Spezieller kubischer Gleichungslöser mit reellen und komplexen Wurzeln, Schritten der Cardano-Methode, kubischer Grafik und ausgearbeiteten Beispielen.
Rechner für reduzierte kubische Gleichungen
Geben Sie oben Ihre Polynomkoeffizienten ein und klicken Sie auf "Kubik reduzieren", um die Ergebnisse zu sehen.A depressed cubic is a cubic equation that has been simplified by removing the x² term, resulting in the cleaner form t³ + pt + q = 0. This reduction is achieved through the Tschirnhaus substitution x = t − b/(3a), which shifts the polynomial so the second-degree coefficient vanishes. The technique is fundamental to every analytical method for solving cubics.
The depression process transforms four coefficients (a, b, c, d) into just two essential parameters (p, q). Specifically: p = (3ac − b²) / (3a²) and q = (2b³ − 9abc + 27a²d) / (27a³). This simplification is what makes Cardano's formula, Vieta's substitution, and the trigonometric method feasible.
Geometrically, depressing a cubic is equivalent to horizontally translating the graph so that the inflection point sits on the y-axis. This centering eliminates asymmetry in the curve and reveals the polynomial's essential shape, making both algebraic and graphical analysis cleaner.
Every Cardano's method solution begins with depressing the cubic. This calculator automates that critical first step.
Depressing centers the cubic's inflection point at the y-axis, making graphical analysis and symmetry identification easier.
Students learning polynomial transformations use depression to understand how substitutions simplify equation structure.
The substitution is x = t MINUS b/(3a), not plus. Getting the sign wrong shifts the curve in the wrong direction.
The formulas for p and q assume proper normalization. If a ≠ 1, you must include a in the denominators.
p involves 3ac − b² while q involves 2b³ − 9abc + 27a²d. Mixing them up produces completely wrong depressed coefficients.
| Substitution | x = t − b/(3a) |
| Result Form | t³ + pt + q = 0 |
| p formula | (3ac − b²) / (3a²) |
| q formula | (2b³ − 9abc + 27a²d) / (27a³) |
| Geometric Effect | Centers inflection point on y-axis |
Weil die Komplexität der Gleichung durch die Entfernung des Termes zweiten Grades „reduziert“ wurde.
Ja, es verschiebt sie horizontal. Sobald Sie es gefunden haben<span class="font-mono text-primary-700 bg-primary-50 px-1 rounded">T</span>, müssen Sie den Verschiebungsfaktor wieder hinzufügen, um ihn zu finden<span class="font-mono text-primary-700 bg-primary-50 px-1 rounded">X</span>.
Ja. Jede kubische Standardgleichung kann verschoben werden, um sie zu eliminieren<span class="font-mono text-primary-700 bg-primary-50 px-1 rounded">x²</span>Begriff.
Die Standardform ist t³ + pt + q = 0, die keinen quadratischen Term hat.
Cardanos Formel gilt nur direkt für die depressive Form. Durch das Entfernen des quadrierten Termes wird die Algebra so beherrschbar, dass eine geschlossene Lösung abgeleitet werden kann.
