Cubic Equation Solver

विएटा के सूत्र कैलकुलेटर

वास्तविक और जटिल जड़ों के साथ समर्पित क्यूबिक समीकरण सॉल्वर, कार्डानो विधि चरण, क्यूबिक रेखांकन और काम किए गए उदाहरण।

The Equation

जड़ों और समीकरण के गुणांकों के बीच विएटा के संबंधों को सत्यापित करने के लिए गुणांक प्रदान करें।

f(x) = 0 = 0

The Solution

गणना: विएटा के सूत्र कैलकुलेटर

विएटा के सूत्र कैलकुलेटर

परिणाम देखने के लिए ऊपर अपने बहुपद गुणांक दर्ज करें और "विएटा के सूत्र लागू करें" पर क्लिक करें।

सॉल्व करने के बाद ग्राफ यहां दिखाई देगा।

The Treatise

क्या हैविएटा के सूत्र कैलकुलेटर?

एक स्कूली छात्र के लिए: एक घन के तीन उत्तर गुप्त रूप से संबंधित हैं। यदि आप उन्हें जोड़ते हैं, उन्हें जोड़ियों में गुणा करते हैं, और तीनों को गुणा करते हैं, तो आपको मूल समीकरण से संख्याएँ लगभग सीधे ही प्राप्त होती हैं। विएटा के सूत्र ये तीन गुप्त रिश्ते हैं, और वे आपको कुछ भी दोबारा हल किए बिना उत्तरों की जांच करने देते हैं।
एक कॉलेज छात्र के लिए: के लिए ax³ + bx² + cx + d = 0 जड़ों के साथ आर₁, आर₂, आर₃: r₁ + r₂ + r₃ = −b/a, r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = c/a, r₁r₂r₃ = −d/a. वे विस्तार से आते हैं a(x − r₁)(x − r₂)(x − r₃) और मिलान गुणांक. संकेत वैकल्पिक होते हैं −, +, −, जो कि सबसे उपयोगी मेमोरी हुक है।
उन्नत पाठक के लिए: ये प्रारंभिक सममित बहुपद हैं ई₁, ई₂, ई₃ जड़ों में, और सममित बहुपदों का मौलिक प्रमेय कहता है कि जड़ों में प्रत्येक सममित अभिव्यक्ति इन तीनों में एक बहुपद है। न्यूटन की पहचान शक्ति योगों को जोड़ते हुए आगे बढ़ती है pₖ = r₁ᵏ + r₂ᵏ + r₃ᵏ गुणांकों के लिए. गैलोइस सिद्धांत यहां से शुरू होता है: गुणांक बिल्कुल प्रत्येक मूल क्रमपरिवर्तन द्वारा तय किए गए सममित कार्य हैं।
व्यवहार में यह क्यों मायने रखता है: विएटा के सूत्र घन कार्य में सबसे तेज़ विवेक जांच हैं। हमारे साथ उम्मीदवार की जड़ें मिलीं घनमूल कैलकुलेटर? उन्हें जोड़ें: योग बराबर होना चाहिए −बी/ए. एक जोड़ अधिकांश अंकगणितीय पर्चियों को पकड़ लेता है। वे इसके विपरीत भी चलते हैं: मूल संबंध निर्धारित करते हैं और हमारे साथ समीकरण बनाते हैं गुणनखंडन उपकरण.

The Formula

सूत्र / विधि

तीन संबंध: r₁ + r₂ + r₃ = −b/a, r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = c/a, r₁r₂r₃ = −d/a.
एक पंक्ति में व्युत्पत्ति: बढ़ाना a(x − r₁)(x − r₂)(x − r₃) = ax³ − a(Σrᵢ)x² + a(Σrᵢrⱼ)x − ar₁r₂r₃ और मुकाबला करें ax³ + bx² + cx + d. Each Vieta relation is one coefficient match.
संकेत स्मरणीय: संकेत जाते हैं −, +, − सूची में नीचे. विषम-स्थिति संबंध (योग, उत्पाद) में ऋण होता है; the even one (pairwise) is positive. मोनिक क्यूबिक्स के लिए (ए = 1) ये है पूरी कहानी.
एक सामान्य जाल: गैर-मोनिक क्यूबिक्स के लिए आपको विभाजित करना होगा ए. योग है −बी/ए, नहीं बी. विभाजन को भूलना विएटा की नंबर एक त्रुटि है, इसलिए हमेशा पहले सामान्यीकरण करें या उपकरण को इसे संभालने दें।

The Method

उपयोग कैसे करें

स्टेप 1। अपने गुणांक दर्ज करें ए बी सी डी, या Vieta को विपरीत दिशा में चलाने के लिए तीन मूल दर्ज करें।
चरण दो। "विएटा के सूत्र लागू करें" दबाएँ।
चरण 3. स्पष्टता के लिए तीन संबंधों को उनके संख्यात्मक मानों के साथ-साथ सामान्यीकृत मॉनिक फॉर्म के साथ पढ़ें।
चरण 4। से जड़ों को सत्यापित करने के लिए संबंधों का उपयोग करें घनमूल कैलकुलेटर, या इसमें निर्धारित रकम फ़ीड करें गुणनखंडन उपकरण नए समीकरण बनाने के लिए.

