Cubic Equation Solver
Spezieller kubischer Gleichungslöser mit reellen und komplexen Wurzeln, Schritten der Cardano-Methode, kubischer Grafik und ausgearbeiteten Beispielen.
Geben Sie die Koeffizienten Ihrer kubischen Gleichung ein, um den x²-Term zu entfernen und die reduzierte Form t³ + pt + q = 0 zu erhalten.
Berechnung: Rechner für reduzierte kubische Gleichungen
Rechner für reduzierte kubische Gleichungen
Geben Sie oben Ihre Polynomkoeffizienten ein und klicken Sie auf "Kubik reduzieren", um die Ergebnisse zu sehen.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
Die Transformation ist nach Ehrenfried Walther von Tschirnhaus benannt, der sie 1683 als Teil eines großen Programms zur Lösung aller Polynomgleichungen durch geschickte Substitutionen veröffentlichte. Sein Programm scheiterte letztendlich am Quintikum, aber das kubische Gehäuse blieb als unverzichtbares Werkzeug erhalten. Die Idee ist entwaffnend einfach: weil die x² Der Koeffizient ist bis auf einen Faktor die Summe der Wurzeln, wobei die Verschiebung der Variablen um die durchschnittliche Wurzel die gesamte Konfiguration im Ursprung zentriert. Was wie ein algebraischer Trick aussieht, ist in Wirklichkeit eine geometrische Neuzentrierung.
Warum x = t − b/3a genau den quadratischen Term töten? Expandieren a(t − b/3a)³ + b(t − b/3a)² + c(t − b/3a) + d und sammle die t² Koeffizient: aus dem kubischen Term kommt 3a(−b/3a) = −b, aus dem quadratischen Term kommt +b. Sie heben sich exakt auf, was bei keiner anderen Schichtwahl der Fall ist. Der T and constant terms then assemble themselves into P Und Q. Es lohnt sich, diese Erweiterung einmal von Hand durchzuführen: Die Stornierung fühlt sich an, als würde man einem Schloss dabei zusehen, wie es sich öffnet.
Die Formeln p = (3ac − b²)/3a² Und q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/27a³ look intimidating, but each has meaning. The numerator of P ist, bis auf das Vorzeichen, die Diskriminante des quadratischen Teils und misst, wie „verbreitet“ die Gleichung ist. Der Ausdruck für Q mischt alle vier Koeffizienten, da der konstante Term der verschobenen Gleichung wirklich von allem abhängt. Beachten Sie, dass die Nenner Potenzen von sind a: für einen monischen Würfel verschwinden sie darin p = 3c − b² über 3 Der Stil ist schlicht, weshalb in Lehrbüchern meist zuerst der monische Fall dargestellt wird.
Durch Niederdrücken wird auch der Graph zentriert. Der Wendepunkt von ax³ + bx² + cx + d sitzt bei x = −b/3a, genau den Verschiebungsbetrag, sodass der Graph der vertieften Kubik symmetrisch um seinen Wendepunkt im Ursprung ist. Unser Wendepunktrechner lokalisiert dieses Zentrum, und das Grafiktool zeigt das Vorher und Nachher: dieselbe S-Kurve, horizontal verschoben, bis ihr Mittelpunkt auf der y-Achse liegt. Aufgrund dieser Symmetrie ist die niedergedrückte Form qualitativ leichter zu analysieren.
Derselbe Geist entfernt Terme aus Gleichungen höheren Grades: Eine Quartic-Form kann deprimiert werden t⁴ + pt² + qt + r = 0, das ist Ferraris Einstiegspunkt. Für das Quintikum reduziert die Bring-Jerrard-Transformation es auf t⁵ + pt + q = 0, doch keine radikale Formel bringt den Zweck zu Ende, wie Abel und Ruffini bewiesen haben. Die deprimierte Kubik ist somit der Sweet Spot der gesamten Theorie: die schwierigste Gleichung, die eine Verschiebung plus Radikale vollständig bewältigen kann.
The Applications
Jede Anwendung der Cardano-Methode beginnt hier: keine deprimierte Form, keine Formel. Die Reduktion ist so standardmäßig, dass Computeralgebrasysteme sie stillschweigend durchführen, bevor sie Cardanos Schritte anzeigen. Die Beherrschung dieser einen Transformation eröffnet die gesamte klassische Lösungstheorie des Kubischen.
Das Zentrieren eines Würfels an seinem Wendepunkt erleichtert das Skizzieren erheblich: Die Wendepunkte werden symmetrisch zum Ursprung, und die Anzahl der echten Wurzeln kann aus den Werten an diesen symmetrischen Punkten abgelesen werden. Grafiktools verwenden dies intern bei der Auswahl von Anzeigefenstern.
