Cubic Equation Solver
Dedykowane narzędzie do rozwiązywania równań sześciennych z pierwiastkami rzeczywistymi i zespolonymi, etapy metody Cardano, wykresy sześcienne i praktyczne przykłady.
Wprowadź współczynniki całkowite, aby wygenerować wszystkich możliwych racjonalnych kandydatów na pierwiastki, korzystając z twierdzenia ±p/q.
Obliczenie: Kalkulator racjonalnego twierdzenia o pierwiastku
Kalkulator racjonalnego twierdzenia o pierwiastku
Wprowadź powyżej współczynniki wielomianu i kliknij „Znajdź racjonalnych kandydatów głównych”, aby zobaczyć wyniki.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
Dowód jest argumentem podzielności. Przypuszczać p/k w najmniejszym stopniu zadowala aₙ(p/q)ⁿ + ... + a₀ = 0. Daje mianowniki rozliczeniowe aₙpⁿ + aₙ₋₁pⁿ⁻¹q + ... + a₀qⁿ = 0. Każdy termin z wyjątkiem a₀qⁿ zawiera czynnik P, Więc P dzieli a₀qⁿ; od gcd(p, q) = 1, p | a₀. Argument lustrzany na drugim końcu daje q | aₙ. Dwie linie podzielności i nieskończone wyszukiwanie zwija się do skończonej listy.
Przypadek moniczny zasługuje na uwagę: gdy wiodący współczynnik wynosi 1, każdy mianownik Q trzeba podzielić 1, więc q = ±1 a wszystkie pierwiastki wymierne są liczbami całkowitymi dzielącymi wyraz stały. Dlatego właśnie problemy z podręcznikami wydają się łatwe: prawie zawsze mają charakter moniczny. Moment, w którym pojawia się problem 6x3 − 5x² − 2x + 1 pojawia się, kandydaci na ułamki powracają, a pełne twierdzenie zasługuje na swoje utrzymanie.
Duże współczynniki mogą prowadzić do powstania zniechęcających list, czasami setek kandydatów. Testuj mądrze: wypróbuj najpierw małe liczby całkowite, ponieważ często powstają przy ich pomocy problemy. Użyj granicy, w której znajdują się wszystkie prawdziwe pierwiastki 1 + max|aᵢ/aₙ| pominąć absurdalne wartości. I pamiętaj, że możesz przerwać w momencie, gdy znajdziesz tyle korzeni, ile wynosi stopień, przy czym każdy potwierdzony pierwiastek rozwiewa problem podział syntetyczny. Przydatnym nawykiem jest testowanie ±1 po pierwsze: są to najtańsze oceny i zaskakująco często trafiają w skonstruowane problemy.
Lemat Gaussa mówi, że pierwotny wielomian całkowity jest współczynnikiem Q dokładnie wtedy, gdy to się liczy Z. Twierdzenie o pierwiastku racjonalnym to lemat pierwszego stopnia: współczynnik liniowy Q można wyczyścić do współczynnika liniowego Z, którego pierwiastkiem jest p/k twierdzenie opisuje. Właśnie dlatego metody współczynników całkowitych są teoretycznie kompletne w przypadku pytań racjonalnych, na czym systemy algebry komputerowej stale polegają.
Twierdzenie milczy na temat wszystkiego, czego nie obejmuje: irracjonalnych korzeni, takich jak ∛2 a złożone korzenie nigdy nie pojawiają się na liście kandydatów. x³ − 2 = 0 ma kandydatów ±1, ±2, wszystkie awarie, ale prawdziwy korzeń ∛2 ≈ 1.26 istnieje. Gdy pełna lista się nie powiedzie, zmień narzędzia: the dyskryminujący classifies the root types, Metoda Cardano daje formularze zamknięte i kalkulator korzeni gives values.
The Applications
Zanim sięgniesz po ciężki sprzęt, poświęć dwie minuty na liście kandydatów. Duża część sześcianów konkursowych, egzaminacyjnych i podręcznikowych została zbudowana w oparciu o racjonalne korzenie, a ręczne znalezienie ich jest szybsze niż jakikolwiek wzór.