मुख्य विशेषताएं

सही संकेतों और ए द्वारा विभाजन के साथ, तीनों विएटा संबंधों की तुरंत गणना करता है।
विपरीत दिशा में चलता है: वांछित मूल संबंध दर्ज करें और घन प्राप्त करें।
सामान्यीकृत रूप को दर्शाता है ताकि संकेत पैटर्न स्पष्ट हो।
एक साथ तीनों संबंधों के विरुद्ध उम्मीदवार की जड़ों का सत्यापन करता है।
जटिल जड़ों को पारदर्शी ढंग से संभालता है, क्योंकि संबंध सभी जड़ों के लिए मान्य होते हैं।

The Illustration

दृश्य आरेख

उदाहरण अवधारणा

जड़ें ले लो 1, 2, 3. Vieta predicts the monic cubic: Sum: 1 + 2 + 3 = 6 = −बी, इसलिए बी = −6. जोड़ीवार: (1)(2) + (1)(3) + (2)(3) = 2 + 3 + 6 = 11 = सी. उत्पाद: (1)(2)(3) = 6 = −d, इसलिए डी = −6. समीकरण है x³ - 6x² + 11x - 6 = 0. बढ़ाना (x − 1)(x − 2)(x − 3) यह पुष्टि करने के लिए कि यह शब्द दर शब्द मेल खाता है। हमारे साथ रिवर्स चेक करें घनमूल कैलकुलेटर: यह लूप को बंद करते हुए 1, 2, 3 लौटाता है।

The Deep Dive

इंटरएक्टिव डीप डाइव

प्रमाण एक ही विस्तार है. लिखना a(x − r₁)(x − r₂)(x − r₃) और गुणा करें: द x² गुणांक एकत्रित करता है −a(r₁ + r₂ + r₃), द एक्स गुणांक एकत्रित करता है a(r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃), और अचर पद है −ar₁r₂r₃. विरुद्ध मिलान ax³ + bx² + cx + d तीनों रिश्ते एक साथ देता है. यह तर्क शब्द दर शब्द स्तर तक सामान्यीकरण करता है एन, वैकल्पिक-संकेत पैटर्न का निर्माण करते हुए छात्र चतुर्थांश और उससे आगे के साथ फिर से मिलते हैं।

न्यूटन की पहचान विएटा को प्राथमिक योगों से लेकर घात योगों तक विस्तारित करती है। साथ p₁ = r₁ + r₂ + r₃, p₂ = r₁² + r₂² + r₃², पहचान देते हैं पी₁ = −बी/ए और p₂ = (b/a)² − 2(c/a). जड़ों 1, 2, 3 के लिए: p₂ = 1 + 4 + 9 = 14, और (−6)² − 2(11) = 36 − 22 = 14. ये आपको सीधे गुणांकों से वर्गों के योग जैसे सममित अभिव्यक्तियों की गणना करने देते हैं, प्रतियोगिता समस्याओं का एक प्रमुख हिस्सा जो मात्राओं के बारे में पूछते हैं जिन्हें कोई भी मूल से गणना नहीं करना चाहता है।

विएटा एक निर्माण उपकरण के रूप में पीछे की ओर चलता है। क्या आप एक ऐसा घन चाहते हैं जिसका मूल योग 0 और गुणनफल 6 हो? रिश्ते देते हैं बी = 0, डी = −6 तुरंत, और जोड़ीवार योग को चुनना ठीक हो जाता है सी. इस प्रकार पाठ्यपुस्तकें "अच्छी" समस्याओं का निर्माण करती हैं और इंजीनियर किस प्रकार बाधाएँ डालते हैं: वांछित मूल संबंध निर्दिष्ट करें, आवश्यक गुणांक पढ़ें। हमारा गुणनखंडन उपकरण फिर इच्छित निर्माण कारकों की पुष्टि करता है।

