista completa falla, cambie de herramienta: la discriminante clasifica los tipos de raíz, El método de Cardano. da formas cerradas, y el calculadora de raíces da valores.
The Applications
Antes de recurrir a maquinaria pesada, dedique dos minutos a la lista de candidatos. Una gran parte de las cúbicas de concursos, exámenes y libros de texto se construyeron con raíces racionales, y encontrar una a mano es más rápido que cualquier fórmula.
A los examinadores les encantan las cúbicas mónicas precisamente porque se aplica el atajo del candidato entero. Conocer el teorema convierte "resolver la cúbica" en un rápido ejercicio de divisibilidad seguido de pruebas de rutina.
Los algoritmos de búsqueda de raíces en álgebra informática se abren con la prueba de la raíz racional: las raíces racionales exactas son más baratas que cualquier iteración numérica, por lo que la lista de candidatos siempre se agota antes de que comience Newton o la bisección. Una raíz exacta que se encuentra aquí es una dimensión menos para el solucionador numérico.
Los sistemas simbólicos aíslan primero las raíces racionales para desinflar el polinomio, reduciendo el problema antes de implementar costosos solucionadores exactos como El método de Cardano..
En ingeniería, descartar buenas raíces en segundos te indica si esperar una forma cerrada y limpia o recurrir a métodos numéricos inmediatamente, ahorrándote el esfuerzo de intentos exactos condenados al fracaso.
The Cautions
Olvidar candidatos negativos: Every factor p and q comes with a ± sign. The root -3/2 is missed by anyone who only tests positive candidates.
No reducir fracciones: Los candidatos deben estar en los términos más bajos. Probar 2/4 después de probar 1/2 duplica el trabajo para obtener cero información nueva.
Confuso qué divide a cuál: Los numeradores p dividen el término constante; denominadores q dividen el coeficiente principal. Intercambiarlos genera una lista que el teorema nunca prometió.
Suponiendo que cada candidato es una raíz: La lista contiene sospechosos, no condenados. Cada candidato debe ser probado, generalmente mediante sustitución o división sintética, antes de obtener el estatus de raíz.
Haciendo caso omiso del coeficiente principal: Cuando a ≠ 1, aparecen candidatos fraccionarios como ±3/2. Probar solo números enteros en un problema no mónico puede omitir todas las raíces.
The Reference
The Collection
The Questions
No. El cúbico x³ - 2 no tiene ninguno; su raíz real ∛2 es irracional. El teorema enumera candidatos, no garantiza ganadores.
El denominador de una raíz en términos más bajos debe dividir el coeficiente principal, del mismo modo que el numerador debe dividir el término constante. Ambas restricciones provienen de la misma prueba.
Como máximo (divisores del término constante) × (divisores del coeficiente principal), contando ± una vez, menos duplicados de fracciones no reducidas.
No. Deténgase tan pronto como haya encontrado tantas raíces como grado. Cada hallazgo también desinfla el polinomio mediante división sintética, reduciendo las pruebas posteriores, y la fórmula cuadrática termina lo que queda.
Las raíces son irracionales o complejas. Utilice el calculadora de raíces cúbicas por los valores y el discriminante por sus tipos. Un resultado candidato vacío es en sí mismo información: descarta los casos fáciles.
Primero multiplica para convertir los decimales en números enteros y luego aplica el teorema al polinomio escalado.
Porque entonces cada raíz racional es un número entero que divide el término constante, lo que mantiene las listas de candidatos cortas y las pruebas manuales son agradables.
Yes. Any p/q in lowest terms counts as rational, including negatives and fractions. The theorem was built exactly for cases like this.