Egzaminatorzy uwielbiają moniczne sześciany właśnie dlatego, że obowiązuje skrót liczba całkowita-kandydat. Znajomość twierdzenia zamienia „rozwiązanie sześciennego” w szybkie ćwiczenie podzielności, po którym następuje rutynowe testowanie.
Algorytmy znajdowania pierwiastków w algebrze komputerowej otwierają się za pomocą testu pierwiastka wymiernego: dokładne pierwiastki wymierne są tańsze niż jakakolwiek iteracja numeryczna, więc lista kandydatów jest zawsze wyczerpana przed rozpoczęciem Newtona lub bisekcji. Jeden znaleziony tutaj dokładny pierwiastek to jeden wymiar mniej dla rozwiązania numerycznego.
Symbolic systems isolate rational roots first to deflate the polynomial, shrinking the problem before deploying expensive exact solvers like Metoda Cardano.
W inżynierii wykluczenie ładnych korzeni w ciągu kilku sekund mówi ci, czy spodziewać się czystej, zamkniętej formy, czy też natychmiast sięgnąć po metody numeryczne, oszczędzając wysiłek skazanych na dokładne próby.
The Cautions
Zapominanie o negatywnych kandydatach: Każdy współczynnik p i q ma znak ±. Pierwiastek -3/2 jest pomijany przez każdego, kto testuje tylko pozytywnych kandydatów.
Nie redukując ułamków: Kandydaci muszą mieć najniższe warunki. Testowanie 2/4 po przetestowaniu 1/2 podwaja pracę przy zerowej liczbie nowych informacji.
Mylenie, które dzieli które: Liczniki p dzielą wyraz stały; mianowniki q dzielą wiodący współczynnik. Zamiana ich tworzy listę, której twierdzenie nigdy nie obiecało.
Zakładając, że każdy kandydat jest korzeniem: Na liście znajdują się podejrzani, a nie skazani. Każdy kandydat musi zostać przetestowany, zwykle przez podstawienie lub podział syntetyczny, zanim uzyska status root.
Ignorując wiodący współczynnik: When a ≠ 1, fractional candidates like ±3/2 appear. Testing only integers in a non-monic problem can miss every root.
The Reference
The Collection
The Questions
Nie. W sześciennym x³ - 2 nie ma żadnego; jego prawdziwy pierwiastek ∛2 jest niewymierny. Twierdzenie wymienia kandydatów, nie gwarantuje zwycięzców.
Mianownik pierwiastka z najniższych wyrazów musi dzielić wiodący współczynnik, tak jak licznik musi dzielić wyraz stały. Obydwa ograniczenia pochodzą z tego samego dowodu.
Co najwyżej (dzielniki składnika stałego) × (dzielniki współczynnika wiodącego), licząc ± raz, minus duplikaty ułamków niezredukowanych.
Nie. Zatrzymaj się, gdy tylko znajdziesz tyle korzeni, ile wynosi stopień. Każde znalezisko powoduje również deflację wielomianu poprzez podział syntetyczny, zmniejszając późniejsze testy, a wzór kwadratowy kończy wszystko, co pozostało.
Korzenie są irracjonalne lub złożone. Skorzystaj z kalkulator pierwiastków sześciennych dla wartości i dyskryminujący for their types. An empty candidate result is itself information: it rules out the easy cases.
Najpierw pomnóż, aby usunąć ułamki dziesiętne na liczby całkowite, a następnie zastosuj twierdzenie do skalowanego wielomianu.
Ponieważ wtedy każdy pierwiastek wymierny jest liczbą całkowitą dzielącą człon stały, dzięki czemu listy kandydatów są krótkie, a ręczne testowanie przyjemne.
Tak. Każde p/q w najniższych kategoriach liczy się jako racjonalne, włączając w to wartości ujemne i ułamki. Twierdzenie zostało zbudowane właśnie dla takich przypadków.