फिर भी विभेदक विएटा की भाषा बोलता है: Δ = a⁴(r₁ − r₂)²(r₁ − r₃)²(r₂ − r₃)² जड़ों में सममित है, इसलिए सममित बहुपदों का मौलिक प्रमेय गारंटी देता है कि इसे पूरी तरह से फिर से लिखा जा सकता है बी, सी, डी. वह पुनर्लेखन बिल्कुल पाँच-अवधि का फार्मूला है। विएटा के संबंध इस प्रकार जड़ों की दुनिया और गुणांक की दुनिया के बीच अनुवाद करने वाला शब्दकोष हैं, जिसमें विभेदक इसकी सबसे प्रसिद्ध प्रविष्टि है।

आधुनिक बीजगणितीय संकेतन के अस्तित्व में आने से पहले, फ्रांकोइस विएते ने 1591 में इन संबंधों को प्रकाशित किया था: उन्होंने उन्हें शब्दों में लिखा था। गहरा महत्व बाद में सामने आया: गुणांक वास्तव में जड़ों में बहुपद अभिव्यक्तियाँ हैं जो जड़ों के हर क्रमपरिवर्तन से बचे रहते हैं। गैलोइस सिद्धांत इस अवलोकन से शुरू होता है, जो पूछ रहा है गैर-सममित अभिव्यक्तियाँ जीवित रहती हैं कुछ क्रमपरिवर्तन. विएटा के सूत्र गणित के सबसे गहन सिद्धांतों में से एक में डिग्री-तीन द्वार हैं।

The Applications

वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग

📊

उत्तर जांचना

सबसे आम उपयोग: उम्मीदवार की जड़ों को सेकंडों में सत्यापित करें। यदि आपकी तीन संख्याओं का योग -b/a नहीं है, तो कम से कम एक गलत है, किसी प्रतिस्थापन की आवश्यकता नहीं है। शिक्षक इसके साथ ग्रेड देते हैं, छात्र इसके साथ स्वयं जांच करते हैं, और सॉफ़्टवेयर इसे सस्ते दावे के रूप में उपयोग करता है घनमूल कैलकुलेटर ख़त्म.

🏆

प्रतियोगिता गणित

ओलंपियाड की समस्याओं में मूल बताए बिना r₁² + r₂² + r₃² या 1/r₁ + 1/r₂ + 1/r₃ जैसे सममित भाव मांगना पसंद है। विएटा प्लस न्यूटन की पहचान सीधे गुणांकों से इनका उत्तर देती है। संपूर्ण समस्या सेट इस ट्रिक पर बनाए गए हैं।

⚙

समीकरण डिज़ाइन

विशिष्ट मूल गुणों के साथ एक घन की आवश्यकता है, मान लीजिए कि एक केन्द्रित डिज़ाइन के लिए जड़ों का योग शून्य है? विएटा मूल विशिष्टताओं को तुरंत गुणांक आवश्यकताओं में परिवर्तित करता है। प्रदर्शन लक्ष्यों को पूरा करने के लिए सिस्टम पोल लगाते समय नियंत्रण इंजीनियर इसका उपयोग करते हैं।

⚡

भौतिकी योग नियम

भौतिकी में, विशिष्ट बहुपदों पर विएटा-शैली संबंधों के माध्यम से आइगेनवैल्यू के योग अक्सर बंद रूप होते हैं। युग्मित ऑसिलेटर से लेकर टाइट-बाइंडिंग मॉडल तक, जड़ों का योग अक्सर एकमात्र ऐसा समुच्चय होता है जिसकी सिद्धांत को आवश्यकता होती है, जो सीधे एक गुणांक से पढ़ने योग्य होता है।

💻

कंप्यूटर बीजगणित

प्रतीकात्मक प्रणालियाँ जड़ों की गणना किए बिना जड़ों में अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए विएटा संबंधों का उपयोग करती हैं। परिणामी, विभेदक और विलोपन सिद्धांत सभी सममित-बहुपद मशीनरी पर चलते हैं जो इन तीन सूत्रों से शुरू होती है।

The Cautions

बचने के लिए सामान्य गलतियाँ

MISTAKE Nº 1

−b/a और −d/a पर त्रुटियों पर हस्ताक्षर करें: नंबर एक विएटा की गलती। योग −b/a है और गुणनफल −d/a है, ऋण चिह्न के साथ। x³ − 6x² + 11x − 6 के लिए मूल योग +6 है, −6 नहीं। -, +, - पैटर्न याद रखें।

