Kübik Fonksiyon Grafiği Oluşturucu

Son davranış, bir grafiğin öğrettiği ilk şeydir. Çünkü x³ büyükler için terim hakimdir |x|, işareti A resmin en soluna ve en sağına tek başına karar verir. Ne zaman A > 0, eğri solda negatif sonsuzdan gelir ve sağda pozitif sonsuza kaçar. Süreklilik gereği x eksenini arada bir yerden geçmesi gerekir; bu da her gerçek kübik en az bir gerçek köke sahip olduğunun görsel kanıtıdır. İşaretini çevir A ve resmin tamamı yukarıdan aşağıya doğru yansıtılıyor. Canlı bir olay örgüsünde tek bir burcun değiştirilmesinin bu kadar dramatik olmasının nedeni budur.

Kübik bir grafikte tam olarak üç tür yer işareti bulunur ve bunlar birbirine kilitlenir. X-kesme noktaları, üçe kadar gerçek köklerdir. Dönüm noktaları, f'(x) = 0tepe ve vadidir, en fazla iki tanedir. Bükülme noktası, nerede f''(x) = 0, S'nin merkezidir, her zaman tam olarak birdir. İşte işin zarif kısmı: Bükülme noktası, iki dönüm noktasının tam ortasında yer alır ve aynı zamanda üç kökün de ortalamasıdır. Bu üç yer işaretini tespit etmeyi öğrenin ve herhangi bir kübik parçayı yalnızca denkleminden çizebilir, ardından orta nokta özelliğini elle doğrulayabilirsiniz.

Her kübik grafik, daha basit olanın kaydırılmış bir kopyasıdır. Değiştirme x = t − b/3a bükülme noktası y eksenine gelinceye kadar eğriyi yatay olarak kaydırır ve basılı formu bırakır t³ + pt + q. Bu değişim altında S şekli hiçbir zaman değişmez, yalnızca konumu değişir. Grafik oluşturmanın son derece farklı katsayılar karşısında bu kadar tek biçimli görünmesinin nedeni budur: gerçekte, ayırıcı tarafından ayırt edilen yalnızca birkaç şekil vardır. Bizim depresif kübik hesap makinesi tam olarak bu değişimi gerçekleştirir ve ayrımcı size hangi şekil aileye baktığınızı söyler.

Grafikler cebirdeki en tuhaf gerçeklerden birini açığa çıkarıyor. Almak x³ − 6x² + 11x − 6 = 0: resimde 1, 2 ve 3'te üç temiz geçiş görülüyor, ancak henüz Cardano'nun formülü bu sade gerçek sayılara yalnızca karmaşık niceliklerin küp köklerinden geçerek ulaşır. Bu, casus irreducibilis'tir ve grafik onun gizemini görünür kılmaktadır: Cevaplar açıkça gerçektir, onlara giden yol ise değildir. Diskriminant pozitif olduğu halde kübik sayının rasyonel kökü olmadığında, basit bir resim ile karmaşık bir formül arasındaki bu güzel gerilimi bekleyin.

Kübik grafiğin çoğu öğrencinin fark etmediği gizli bir simetrisi vardır. Eğriyi bükülme noktası etrafında 180 derece döndürdüğünüzde tam olarak kendi üzerine iner. Cebirsel olarak eğer x₀ = −b/3a is the inflection x-coordinate, then f(x₀ + h) + f(x₀ − h) = 2f(x₀) for every H. Kanıt tek satır: kaydırma x₀ ikinci dereceden terimi ortadan kaldırır, geriye tek bir fonksiyon artı bir sabit kalır ve tek fonksiyonlar tatmin eder g(h) + g(−h) = 0. Bu nokta simetrisi, bükülme noktasının köklerin ortalamasına eşit olmasının geometrik nedenidir; kök ilişkisi hesaplayıcısı sayısal olarak gösterir.