Cubic Equation Solver
Solucionador de ecuaciones cúbicas dedicado con raíces reales y complejas, pasos del método Cardano, gráficas cúbicas y ejemplos resueltos.
Proporcione los coeficientes de su cúbica para recorrer paso a paso el método de solución clásico de Cardano del siglo XVI.
Cálculo: Calculadora del Método de Cardano
Calculadora del Método de Cardano
Ingrese los coeficientes de su polinomio arriba y haga clic en "Aplicar método de Cardano" para ver los resultados.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
La fórmula tiene una historia de origen dramática. Alrededor de 1515, Scipione del Ferro de Bolonia resolvió la cúbica deprimida pero no se lo dijo a casi nadie. En su lecho de muerte se lo confió a su alumno Fior. En 1535 Fior desafió al brillante Niccolò Tartaglia, quien volvió a encontrar la solución bajo presión y ganó. Gerolamo Cardano luego consiguió que Tartaglia le revelara el secreto bajo juramento, supo que Del Ferro tenía prioridad y publicó todo en su Ars Magna de 1545 con crédito a ambos hombres. Tartaglia nunca lo perdonó. Las matemáticas ganaron su primera gran disputa de prioridad y el álgebra ganó su joya de la corona.
The derivation repays close study. Start with t³ + pt + q = 0 y sustituir t = u + v. Ampliar da u³ + v³ + q + (3uv + p)(u + v) = 0. The stroke of genius is demanding 3uv + p = 0, lo que mata el último término y deja el sistema simétrico u³ + v³ = −q, u³v³ = −(p/3)³. Dos números cuya suma y producto se conocen son raíces de una cuadrática, entonces u³ y v³ son las raíces de z² + qz − (p/3)³ = 0. Tome raíces cúbicas, agregue y aparecerá la fórmula. Cada paso es reversible, por lo que no se pierde nada.
El capítulo más extraño es el caso irreducibilis. Considerar t³ − 15t − 4 = 0, que tiene la raíz obvia t = 4 since 64 − 60 − 4 = 0. La fórmula de Cardano da t = ∛(2 + √(−121)) + ∛(2 − √(−121)), raíces cuadradas de números negativos para una respuesta que es claramente 4. Rafael Bombelli notó alrededor de 1572 que (2 + i)³ = 2 + 11i, entonces las dos raíces cúbicas complejas son 2 + yo y 2 - yo, sumando 4. Respuestas reales escondidas dentro de la aritmética compleja: este cálculo único hizo más por la aceptación de los números complejos que cualquier argumento filosófico.
La cantidad bajo la raíz cuadrada, D = (q/2)² + (p/3)³, es esencialmente el discriminante disfrazado: Δ = −108D = −(4p³ + 27q²). Su signo es el clasificador completo. Cuando D > 0, de radicales reales surgen una raíz real y un par complejo. Cuando D = 0, aparece una raíz repetida y la fórmula se simplifica. Cuando D < 0, estás en el caso irreductible con tres raíces reales que exigen intermediarios complejos. Verificar este signo antes de realizar la computación le evita malinterpretar el resultado.
¿Por qué mantener una fórmula de hace 500 años cuando las computadoras pueden aproximar raíces en milisegundos? Porque la exactitud importa. Los sistemas de álgebra informática llevan el método de Cardano simbólicamente para que el álgebra posterior siga siendo exacta: simplificando expresiones, demostrando identidades y calculando formas cerradas con parámetros. La fórmula también marca un límite en matemáticas: las cúbicas y las cuárticas ceden el paso a los radicales, pero el teorema de Abel-Ruffini demuestra que no existe tal fórmula general para el grado cinco. Por lo tanto, el método de Cardano es a la vez una herramienta práctica y un monumento a la vanguardia de lo que los radicales pueden hacer.
The Applications
Sistemas como Mathematica, Maple y SymPy implementan el método de Cardano como su solucionador cúbico simbólico. Cuando pides una solución exacta, el software deprime tu cúbica, aplica la fórmula y simplifica los radicales. Cada botón de "resolver exactamente" para cúbicas en estos sistemas es la receta 1545 de Cardano que se ejecuta a la velocidad de una máquina.
Cuando un parámetro de diseño aparece dentro de un cubo, los ingenieros necesitan la raíz como fórmula en ese parámetro, no un solo número. El método de Cardano ofrece expresiones de forma cerrada que pueden diferenciarse, optimizarse e integrarse en modelos simbólicos más grandes, por ejemplo en el diseño de enlaces y el ajuste del sistema de control.
