क्यूबिक फंक्शन ग्राफ जेनरेटर

अंतिम व्यवहार वह पहली चीज़ है जो ग्राफ़ सिखाता है। क्योंकि x³ शब्द बड़े के लिए हावी है |x|, the sign of ए अकेले ही चित्र के सुदूर बाएँ और सुदूर दाएँ का निर्णय लेता है। कब ए > 0, वक्र बाईं ओर नकारात्मक अनंत से आता है और दाईं ओर सकारात्मक अनंत तक चला जाता है। निरंतरता के कारण इसे बीच में कहीं x-अक्ष को पार करना होगा, जो इस बात का दृश्य प्रमाण है कि प्रत्येक वास्तविक घन में कम से कम एक वास्तविक जड़ होती है। का चिन्ह पलटें ए और पूरी तस्वीर ऊपर से नीचे तक प्रतिबिंबित होती है। यही कारण है कि किसी जीवित कथानक में किसी एक चिन्ह को बदलना इतना नाटकीय लगता है।

एक घन ग्राफ़ में बिल्कुल तीन प्रकार के लैंडमार्क होते हैं, और वे एक साथ लॉक हो जाते हैं। एक्स-इंटरसेप्ट्स वास्तविक जड़ें हैं, उनमें से तीन तक। निर्णायक मोड़, कहां एफ'(एक्स) = 0, पहाड़ी की चोटी और घाटी हैं, अधिकतम दो। विभक्ति बिंदु, कहाँ एफ''(एक्स) = 0, एस का केंद्र है, हमेशा बिल्कुल एक। यहाँ सुंदर हिस्सा है: विभक्ति बिंदु दो मोड़ बिंदुओं के ठीक बीच में बैठता है, और यह तीनों जड़ों का औसत भी है। इन तीन स्थलों को पहचानना सीखें और आप किसी भी घन को उसके समीकरण से अकेले स्केच कर सकते हैं, फिर मध्यबिंदु गुण को हाथ से सत्यापित कर सकते हैं।

प्रत्येक घन ग्राफ़ एक सरल ग्राफ़ की स्थानांतरित प्रति है। स्थानापन्न एक्स = टी − बी/3ए वक्र को क्षैतिज रूप से तब तक स्लाइड करता है जब तक कि विभक्ति बिंदु y-अक्ष पर न आ जाए, और उदास रूप छोड़ दे t³ + pt + q. इस बदलाव के तहत एस-आकार कभी नहीं बदलता है, केवल इसकी स्थिति बदलती है। यही कारण है कि ग्राफ़िंग बेहद अलग-अलग गुणांकों में इतनी समान लगती है: वास्तव में केवल कुछ आकार होते हैं, जो विभेदक द्वारा प्रतिष्ठित होते हैं। हमारा उदास घन कैलकुलेटर बिल्कुल यही बदलाव करता है, और विभेदक आपको बताता है कि आप किस आकार के परिवार को देख रहे हैं।

ग्राफ़ बीजगणित के सबसे अजीब तथ्यों में से एक को उजागर करते हैं। लेना x³ − 6x² + 11x − 6 = 0: चित्र 1, 2, और 3 पर तीन साफ़ क्रॉसिंग दिखाता है, फिर भी कार्डानो का सूत्र जटिल मात्राओं के घनमूलों के माध्यम से चक्कर लगाकर ही उन वास्तविक वास्तविक संख्याओं तक पहुँचता है। यह केस इरेड्यूसिबिलिस है, और ग्राफ़ इसके रहस्य को दृश्यमान बनाता है: उत्तर स्पष्ट रूप से वास्तविक हैं, उन तक पहुंचने का मार्ग वास्तविक नहीं है। जब भी विवेचक सकारात्मक हो लेकिन घन का कोई तर्कसंगत मूल न हो, तो एक साधारण चित्र और एक जटिल सूत्र के बीच इस सुंदर तनाव की अपेक्षा करें।

घन ग्राफ़ में एक छिपी हुई समरूपता है जिसे अधिकांश छात्र कभी नोटिस नहीं करते हैं। वक्र को उसके विभक्ति बिंदु के चारों ओर 180 डिग्री घुमाएँ और यह बिल्कुल अपने आप पर आ जाता है। बीजगणितीय रूप से, यदि x₀ = −बी/3ए तब विभक्ति x-निर्देशांक है f(x₀ + h) + f(x₀ − ज) = 2f(x₀) हरएक के लिए एच. प्रमाण एक पंक्ति है: द्वारा स्थानांतरण एक्स₀ द्विघात पद को समाप्त कर देता है, एक विषम फलन और एक अचर छोड़ देता है, और विषम फलन संतुष्ट हो जाता है जी(एच) + जी(−ज) = 0. यह बिंदु समरूपता ज्यामितीय कारण है कि विभक्ति बिंदु जड़ों के औसत के बराबर होता है, एक तथ्य जड़ें संबंध कैलकुलेटर संख्यात्मक रूप से प्रदर्शित करता है.