Wenn die Größe der Koeffizienten stark schwankt, führt die Verschiebung oft zu kleineren, besser ausgeglichenen p und q. Numerische Löser konvergieren schneller und Rundungsfehler werden kleiner, da bei der Berechnung keine großen und kleinen Terme mehr vermischt werden. Die Vorkonditionierung durch Depression ist ein stilles Arbeitstier numerischer Bibliotheken.
Ausbilder nutzen Depressionen, um ein beängstigendes Problem in zwei beherrschbare Probleme aufzuteilen: eine routinemäßige Substitution und dann eine klarere Gleichung. Schüler, die einen Würfel auf Anhieb eindrücken können, haben die Beziehung zwischen Koeffizienten und Wurzeln verinnerlicht, die Vietas Formeln beschreiben.
Physiker verschieben routinemäßig Koordinaten, um lineare oder quadratische Terme zu entfernen: Die Vervollständigung des Quadrats ist die quadratische Version dieser exakten Verschiebung. In der Störungstheorie und der Normalmodusanalyse vereinfacht die Zentrierung des Koordinatensystems am natürlichen Mittelpunkt jede nachfolgende Erweiterung.
The Cautions
Vergessen, zurückzuschalten: Die deprimierte Kubik hat andere Wurzeln als das Original: Jede ist um −b/3a verschoben. Die Lösung von t³ − t = 0 ergibt t = 0, ±1, aber die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind x = 2, 3, 1. Wenden Sie am Ende immer x = t − b/3a an.
Vorzeichenfehler in der Schicht: The substitution is x = t − b/3a, with b carrying its own sign. For x³ − 6x² + …, b = −6, so the shift is t + 2, not t − 2. Write b with its sign before substituting.
Arithmetische Fehler in p und q: Die q-Formel hat drei vorzeichenbehaftete Terme und Potenzen bis b³. Es ist die fehleranfälligste Handberechnung in der elementaren kubischen Theorie. Lassen Sie sie vom Tool berechnen oder überprüfen Sie sie, indem Sie sie rückwärts erweitern.
Division durch einen führenden Koeffizienten von Null: Wenn a = 0, ist die Gleichung nicht kubisch und die Formeln dividieren durch Null. Vergewissern Sie sich, dass der Wert tatsächlich drei beträgt, bevor Sie drücken.
Diskriminante Formeln mischen: Die Diskriminante mit fünf Termen gehört zur allgemeinen Kubik; die Zwei-Term-Version Δ = −(4p³ + 27q²) gehört zur deprimierten. Die Anwendung der Kurzformel auf unverschobene Koeffizienten ergibt ein falsches Vorzeichen und ein falsches Urteil.
The Reference
The Collection
The Questions
Eine kubische Form ohne x²-Term: t³ + pt + q = 0. Jede kubische Form ax³ + bx² + cx + d = 0 kann durch die Verschiebung x = t − b/3a in diese Form umgewandelt werden.
Denn insbesondere jede klassische Lösungsmethode Cardanos Methode, erfordert die niedergedrückte Form. Außerdem vereinfacht es die Diskriminante und zentriert den Graphen an seinem Wendepunkt.
Ja, vorausgesetzt, der führende Koeffizient a ist ungleich Null. Die Verschiebung −b/3a existiert immer und tötet den quadratischen Term immer genau.
Feste Kombinationen der ursprünglichen Koeffizienten: p = (3ac − b²)/3a² und q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/27a³. Sie enthalten alle Informationen der Gleichung in komprimierter Form.
Ja. Die Erweiterung von a(t + h)³ + b(t + h)² + … zeigt, dass der t²-Koeffizient nur verschwindet, wenn h = −b/3a. Jede andere Verschiebung hinterlässt einen quadratischen Term.
Es verschiebt jede Wurzel um −b/3a, behält aber ihre Beziehungen bei: Unterschiede, Multiplizitäten und Realität bleiben unverändert. Sehen Sie, wie Wurzeln mit unseren zusammenhängen Wurzelbeziehungsrechner.
Ja, mit Cardanos Formel, das genau für diese Form konzipiert wurde. Viele vertiefte Kubikkörper lassen sich bei genauer Betrachtung auch gut erkennen.
Es kollabiert von fünf Termen auf zwei: Δ = −(4p³ + 27q²). Überprüfen Sie die Klassifizierung mit unserem Diskriminanzrechner.
