삼차 함수 그래프 생성기

최종 행동은 그래프가 가르치는 첫 번째 것입니다. 왜냐하면 x³ 용어는 큰 것을 지배한다 |x|, 기호 에이 혼자서 그림의 맨 왼쪽과 맨 오른쪽을 결정합니다. 언제 에이 > 0, 곡선은 왼쪽의 음의 무한대에서 시작하여 오른쪽의 양의 무한대로 탈출합니다. 연속성에 의해 그것은 사이 어딘가에서 x축을 교차해야 하며, 이는 모든 실수 삼차가 적어도 하나의 실수 근을 가지고 있다는 시각적 증거입니다. 기호를 뒤집으세요. a 전체 그림이 위에서 아래로 비춰집니다. 이것이 바로 라이브 플롯에서 단일 기호를 변경하는 것이 매우 드라마틱하게 느껴지는 이유입니다.

3차 그래프에는 정확히 세 가지 종류의 랜드마크가 있으며 서로 고정되어 있습니다. x절편은 최대 3개의 실제 근입니다. 전환점, 그곳에서 f'(x) = 0, 언덕 꼭대기와 계곡은 최대 2개입니다. 변곡점, 여기서 f''(x) = 0는 S의 중심이며 항상 정확히 1입니다. 여기에 우아한 부분이 있습니다. 변곡점은 정확히 두 전환점 사이의 중간에 위치하며 세 루트 모두의 평균이기도 합니다. 이 세 가지 랜드마크를 찾는 방법을 배우면 방정식만으로 입방체를 스케치한 다음 중간점 속성을 직접 확인할 수 있습니다.

모든 3차 그래프는 더 단순한 그래프의 이동된 복사본입니다. 대체 x = 티 − b/3a 변곡점이 y축에 도달할 때까지 곡선을 수평으로 밀어서 눌린 형태를 남깁니다. t³ + pt + q. S자 모양은 이 변화에 따라 절대 변하지 않고 위치만 변합니다. 이것이 그래프가 매우 다른 계수에 걸쳐 매우 균일하게 느껴지는 이유입니다. 판별식으로 구별되는 모양은 실제로 몇 개만 있습니다. 우리의 우울한 입방 계산기 이 교대를 정확하게 수행하고, 판별력이 있는 현재 보고 있는 패밀리 모양이 무엇인지 알려줍니다.

그래프는 대수학에서 가장 이상한 사실 중 하나를 드러냅니다. 가져가다 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0: 사진에는 1번, 2번, 3번의 세 개의 교차점이 깔끔하게 표시되어 있지만, 카르다노의 공식 복소수의 세제곱근을 우회해야만 이러한 일반 실수에 도달합니다. 이것이 환원불능의 원인이며, 그래프는 그 미스터리를 가시화합니다. 답은 명백히 현실이지만, 답으로 가는 길은 그렇지 않습니다. 판별식이 양수이지만 삼차식에 유리근이 없을 때마다 단순한 그림과 복잡한 공식 사이의 아름다운 긴장을 기대하세요.

3차 그래프에는 대부분의 학생들이 눈치채지 못하는 숨겨진 대칭이 있습니다. 변곡점을 기준으로 곡선을 180도 회전하면 정확히 그 자체에 도달합니다. 대수적으로, 만약 x₀ = −b/3a 는 변곡 x 좌표이고, 그러면 f(x₀ + h) + f(x₀ − h) = 2f(x₀) 모든 시간. 증명은 한 줄입니다. x₀ 2차 항을 없애고 홀수 함수와 상수를 남기고 홀수 함수는 다음을 만족합니다. g(h) + g(−h) = 0. 이 점 대칭은 변곡점이 근의 평균과 같은 기하학적 이유입니다. 뿌리 관계 계산기 숫자로 표시됩니다.