MISTAKE Nº 2

ए से भाग देना भूल गए: संबंधों को मोनिक-सामान्यीकृत गुणांक की आवश्यकता होती है। 2x³ − 12x² +… के लिए, मूल योग −(−12)/2 = 6 है, 12 नहीं। या तो समीकरण को पहले से विभाजित करें या उपकरण को इसे सामान्य करने दें।

MISTAKE Nº 3

सी/ए को मिलाना: जोड़ीवार योग r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ बराबर +c/a, सकारात्मक है। छात्र अक्सर अन्य दो संबंधों के साथ गलत सादृश्य बनाकर माइनस जोड़ देते हैं। केवल विषम स्थिति (योग, उत्पाद) में ऋण होता है।

MISTAKE Nº 4

गैर-बहुपदों पर लागू करना: Vieta's formulas are statements about polynomial coefficients. They say nothing about roots of transcendental equations like x³ = eˣ. Confirm you have a genuine polynomial first.

MISTAKE Nº 5

पूर्णांक जड़ों को मानकर: रिश्ते अतार्किक और जटिल जड़ों के लिए भी मौजूद हैं। 6 का गुणनफल पूर्णांक जड़ों को बाध्य नहीं करता है: 1, 2, 3 बनाम ∛2, ∛4/… शैली त्रिगुण आज़माएँ। सूत्रों का उपयोग बाधाओं के रूप में करें, न कि अच्छाई के वादे के रूप में।

The Reference

त्वरित संदर्भ तालिका

त्वरित संदर्भ तालिकाREF

जड़ों का योगr₁ + r₂ + r₃ = −b/a

जोड़ीवार उत्पादr₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = c/a

जड़ों का उत्पादr₁·r₂·r₃ = −d/a

नाम के बादफ्रानçओआईएस वी.आई.एसèते (1540–1603)

के साथ काम करता हैवास्तविक और जटिल दोनों जड़ें

The Collection

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

विएटा के सूत्र क्या हैं? +

एक घन के गुणांकों को उसकी जड़ों से जोड़ने वाले तीन संबंध: जड़ों का योग −b/a है, उनके जोड़ीवार उत्पादों का योग c/a है, और उनका उत्पाद −d/a है।

चिन्ह वैकल्पिक क्यों होते हैं -, +, -? +

क्योंकि a(x − r₁)(x − r₂)(x − r₃) का विस्तार करने से प्रत्येक कारक के साथ एक ऋण उत्पन्न होता है। विषम-स्थिति वाले संबंधों को माइनस विरासत में मिलता है; यहाँ तक कि एक भी नहीं है.

क्या वे गैर-मोनिक क्यूबिक्स के लिए काम करते हैं? +

हाँ, अग्रणी गुणांक a से विभाजित करने के बाद। संबंधों को /a के साथ सटीक रूप से बताया गया है ताकि वे प्रत्येक घन के लिए बने रहें।

क्या मैं अकेले विएटा से जड़ें ढूंढ सकता हूँ? +

तीन संबंध तीन अज्ञात में तीन समीकरण हैं, इसलिए सिद्धांत रूप में हाँ, लेकिन उस प्रणाली को हल करना अपने आप में कठिन है। व्यवहार में इनका उपयोग करके पाई गई जड़ों की जांच करें घनमूल कैलकुलेटर या के माध्यम से अनुमान लगाया तर्कसंगत जड़ प्रमेय.

विएटा कौन थी? +

फ्रांकोइस विएते (1540-1603), फ्रांसीसी गणितज्ञ जिन्होंने 1591 में संबंधों को प्रकाशित किया और अज्ञात और मापदंडों दोनों के लिए अक्षरों का उपयोग करते हुए प्रतीकात्मक बीजगणित की शुरुआत की।

क्या उच्च डिग्री के लिए समान सूत्र मौजूद हैं? +

हाँ। डिग्री n के लिए वैकल्पिक संकेतों के साथ n संबंध हैं, प्रत्येक जड़ों का एक प्रारंभिक सममित योग है। क्यूबिक केस का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

जब जड़ें जटिल होती हैं तो क्या वे काम करते हैं? +

बिल्कुल। संबंध शुद्ध बीजगणित हैं और जटिल जड़ों को अपरिवर्तित रखते हैं। हमारे साथ उदाहरण जांचें जटिल जड़ें कैलकुलेटर.

मैं अपने उत्तरों की जाँच के लिए उनका उपयोग कैसे करूँ? +

अपने तीन उम्मीदवार मूल जोड़ें: योग -b/a के बराबर होना चाहिए। इससे पहले कि आप कभी वापस आएं, यह एक जोड़ अधिकांश अंकगणितीय पर्चियों को पकड़ लेता है।