El casus irreducibilis obligó a los matemáticos a tomar en serio las raíces cuadradas de los números negativos, porque las respuestas reales las exigían. Las reglas de Bombelli para la aritmética compleja, escritas para hacer funcionar la fórmula de Cardano, se convirtieron en la base del análisis complejo. Existe toda una rama de las matemáticas, en parte porque esta fórmula se negó a seguir siendo real.
Los problemas de olimpiadas y exámenes de ingreso a veces requieren formas radicales exactas donde los decimales no obtienen crédito. Reconocer cuándo una cúbica cede a Cardano, versus cuándo el teorema de la raíz racional es más rápido, es una parte estándar del entrenamiento de competencia. La fórmula también aparece en las pruebas de que ciertas construcciones son imposibles con regla y compás.
Los desarrolladores de buscadores de raíces numéricos prueban su código con las respuestas exactas de Cardano. Si el método de Newton o una implementación de Jenkins-Traub no está de acuerdo con la forma cerrada más allá de la tolerancia, el error está en los números, no en la fórmula. Las soluciones exactas son la verdad fundamental que mantiene honestos los algoritmos aproximados.
The Cautions
Saltarse el paso de la depresión: La fórmula solo acepta la forma deprimida t³ + pt + q = 0. Alimentarlo con una cúbica general produce directamente una tontería. Reduzca siempre primero con la calculadora cúbica deprimida.
Elegir ramas de raíz cúbica incorrectas: Existen nueve combinaciones de ramas pero sólo tres satisfacen uv = −p/3. La mezcla de ramas da valores que parecen raíces pero no se pueden sustituir. En caso de duda, pruebe cada candidato en la ecuación original.
Errores de signo en p y q: Las fórmulas p = (3ac − b²)/3a² y q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/27a³ son campos minados de signos. Un signo invertido en q invierte ambos radicandos del cubo. Calcule con cuidado o deje que la herramienta lo haga.
Olvidándose de retroceder: La fórmula devuelve t, no x. Las raíces de tu ecuación original son x = t − b/3a. Informar t como respuesta es el error más común en el paso final que cometen los estudiantes.
Entrar en pánico ante los intermediarios complejos: En el caso irreducible, la fórmula pasa por números complejos en su camino hacia respuestas reales. Esto es normal, no un error. Simplifica las raíces cúbicas complejas como lo hizo Bombelli y las partes imaginarias se cancelan.
The Reference
The Collection
The Questions
Una fórmula de 1545 que expresa las raíces de cualquier cúbica en radicales. Funciona en la forma deprimida t³ + pt + q = 0, dando t = ∛(−q/2 + √D) + ∛(−q/2 − √D) con D = (q/2)² + (p/3)³.
Sí. La fórmula solo maneja t³ + pt + q = 0. Utilice nuestro calculadora cúbica deprimida convertir cualquier cúbico primero; lleva segundos.
Éste es el casus irreducibilis: con tres raíces reales y ninguna raíz racional, los radicales reales por sí solos no pueden expresarlas. La fórmula pasa por raíces cúbicas complejas cuyas partes imaginarias se anulan. Nuestro calculadora de raíces complejas muestra la imagen completa.
Scipione del Ferro lo encontró por primera vez alrededor de 1515, Tartaglia lo volvió a derivar de forma independiente y Cardano lo publicó en Ars Magna (1545). El crédito es compartido, aunque la disputa por la prioridad fue amarga.
Sí. Ferrari, alumno de Cardano, amplió el método a las cuartas reduciéndolas a una cúbica resolutiva. Para el grado cinco y superiores, el teorema de Abel-Ruffini demuestra que no existe una fórmula radical general.
Casi nunca. Prueba el teorema de la raíz racional primero; descifra la mayoría de los cúbicos de los libros de texto en segundos. Reserve Cardano para casos irreductibles o cuando se requieran radicales exactos.
Con Δ = −(4p³ + 27q²) < 0 se obtiene una raíz real y un par conjugado complejo a partir de radicales reales, el caso más simple. Consulte el letrero en cualquier momento con nuestro calculadora discriminante.
Sólo si se aplica mal: el coeficiente principal debe ser distinto de cero, la cúbica debe deprimirse primero y las ramas de la raíz cúbica deben satisfacer uv = −p/3. Aplicado correctamente, no puede fallar.
