三次関数グラフ生成器

グラフが最初に教えるのは、終了時の動作です。なぜなら、 x3 大規模な場合は用語が優勢です |x|, the sign of ある それだけで写真の左端と右端が決まります。いつ ある > 0、曲線は左側の負の無限大から始まり、右側の正の無限大に逃げます。連続性により、それは中間のどこかで x 軸と交差する必要があります。これは、すべての実立方体が少なくとも 1 つの実根を持つことを視覚的に証明します。の符号を反転します ある そして全体像は上から下まで反映されます。これが、ライブ プロットで 1 つの記号を変更するだけで非常にドラマチックに感じられる理由です。

立方体グラフには正確に 3 種類のランドマークがあり、それらは互いにロックされています。 x 切片は、最大 3 つまでの実際の根です。転換点となるのは、 f'(x) = 0、丘の頂上と谷、多くても2つです。変曲点、ここで f''(x) = 0、は S の中心であり、常に 1 つです。ここがエレガントな部分です。変曲点は 2 つの転換点のちょうど中間にあり、3 つの根すべての平均でもあります。これら 3 つのランドマークを見つける方法を学べば、方程式だけから任意の 3 次をスケッチし、中点のプロパティを手動で検証できます。

すべての立方体グラフは、より単純なグラフのシフトされたコピーです。置き換える x = t − b/3a 変曲点が Y 軸に到達するまでカーブを水平にスライドさせ、凹んだ形状を残します。 t3 + pt + q。このシフトでは S 字形は決して変化せず、位置のみが変化します。これが、グラフが大きく異なる係数にわたって均一に見える理由です。実際には、判別式によって区別される形状はほんのわずかしかありません。私たちの ディプレストキュービック電卓 まさにこのシフトを実行し、 判別式 どのシェイプ ファミリを見ているかを示します。

グラフは、代数における最も奇妙な事実の 1 つを明らかにします。取る x3 − 6x² + 11x − 6 = 0: この写真には 1、2、3 の 3 つのきれいな交差点が示されていますが、 カルダノの公式 複素数の立方根を迂回することによってのみ、これらの単純な実数に到達します。これは還元不可能な原因であり、グラフはその謎を可視化します。答えは明らかに現実ですが、そこに至る道は現実ではありません。判別式が正であっても、三次関数に有理根がない場合は常に、単純な図と複雑な式の間にこの美しい緊張感が生じることを期待してください。

立方体グラフには、ほとんどの生徒が気づかない隠れた対称性があります。カーブをその変曲点を中心に 180 度回転すると、カーブは正確に着地します。代数的に言うと、 x₀ = −b/3a は変曲 x 座標です。 f(x₀ + h) + f(x₀ − h) = 2f(x₀) あらゆる人にとって h。証明は次の 1 行です。 ×₀ kills the quadratic term, leaving an odd function plus a constant, and odd functions satisfy g(h) + g(−h) = 0。この点対称性は、変曲点が根の平均に等しいという幾何学的理由であり、事実です。 ルーツ関係計算機 数値的に表示します。